La propriété de distributivité

  1. Calcul littéral. Expressions algébriques ;
  2. La propriété de distributivité.
  3. Reconnaitre une forme factorisée et une forme développée ou développée réduite.
  4. Les identités remarquables.
  5. Développer et réduire une expression algébrique simple.
  6. Développer et réduire une expression algébrique avec les identités remarquables.
  7. Factoriser une expression algébrique simple.
  8. Factoriser une expression algébrique avec les identités remarquables.
  9. Applications des identités remarquables aux racines carrées.
  10. Rendre rationnel un dénominateur.

1. Distributivité simple

1.1. Exemples en géométrie

Exemple 1.
Dans la figure ci-dessous, on peut calculer l’aire du grand rectangle $ACDF$ de deux manières.

1ère méthode : La largeur est égale à : $AF = k$ et la longueur est égale à : $AC = AB+BC=a+b$. Donc l’aire du grand rectangle est bien égale à :
$${\mathscr A}= Largeur\times Longueur = k\times(a+b)$$

2ème méthode : L’aire du grand rectangle $ACDF$ est aussi égale à la somme des aires du petit rectangle $ABEF$ et du rectangle moyen $BCDE$. Ce qui donne :
$${\mathscr A}= k\times a + k\times b.$$
Les deux méthodes conduisent au même résultat. On obtient donc l’égalité algébrique pour tous nombres $a$, $b$ et $k$ : $$ \color{brown}{\boxed{\; k\times(a+b) = k\times a + k\times b\; }}\quad(1)$$
On dit que « la multiplication est distributive par rapport à l’addition »

Exemple 2.
Dans la figure suivante, on cherche à calculer l’aire du petit rectangle $ABEF$ de deux manières en posant $AF = k$, $AC=a$ et $BC=b$.

Un raisonnement analogue montre que pour tous nombres $a$, $b$ et $k$, on obtient une deuxième égalité :$$ \color{brown}{\boxed{\; k\times(a-b) = k\times a\, – k\times b\; }}\qquad(2)$$
On dit que « la multiplication est distributive par rapport à la soustraction ».

1.2. Propriété de distributivité simple

Propriété de distributivité simple
Pour multiplier un nombre par une somme ou une différence, on multiplie chaque terme de la somme par ce nombre, puis on fait la somme (ou la différence) des deux résultats.
On a donc les égalités suivantes, pour tous nombres relatifs $a$, $b$ et $k$ :
$$\begin{array}{rcl}
&&\color{brown}{— Développement—>}\\
&&\color{brown}{\boxed{\; k(a+b) = ka + kb\; }}\quad(1)\\
&&\color{brown}{\boxed{\; \; \; k(a-b) = ka\, – kb\; }}\quad(2)\\
&&\color{brown}{ <— Factorisation — } \\
\end{array}$$

Définitions 1.
On dit que : la multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.

Définitions 2.
La propriété de distributivité simple peut être lue dans les deux sens et permet de transformer l’écriture d’une expression.
Développer une expression algébrique = distribuer, ce qui revient à la transformer en une somme de deux ou plusieurs termes.
Réduire une expression algébrique développée, revient à l’écrire avec un minimum de termes possibles. Ce qui revient à regrouper les termes de même nature.
Factoriser une expression algébrique, revient à la transformer sous la forme d’un produit de deux ou plusieurs facteurs.
On décompose chaque terme à l’aide d’un facteur commun, numérique ou littéral $k$.

2. Propriété de double distributivité

Propriété de double distributivité
Pour tous nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$, on a :
$$\color{brown}{\boxed{\; (a+b)(c+d) = ac +ad+bc+bd\; }}\quad(3)$$
Chaque terme est pris avec le signe qui le précède. Donc, il est impératif de respecter la règle des signes. On obtient alors :
$$\begin{array}{rcl}
(a+b)(c-d)&=& ac -ad+bc-bd\quad(4) \\
\text{et }(a-b)(c-d)&=& ac -ad-bc+bd\quad(5) \\
\end{array}$$

Démonstration.
On utilise deux fois la distributivité simple. En effet :
$$\begin{array}{rcl}
(a+b)(c+d)&=& (a+b)k, \text{avec } k=(c+d) \\
&=& ak+bk\\
&=& a(c+d)+b(c+d)\\
&=& ac +ad+bc+bd \\
\end{array}$$
D’où le résultat.

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3. Exercices

Exercice résolu n°1. Développer et réduire les expressions suivantes :
1°) $A(x)=2(3x−5)$ ;
2°) $B(x)=2x(5x−4)+5x-4$ ;
3°) $C(x)=3x(2x−4)−7(x−1)$.

Corrigé
1°) Développer et réduire $A(x)=2(3x−5)$ :
$A(x)=2(3x−5)$
$A(x)=2\times 3x − 2\times 5$.
D’où : $\color{brown}{\boxed{\; A(x)=6x-10\; }}$

2°) Développer et réduire $B(x)=2x(5x−4)+5x-4$ :
$B(x)=2x(5x−4)+5x-4$, on ne distribue que le premier terme.
$B(x)=2x\times 5x− 2x\times 4+5x-4$
$B(x)=10x^2-8x+5x-4$.
C’est une expression développée. Il faut la réduire. C’est-à-dire, il faut regrouper les termes de même nature. Dans notre cas, le $-8x+5x$ qui donne $-3x$.
Donc : $\color{brown}{\boxed{\; B(x)= 10x^2-3x-4}}$.

3°) Développer et réduire $C(x)=3x(2x−4)−7(x−1)$ :
$C(x)=3x(2x−4)−7(x−1)$
$C(x)=3x \times 2x−3x \times 4−7 \times x−7 \times (-1)$.
Ici, on développe chacun des termes et on fait attention à la règles des signes (dans le dernier terme). Ce qui donne :
$C(x)=6x^2−12x−7x+7$.
Puis on réduit cette dernière expression. On obtient :
$ \color{brown}{\boxed{\; C(x)=6x^2−19x+7\;}}$

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Exercice 2. Factoriser les expressions suivantes :
1°) $A(x)=8x−12$ ;
2°) $B(x)=2x^2−3x$ ;
3°) $C(x)=15x^2−20x$ ;
4°) $D(x)=5x(x− 4)-(2x+5)(x-4)$.

Corrigé.
1°) Factoriser $A(x)=8x−12$ :
L’expression $A(x)=8x−12$ est composée de deux termes qu’on peut qu’on peut décomposer à l’aide d’un facteur commun numérique $4$ :
$A(x)=4\times 2x− 4\times 3$. On met $4$ en facteur.
$A(x)=4\times(2x−3)$.
On obtient : $\color{brown}{\boxed{\; A(x)=4(2x−3)\; }}$

2°) Factoriser $B(x)=2x^2−3x$.
Ici, nous avons un facteur commun littéral $x$. On décompose les deux termes à l’aide du facteur commun littéral $x$.
$B(x)=x\times 2x− x\times 3$. On met $x$ en facteur.
$B(x)=x\times(2x− 3)$.
On obtient : $\color{brown}{\boxed{\; B(x)=x(2x− 3) \; }}$

3°) Factoriser $C(x)=15x^2−20x$.
Ici, nous avons un facteur commun numérique $5$ et un facteur commun littéral $x$. On décompose les deux termes à l’aide de $5x$.
$C(x)=5x\times 3x− 5x\times 4$. On met $5x$ en facteur.
$C(x)=5x\times(3x− 4)$.
On obtient : $\color{brown}{\boxed{\; C(x)=5x(3x− 4) \; }}$

4°) Factoriser $D(x)=5x(x− 4)-(2x+5)(x-4)$.
Ici, nous avons un bloc facteur commun $(x-4)$. On décompose les deux termes à l’aide de $(x-4)$.
$D(x)=5x \times \color{brown}{ (x− 4)}-(2x+5) \times \color{brown}{ (x-4)}$.
On met $(x-4)$ en facteur en le gardant à droite. On utilise des crochets.
$D(x)=[5x-(2x+5)] \times (x-4)$.
On réduit l’expression à l’intérieur des crochets. Ce qui donne :
$D(x)=[5x-2x-5] \times (x-4)$.
Finalement, on obtient : $\color{brown}{\boxed{\; D(x)=(3x-5)(x-4)\; }}$.

Liens connexes

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