Développer et réduire une expression algébrique avec les identités remarquables


Rappel : Identités remarquables

Propriétés
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcc}
&\color{blue}{— Développement—>}&\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°1)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a-b)^2 = a^2 – 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°2)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)(a-b) = a^2 – b^2\; }}&\quad(I.R.n°3)\\
&\color{blue}{ <— Factorisation — }& \\
\end{array}$$

EXERCICE RÉSOLU n°1. Développer et réduire les expressions suivantes :
1°) $A(x)=(x+5)^2-10x-15$ ;
2°) $B(x)=(2x-1)^2-(x-5)(2x-1)$ ;
3°) $C(x)=(3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)$.

Corrigé
1°) Développer et réduire $A(x)=(x+5)^2-10x-15$ :
$A(x)=(x+5)^2-10x-15$. Le premier terme est une IRn°1.
$A(x)=x^2+2\times x\times 5+5^2-10x-15=x^2+10x+25-10x-15$ Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; A(x)=x^2+10\; }}$$

2°) Développer et réduire $B(x)=(2x-1)^2-(x-5)(2x-1)$ :
$B(x)=(2x-1)^2-(x-5)(2x-1)$. Le premier terme est une IRn°2.
$B(x)=(2x)^2+2\times 2x\times 1+1^2-[x\times 2x+x\times(-1)-5\times 2x-5 \times(-1)$.
Donc : $B(x)=4x^2-4x+1-[2x^2-x-10x+5]$.
On distribue maintenant le signe ($-$) devant le crochet et on obtient :
$B(x)=4x^2-4x+1-2x^2+x+10x-5$.
Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; B(x)=2x^2+7x-4\;}}$$

3°) Développer et réduire $C(x)=(3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)$ :
$C(x)=(3x-2)^2-(2x-3)(2x+3)$. Le premier terme est une IRn°2, le deuxième est une IRn°3.
$C(x)=(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2-[(2x)^2-3^2]$.
Donc : $A(x)=9x^2-12x+4-[4x^2-9]$.
On distribue maintenant le signe ($-$) devant le crochet et on obtient :
$A(x)=9x^2-12x+4-4x^2+9$.
Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; B(x)=5x^2-12x+13\;}}$$

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