La propriété de distributivité
1. Distributivité simple
1.1. Exemples en géométrie
Exemple 1.
Dans la figure ci-dessous, on peut calculer l’aire du grand rectangle $ACDF$ de deux manières.

Exemple 2.
Dans la figure suivante, on cherche à calculer l’aire du petit rectangle $ABEF$ de deux manières en posant $AF = k$, $AC=a$ et $BC=b$.

1.2. Propriété de distributivité simple
Propriété de distributivité simple
Pour multiplier un nombre par une somme ou une différence, on multiplie chaque terme de la somme par ce nombre, puis on fait la somme (ou la différence) des deux résultats.
On a donc les égalités suivantes, pour tous nombres relatifs $a$, $b$ et $k$ :
$$\begin{array}{rcl}
&&\color{brown}{— Développement—>}\\
&&\color{brown}{\boxed{\; k(a+b) = ka + kb\; }}\quad(1)\\
&&\color{brown}{\boxed{\; \; \; k(a-b) = ka\, – kb\; }}\quad(2)\\
&&\color{brown}{ <— Factorisation — } \\
\end{array}$$
Définitions 1.
On dit que : la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.
Définitions 2.
La propriété de distributivité simple peut être lue dans les deux sens et permet de transformer l’écriture d’une expression.
Développer une expression algébrique = distribuer, ce qui revient à la transformer en une somme de deux ou plusieurs termes.
Réduire une expression algébrique développée, revient à l’écrire avec un minimum de termes possibles. Ce qui revient à regrouper les termes de même nature.
Factoriser une expression algébrique, revient à la transformer sous la forme d’un produit de deux ou plusieurs facteurs.
On décompose chaque terme à l’aide d’un facteur commun, numérique ou littéral $k$.
2. Propriété de double distributivité
Propriété de double distributivité
Pour tous nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$, on a :
$$\color{brown}{\boxed{\; (a+b)(c+d) = ac +ad+bc+bd\; }}\quad(3)$$
Chaque terme est pris avec le signe qui le précède. Donc, il est impératif de respecter la règle des signes. On obtient alors :
$$\begin{array}{rcl}
(a+b)(c-d)&=& ac -ad+bc-bd\quad(4) \\
\text{et }(a-b)(c-d)&=& ac -ad-bc+bd\quad(5) \\
\end{array}$$
Démonstration.
On utilise deux fois la distributivité simple. En effet :
$$\begin{array}{rcl}
(a+b)(c+d)&=& (a+b)k, \text{avec } k=(c+d) \\
&=& ak+bk\\
&=& a(c+d)+b(c+d)\\
&=& ac +ad+bc+bd \\
\end{array}$$
D’où le résultat.
3. Exercices
Exercice résolu n°1. Développer et réduire les expressions suivantes :
1°) $A(x)=2(3x−5)$ ;
2°) $B(x)=2x(5x−4)+5x-4$ ;
3°) $C(x)=3x(2x−4)−7(x−1)$.
Exercice 2. Factoriser les expressions suivantes :
1°) $A(x)=8x−12$ ;
2°) $B(x)=2x^2−3x$ ;
3°) $C(x)=15x^2−20x$ ;
4°) $D(x)=5x(x− 4)-(2x+5)(x-4)$.
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