Factoriser une expression algébrique simple avec les identités remarquables


1. Rappel : Identités remarquables

Propriétés
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
$$\begin{array}{rcc}
&\color{blue}{— Développement—>}&\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°1)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a-b)^2 = a^2 – 2ab+b^2\; }}&\quad(I.R.n°2)\\
&\color{brown}{\boxed{\; (a+b)(a-b) = a^2 – b^2\; }}&\quad(I.R.n°3)\\
&\color{blue}{ <— Factorisation — }& \\
\end{array}$$

2. Exercices

EXERCICES RÉSOLUS n°1. Factoriser les expressions algébriques suivantes :
1°) $A(x)=(2x+1)^2-(x+5)(2x+1)$ ;
2°) $B(x)=(2x-3)^2−(2x-3)(x+7)$ ;
3°) $C(x)=(5x+4)^2-(2x+3)^2$.

Corrigé.
1°) Factoriser $A(x)=(2x+1)^2-(x+5)(2x+1)$ :
L’expression $A(x)$ est composée de deux termes qu’on peut décomposer à l’aide d’un bloc facteur commun $(2x+1)$. On commence par « éclater » le carré dans le premier terme.
$A(x)=(2x+1)(2x+1)-(x+5)(2x+1)$.
On met $(2x+1)$ en facteur.
$A(x)=(2x+1)[(2x+1)-(x+5)]$
$A(x)=(2x+1)[2x+1-x-5]$.
Puis on réduit l’expression entre crochets. Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; A(x)=(2x+1)(x-4)\; }}$$

2°) Factoriser $B(x)=(2x-3)^2−(2x-3)(x+7)$.
L’expression $B(x)$ est composée de deux termes qu’on peut décomposer à l’aide d’un bloc facteur commun $(2x-3)$. On commence par « éclater » le carré dans le premier terme.
$B(x)=(2x-3)(2x-3)-(2x-3)(x+7)$.
On met $(2x-3)$ en facteur.
$B(x)=(2x-3)[(2x-3)-(x+7)]$
$B(x)=(2x-3)[2x-3-x-7]$.
Puis on réduit l’expression entre crochets. Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; A(x)=(2x-3)(x-10)\; }}$$

3°) Factoriser $C(x)=(5x+4)^2-(2x+3)^2$ .
L’expression $C(x)$ est composée de deux termes. Elle s’écrit comme la différence de deux carrés et nous rappelle l’identité remarquable n°3 : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, avec $a=(5x+4)$ et $b=(2x+3)$. On peut alors écrire :
$C(x)=[(5x+4)-(2x+3)][(5x+4)+(2x+3)]$. Ce qui donne :
$C(x)=[5x+4-2x-3][5x+4+2x+3]$
Puis on réduit les expressions entre crochets. Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; C(x)=(3x+1)(7x+7)\; }}$$


EXERCICES RÉSOLUS n°2. Factoriser les expressions algébriques suivantes :
1°) $A(x)=4x^2-9+(2x-3)(x+5)$ ;
2°) $B(x)=4x^2-12x+9-(x+1)(2x-3)$.

Corrigé.
1°) Factoriser $A(x)=4x^2-9+(2x-3)(x+5)$ :
L’expression $A(x)$ est composée de trois termes. Il n’y a pas de facteur commun.
Si on regroupe les deux premiers termes, on remarque que c’est une différence de deux carrés et nous rappelle l’identité remarquable n°3 : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, avec $a=(2x)$ et $b=3$. On peut alors écrire : $4x^2-9=(2x)^2-3^2$. Et d’après l’IRn°3, on obtient :
$$4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$$
Si on injecte ce résultat dans l’expression $A(x)$, on obtient :
$$\begin{array}{rcl}
A(x)&=&4x^2-9+(2x-3)(x+5)\\
&=&(2x)^2-3^2+(2x-3)(x+5)\\
&=&(2x-3)(2x+3)+(2x-3)(x+5)\\
&=&(2x-3)[(2x-3)+(x+5)]\\
&=&(2x-3)[2x-3+x+5]\\
A(x) &=&(2x-3)(3x+2)\\
\end{array}$$
Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; A(x)=(2x-3)(3x+2)\; }}$$

2°) Factoriser $B(x)=4x^2-12x+9-(x+1)(2x-3)$.
L’expression $B(x)$ est composée de quatre termes. Il n’y a pas de facteur commun.
Si on regroupe les trois premiers termes, on remarque qu’il s’agit d’une identité remarquable n°2 : $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$, avec $a=(2x)$ et $b=3$. On peut alors écrire : $4x^2-12x+9=(2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2$. Et d’après l’IRn°2, on obtient :
$$4x^2-12x+9=(2x-3)^2$$
Si on injecte ce résultat dans l’expression $B(x)$, on obtient :
$$\begin{array}{rcl}
B(x)&=&4x^2-12x+9-(x+1)(2x-3)\\
&=&(2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2-(x+1)(2x-3)\\
&=&(2x-3)^2-(x+1)(2x-3)\\
&=&(2x-3)(2x-3)-(x+1)(2x-3)\\
&=&(2x-3)[(2x-3)-(x+1)]\\
&=&(2x-3)[2x-3-x-1]\\
B(x) &=&(2x-3)(x-4)\\
\end{array}$$
Par conséquent :
$$\color{brown}{\boxed{\; B(x)=(2x-3)(x-4)\; }}$$

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