Calcul littéral. Expressions algébriques.

1. Calcul littéral

1.1. Le calcul algébrique

– Dans une addition, $a+b=s$, $a$ et $b$ s’appellent des termes et $s$ est la somme.

– Dans une soustraction, $a–b=d$, $a$ et $b$ s’appellent aussi des termes et $d$ est la différence.

– Lorsqu’on utilise des nombres relatifs, soustraire revient à additionner l’opposé. Donc, toutes les expressions de la forme $a+b=s$ ou $a–b=d$ peuvent être appelées des sommes (sous-entendu « de nombres relatifs »).

– Dans une multiplication, $a\times b=p$ ou $ab=p$, $a$ et $b$ s’appellent des facteurs et $p$ est le produit.

– Dans une division, $a\div b=q$, $a$ s’appelle le dividende, $b$ le diviseur et $q$ est le quotient exact de $a$ par $b$.

– La division $a\div b=q$ s’écrit également sous la forme fractionnaire $\dfrac{a}{b}=q$, $a$ s’appelle le numérateur, $b$ le dénominateur et le quotient exact de $a$ par $b$.

– Dans une division euclidienne de $a$ par $b$, le quotient $q$ doit être un nombre entier. Il y a donc un reste $r$ qui doit être aussi un nombre entier compris entre 0 et b. On a la relation fondamentale : $$a = bq+r\quad\textrm{avec}\quad 0\leq r<b$$

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1.2. Propriétés élémentaires du calcul algébrique

P1. Dans une addition de nombres relatifs, on peut changer l’ordre des termes et faire des groupements (judicieux), la somme ne change pas. Donc, si $a$, $b$ et $c$ sont des nombres relatifs, alors :
$$a+b=b+a\quad\textrm{et}\quad a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$$

P2. De même, dans une multiplication de nombres relatifs, on peut changer l’ordre des facteurs et faire des groupements (judicieux), le produit ne change pas. Donc, si $a$, $b$ et $c$ sont des nombres relatifs, alors :
$$a\times b=b \times a \quad\textrm{et}\quad a \times b \times c = (a \times b) \times c=a \times (b \times c)$$

1.3. Simplification d’écriture

P3. Dans une suite d’opérations, l’absence de signe signifie qu’il s’agit d’une multiplication.

A la place de
$a \times b$
$2 \times x$
$ \color{red}{ 3\times 5}$
$a \times (x+3)$
$2 \times (x+3)$
$(a+b) \times (x+3)$
On écrit :
$=ab$
$=2x$
$ \color{red}{\neq 35}$
$=a(x+3)$
$=2(x+3)$
$=(a+b)(x+3)$
et on lit :
$ab$
$2x$
35
$a$ $\color{red}{facteur\; de}$ $x+3$
$2$ $\color{red}{facteur\; de}$ $x+3$
$a+b$ $\color{red}{facteur\; de}$ $x+3$

Attention! On ne supprime pas le signe de multiplication entre deux chiffres, on effectue les calculs ! Ainsi : $3\times 5=15 \neq 35$.

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1.4. Opposé d’une somme ou d’une différence

L’opposé de tout nombre relatif $x$ est égal à $−x$.
L’opposé de l’opposé de tout nombre relatif $x$ est égal à lui-même $−(−x)=x$.

EXEMPLES

L’opposé de $3$ est égal à $( – 3)$.
L’opposé de $( – 3)$ est égal à : $– ( – 3) = + 3 = 3$.
La somme de tout nombre relatif x et de son opposé est égale à 0. Ainsi :
$$x+(−x)=0=−x+x$$.
Prendre l’opposé de tout nombre relatif $x$ revient à multiplier ou diviser $x$ par $(–1)$.
Ainsi : $$−1 \times x=-x=x\times (−1)\quad\textrm{et}\quad \dfrac{x}{-1}=-x$$
L’opposé d’une somme : $$ \color{red}{ −(a+b)=−a−b=−a+(−b)}$$
L’opposé d’une différence : $$ \color{red}{ −(a−b)=−a−(−b)=−a+b}$$

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1.5. Propriétés

P1. On peut supprimer des parenthèses précédées d’un signe $+$ sans rien changer.
$$a+(b+c−d)=a+b+c−d$$
P2. On peut supprimer des parenthèses précédées d’un signe $–$ à condition de changer tous les signes. $$a−(b+c−d)=a−b−c+d$$

EXEMPLE. Réduire l’expression : $ A(x)=2x+(x−3)−(x−7)$.

\begin{eqnarray*}A(x)&=&2x+(x−3)−(x−7)\\
&=&2x+x−3−x+7\\
&=&2x+x−x−3+7\\
\color{red}{A(x)}&\color{red}{=}&\color{red}{2x+4}\\
\end{eqnarray*}

REMARQUE.

Deux nombres opposés ont le même carré : $ \color{red}{ (−x)^2=x^2}$.
Mais attention pour $x\neq0$, on a : $−x^2\neq (−x)^2$, car $−x^2$, qui est négatif, est l’opposé de $x^2$ qui est positif.

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2. Expressions algébriques

2.1. Définition

On appelle expression algébrique ou expression littérale est une suite d’opérations sur les nombres dont certains sont (inconnus et) représentés par des lettres $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $m$, $n$,… qu’on appelle des variables.

EXEMPLE.
$A=3x^2−5x+7$ est une expression littérale dépendant de la variable $x$.
Il serait plus judicieux de l’appeler $\color{red}{A(x)}$ (lire « $A$ de $x$ »). On doit alors écrire : $$\color{red}{A(x)}=3x^2−5x+7$$
Dans cette expression, il y a trois termes : $\color{blue}{3x^2}$ est un « terme en $x^2$ », $ \color{blue}{ −5x}$ est un « terme en $x$ » et « $ \color{blue}{7}$ » est un « terme constant ».

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2.2. Ordre de priorité des opérations

Dans une suite de calculs sans parenthèses, les puissances sont prioritaires par rapport à toutes les opérations.
Dans une suite de calculs, on effectue les opérations dans l’ordre suivant :
$\qquad$ 1°) Les opérations entre parenthèses ;
$\qquad$ 2°) Les puissances ;
$\qquad$ 3°) Les multiplications et les divisions dans l’ordre où elles se présentent ;
$\qquad$ 4°) Les additions et les soustractions dans l’ordre où elles se présentent.

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2.3. Calcul d’une expression algébrique

EXERCICE RÉSOLU

Exercice 1. Calculer l’expression algébrique $A(x)=3x^2−5x+7$ pour $x=−1$, $x=\dfrac{2}{3}$, puis pour $x=\sqrt{2}$. Il suffit de remplacer $x$ par la valeur donnée dans tous les termes de l’expression donnée.

CORRIGÉ

Calcul de $A$ pour $x=−1$ :
$A(-1)=3\times (-1)^2−5\times (-1) +7$
$A(-1)=3\times 1+5+7$
$A(-1)=3+5+7$
D’où $ \color{red}{ A(-1) =15}$

Calcul de $A$ pour $x=\dfrac{2}{3}$
$A\left(\dfrac{2}{3}\right)=3\times \left(\dfrac{2}{3}\right) ^2−5\times \dfrac{2}{3} +7$
$ A\left(\dfrac{2}{3}\right) =3\times \dfrac{4}{9}- \dfrac{10}{3} +7$
$ A\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4}{3}- \dfrac{10}{3} + \dfrac{21}{3} $
$ A\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4-10+21}{3}$
$ A\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{15}{3}$
D’où $ \color{red}{ A\left(\dfrac{2}{3}\right) =5}$

Calcul de $A$ pour $x=\sqrt{2}$.
$A( \sqrt{2} )=3\times ( \sqrt{2} )^2−5\times ( \sqrt{2} ) +7$
$A( \sqrt{2} )=3\times 2−5\sqrt{2} +7$
$A( \sqrt{2} )=6+7−5\sqrt{2}$
D’où $ \color{red}{ A( \sqrt{2} ) =13 −5\sqrt{2} }$.

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