Développer et réduire une expression algébrique simple


1. Rappel : Propriété de distributivité simple

Propriété de distributivité simple
Pour multiplier un nombre par une somme ou une différence, on multiplie chaque terme de la somme par ce nombre, puis on fait la somme (ou la différence) des deux résultats.
On a donc les égalités suivantes, pour tous nombres relatifs $a$, $b$ et $k$ :
$$\begin{array}{rcl}
&&\color{brown}{— Développement—>}\\
&&\color{brown}{\boxed{\; k(a+b) = ka + kb\; }}\quad(1)\\
&&\color{brown}{\boxed{\; \; \; k(a-b) = ka\, – kb\; }}\quad(2)\\
&&\color{brown}{ <— Factorisation — } \\
\end{array}$$

2. Exercices

EXERCICE RÉSOLU n°1. Développer et réduire les expressions suivantes :
1°) $A(x)=3(2x+5)$ ;
2°) $B(x)=2x(5x−2)+6x-2$ ;
3°) $C(x)=3x(x+4)−7(x-2)$.

Corrigé
1°) Développer et réduire $A(x)=3(2x+5)$ :
$A(x)=3(2x+5)$. Un seul terme écrit sous la forme d’un produit de deux facteurs.
$A(x)=3\times 2x + 3\times 5$. Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; A(x)=6x+15\; }}$$

2°) Développer et réduire $B(x)=2x(5x−2)+6x-2$ :
$B(x)=2x(5x−2)+6x-2$. Trois termes. Le premier est écrit sous la forme d’un produit de deux (ou trois) facteurs. On ne distribue que le premier terme.
$B(x)=2x\times 5x− 2x\times 2+6x-2$
$B(x)=10x^2-4x+6x-2$.
C’est une expression développée, non réduite. Il faut la réduire. C’est-à-dire, il faut regrouper les termes de même nature. Par conséquent : $$\color{brown}{\boxed{\; B(x)= 10x^2+2x-2}}$$

3°) Développer et réduire $C(x)=3x(x+4)−7(x-2)$ :
$C(x)=3x(x+4)−7(x-2)$. Deux termes écrits sous la forme de produits de deux (ou trois) facteurs. On distribue chaque terme.
$C(x)=3x \times x+3x \times 4−7 \times x- 7 \times (-2)$.
Ici, on développe chacun des termes et on fait attention à la règles des signes (dans le dernier terme). Ce qui donne :
$C(x)=3x^2+12x−7x+14$.
Puis on réduit cette dernière expression. On obtient :
$$\color{brown}{\boxed{\; C(x)=3x^2+5x+14\;}}$$


EXERCICE RÉSOLU n°2. Développer et réduire les expressions suivantes :
1°) $A(x)=(2x+3)(x-4)$ ;
2°) $B(x)=(3x+2)(5x−2)-5(x^2-1)$ ;
3°) $C(x)=(x+4)(2x+7)−(3x-7)(x-2)$.

Corrigé
1°) Développer et réduire $A(x)=(2x+3)(x-4)$ :
$A(x)=(2x+3)(x-4)$. Un seul terme écrit sous la forme d’un produit de deux facteurs.
On utilise la double distributivité.
$A(x)=2x\times x -2x\times 4 + 3\times x- 3\times 4$.
$A(x)=2x^2 -8x+ 3x- 12$. Par conséquent : $$\color{brown}{\boxed{\; A(x)=2x^2-5x-12\; }}$$

2°) Développer et réduire $B(x)=(3x+2)(5x−2)-5(x^2-1)$ :
$B(x)=(3x+2)(5x−2)-5(x^2-1)$. Deux termes, chacun écrit sous la forme d’un produit de deux facteurs. Attention à la règle des signes dans le $-5$, deuxième développement.
$B(x)=3x\times 5x− 3x\times 2+2\times 5x-2\times 2-5\times x^2-5\times(-1)$
$B(x)=15x^2-6x+10x-4-5x^2+5$.
C’est une expression développée, non réduite. Il faut la réduire. C’est-à-dire, il faut regrouper les termes de même nature. Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; B(x)= 10x^2+4x+1}}$$

3°) Développer et réduire $C(x)=(x+4)(2x+7)−(3x-7)(x-2)$ :
$C(x)=(x+4)(2x+7)−(3x-7)(x-2)$. Deux termes écrits sous la forme de produits de deux facteurs. On distribue chaque terme. Attention au signe ($-$) avant le deuxième développement entre crochets.
$C(x)=x \times 2x+x \times 7+4 \times 2x+4 \times 7-[3x \times x+3x \times (-2)-7 \times x-7 \times (-2)]$.
Donc : $C(x)=2x^2+7x+8x+28-[3x^2-6x-7x+14]$.
Maintenant, on distribue le signe ($-$) pour supprimer les crochets. Ce qui donne :
$C(x)=2x^2+7x+8x+28-3x^2+6x+7x-14]$.
Puis on réduit cette dernière expression. Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; C(x)=-x^2+28x+14\;}}$$


Liens connexes

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