Factoriser une expression algébrique simple avec les identités remarquables

  1. Calcul littéral. Expressions algébriques ;
  2. La propriété de distributivité.
  3. Reconnaitre une forme factorisée et une forme développée ou développée réduite.
  4. Les identités remarquables.
  5. Développer et réduire une expression algébrique simple.
  6. Développer et réduire une expression algébrique avec les identités remarquables.
  7. Factoriser une expression algébrique simple.
  8. Factoriser une expression algébrique avec les identités remarquables.
  9. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  10. Rendre rationnel un dénominateur.

1. Rappel : Identités remarquables

Propriétés
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcc}
&\color{blue}{— Développement—>}&\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°1)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a-b)^2 = a^2 – 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°2)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)(a-b) = a^2 – b^2\; }}&\quad(I.R.n°3)\\
&\color{blue}{ <— Factorisation — }& \\
\end{array}$$

2. Exercices

EXERCICES RÉSOLUS n°1. Factoriser les expressions algébriques suivantes :
1°) $A(x)=(2x+1)^2-(x+5)(2x+1)$ ;
2°) $B(x)=(2x-3)^2−(2x-3)(x+7)$ ;
3°) $C(x)=(5x+4)^2-(2x+3)^2$.

Corrigé.
1°) Factoriser $A(x)=(2x+1)^2-(x+5)(2x+1)$ :
L’expression $A(x)$ est composée de deux termes qu’on peut décomposer à l’aide d’un bloc facteur commun $(2x+1)$. On commence par « éclater » le carré dans le premier terme.
$A(x)=(2x+1)(2x+1)-(x+5)(2x+1)$.
On met $(2x+1)$ en facteur.
$A(x)=(2x+1)[(2x+1)-(x+5)]$
$A(x)=(2x+1)[2x+1-x-5]$.
Puis on réduit l’expression entre crochets. Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; A(x)=(2x+1)(x-4)\; }}$$

2°) Factoriser $B(x)=(2x-3)^2−(2x-3)(x+7)$.
L’expression $B(x)$ est composée de deux termes qu’on peut décomposer à l’aide d’un bloc facteur commun $(2x-3)$. On commence par « éclater » le carré dans le premier terme.
$B(x)=(2x-3)(2x-3)-(2x-3)(x+7)$.
On met $(2x-3)$ en facteur.
$B(x)=(2x-3)[(2x-3)-(x+7)]$
$B(x)=(2x-3)[2x-3-x-7]$.
Puis on réduit l’expression entre crochets. Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; A(x)=(2x-3)(x-10)\; }}$$

3°) Factoriser $C(x)=(5x+4)^2-(2x+3)^2$ .
L’expression $C(x)$ est composée de deux termes. Elle s’écrit comme la différence de deux carrés et nous rappelle l’identité remarquable n°3 : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, avec $a=(5x+4)$ et $b=(2x+3)$. On peut alors écrire :
$C(x)=[(5x+4)-(2x+3)][(5x+4)+(2x+3)]$. Ce qui donne :
$C(x)=[5x+4-2x-3][5x+4+2x+3]$
Puis on réduit les expressions entre crochets. Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; C(x)=(3x+1)(7x+7)\; }}$$

EXERCICES RÉSOLUS n°2. Factoriser les expressions algébriques suivantes :
1°) $A(x)=4x^2-9+(2x-3)(x+5)$ ;
2°) $B(x)=4x^2-12x+9-(x+1)(2x-3)$.

Corrigé.
1°) Factoriser $A(x)=4x^2-9+(2x-3)(x+5)$ :
L’expression $A(x)$ est composée de trois termes. Il n’y a pas de facteur commun.
Si on regroupe les deux premiers termes, on remarque que c’est une différence de deux carrés et nous rappelle l’identité remarquable n°3 : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, avec $a=(2x)$ et $b=3$. On peut alors écrire : $4x^2-9=(2x)^2-3^2$. Et d’après l’IRn°3, on obtient :
$$4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$$
Si on injecte ce résultat dans l’expression $A(x)$, on obtient :
$$\begin{array}{rcl}
A(x)&=&4x^2-9+(2x-3)(x+5)\\
&=&(2x)^2-3^2+(2x-3)(x+5)\\
&=&(2x-3)(2x+3)+(2x-3)(x+5)\\
&=&(2x-3)[(2x-3)+(x+5)]\\
&=&(2x-3)[2x-3+x+5]\\
A(x) &=&(2x-3)(3x+2)\\
\end{array}$$
Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; A(x)=(2x-3)(3x+2)\; }}$$

2°) Factoriser $B(x)=4x^2-12x+9-(x+1)(2x-3)$.
L’expression $B(x)$ est composée de quatre termes. Il n’y a pas de facteur commun.
Si on regroupe les trois premiers termes, on remarque qu’il s’agit d’une identité remarquable n°2 : $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$, avec $a=(2x)$ et $b=3$. On peut alors écrire : $4x^2-12x+9=(2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2$. Et d’après l’IRn°2, on obtient :
$$4x^2-12x+9=(2x-3)^2$$
Si on injecte ce résultat dans l’expression $B(x)$, on obtient :
$$\begin{array}{rcl}
B(x)&=&4x^2-12x+9-(x+1)(2x-3)\\
&=&(2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2-(x+1)(2x-3)\\
&=&(2x-3)^2-(x+1)(2x-3)\\
&=&(2x-3)(2x-3)-(x+1)(2x-3)\\
&=&(2x-3)[(2x-3)-(x+1)]\\
&=&(2x-3)[2x-3-x-1]\\
B(x) &=&(2x-3)(x-4)\\
\end{array}$$
Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; B(x)=(2x-3)(x-4)\; }}$$

Liens connexes

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