Développer et réduire une expression algébrique avec les identités remarquables

  1. Calcul littéral. Expressions algébriques ;
  2. La propriété de distributivité.
  3. Reconnaitre une forme factorisée et une forme développée ou développée réduite.
  4. Les identités remarquables.
  5. Développer et réduire une expression algébrique simple.
  6. Développer et réduire une expression algébrique avec les identités remarquables.
  7. Factoriser une expression algébrique simple.
  8. Factoriser une expression algébrique avec les identités remarquables.
  9. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  10. Rendre rationnel un dénominateur.

Rappel : Identités remarquables

Propriétés
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcc}
&\color{blue}{— Développement—>}&\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°1)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a-b)^2 = a^2 – 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°2)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)(a-b) = a^2 – b^2\; }}&\quad(I.R.n°3)\\
&\color{blue}{ <— Factorisation — }& \\
\end{array}$$

EXERCICE RÉSOLU n°1. Développer et réduire les expressions suivantes :
1°) $A(x)=(x+5)^2-10x-15$ ;
2°) $B(x)=(2x-1)^2-(x-5)(2x-1)$ ;
3°) $C(x)=(3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)$.

Corrigé
1°) Développer et réduire $A(x)=(x+5)^2-10x-15$ :
$A(x)=(x+5)^2-10x-15$. Le premier terme est une IRn°1.
$A(x)=x^2+2\times x\times 5+5^2-10x-15=x^2+10x+25-10x-15$ Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; A(x)=x^2+10\; }}$$

2°) Développer et réduire $B(x)=(2x-1)^2-(x-5)(2x-1)$ :
$B(x)=(2x-1)^2-(x-5)(2x-1)$. Le premier terme est une IRn°2.
$B(x)=(2x)^2+2\times 2x\times 1+1^2-[x\times 2x+x\times(-1)-5\times 2x-5 \times(-1)$.
Donc : $B(x)=4x^2-4x+1-[2x^2-x-10x+5]$.
On distribue maintenant le signe ($-$) devant le crochet et on obtient :
$B(x)=4x^2-4x+1-2x^2+x+10x-5$.
Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; B(x)=2x^2+7x-4\;}}$$

3°) Développer et réduire $C(x)=(3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)$ :
$C(x)=(3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)$. Le premier terme est une IRn°2, le deuxième est une IRn°3.
$C(x)=(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2-[(2x)^2-3^2]$.
Donc : $A(x)=9x^2-12x+4-[4x^2-9]$.
On distribue maintenant le signe ($-$) devant le crochet et on obtient :
$A(x)=9x^2-12x+4-4x^2+9$.
Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; B(x)=5x^2-12x+13\;}}$$

Liens connexes

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  9. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  10. Rendre rationnel un dénominateur.
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