Calcul littéral. Expressions algébriques
8. Calcul littéral
8.1. Le calcul algébrique
– Dans une addition, $a+b=s$, $a$ et $b$ s’appellent des termes et $s$ est la somme.
– Dans une soustraction, $a–b=d$, $a$ et $b$ s’appellent aussi des termes et $d$ est la différence.
– Lorsqu’on utilise des nombres relatifs, soustraire revient à additionner l’opposé. Donc, toutes les expressions de la forme $a+b=s$ ou $a–b=d$ peuvent être appelées des sommes (sous-entendu « de nombres relatifs »).
– Dans une multiplication, $a\times b=p$ ou $ab=p$, $a$ et $b$ s’appellent des facteurs et $p$ est le produit.
– Dans une division, $a\div b=q$, $a$ s’appelle le dividende, $b$ le diviseur et $q$ est le quotient exact de $a$ par $b$.
– La division $a\div b=q$ s’écrit également sous la forme fractionnaire $\dfrac{a}{b}=q$, $a$ s’appelle le numérateur, $b$ le dénominateur et le quotient exact de $a$ par $b$.
– Dans une division euclidienne de $a$ par $b$, le quotient $q$ doit être un nombre entier. Il y a donc un reste $r$ qui doit être aussi un nombre entier compris entre 0 et b. On a la relation fondamentale : $$a = bq+r\quad\textrm{avec}\quad 0\leq r<b$$
8.2. Propriétés élémentaires du calcul algébrique
– P1. Dans une addition de nombres relatifs, on peut changer l’ordre des termes et faire des groupements (judicieux), la somme ne change pas. Donc, si $a$, $b$ et $c$ sont des nombres relatifs, alors :
$$a+b=b+a\quad\textrm{et}\quad a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$$
– P2. De même, dans une multiplication de nombres relatifs, on peut changer l’ordre des facteurs et faire des groupements (judicieux), le produit ne change pas. Donc, si $a$, $b$ et $c$ sont des nombres relatifs, alors :
$$a\times b=b \times a \quad\textrm{et}\quad a \times b \times c = (a \times b) \times c=a \times (b \times c)$$
8.3. Simplification d’écriture
– P3. Dans une suite d’opérations, l’absence de signe signifie qu’il s’agit d’une multiplication.
| A la place de $a \times b$ $2 \times x$ $ \color{red}{ 3\times 5}$ $a \times (x+3)$ $2 \times (x+3)$ $(a+b) \times (x+3)$ | On écrit : $=ab$ $=2x$ $ \color{brown}{\neq 35}$ $=a(x+3)$ $=2(x+3)$ $=(a+b)(x+3)$ | et on lit : $ab$ $2x$ 35 $a$ $\color{brown}{facteur\; de}$ $x+3$ $2$ $\color{brown}{facteur\; de}$ $x+3$ $a+b$ $\color{brown}{facteur\; de}$ $x+3$ |
Attention! On ne supprime pas le signe de multiplication entre deux chiffres, on effectue les calculs ! Ainsi : $3\times 5=15 \neq 35$.
8.4. Opposé d’une somme ou d’une différence
L’opposé de tout nombre relatif $x$ est égal à $−x$.
L’opposé de l’opposé de tout nombre relatif $x$ est égal à lui-même $−(−x)=x$.
EXEMPLES
L’opposé de $3$ est égal à $( – 3)$.
L’opposé de $( – 3)$ est égal à : $– ( – 3) = + 3 = 3$.
La somme de tout nombre relatif x et de son opposé est égale à 0. Ainsi :
$$x+(−x)=0=−x+x$$.
Prendre l’opposé de tout nombre relatif $x$ revient à multiplier ou diviser $x$ par $(–1)$.
Ainsi : $$−1 \times x=-x=x\times (−1)\quad\textrm{et}\quad \dfrac{x}{-1}=-x$$
L’opposé d’une somme : $$ \color{brown}{ −(a+b)=−a−b=−a+(−b)}$$
L’opposé d’une différence : $$ \color{brown}{ −(a−b)=−a−(−b)=−a+b}$$
8.5. Propriétés.
Propriétés.
$\bullet$ P1. On peut supprimer des parenthèses précédées d’un signe $+$ sans rien changer. Pour tous nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$, on a :
$$a+(b+c−d)=a+b+c−d$$
$\bullet$ P2. On peut supprimer des parenthèses précédées d’un signe $–$ à condition de changer tous les signes. Pour tous nombres réels $a$, $b$, $c$ et $d$, on a :
$$a−(b+c−d)=a−b−c+d$$
EXEMPLE. Réduire l’expression : $ A(x)=2x+(x−3)−(x−7)$.
\begin{eqnarray*}A(x)&=&2x+(x−3)−(x−7)\\
&=&2x+x−3−x+7\\
&=&2x+x−x−3+7\\
\color{brown}{A(x)}&\color{brown}{=}&\color{brown}{2x+4}\\
\end{eqnarray*}
REMARQUE.
Deux nombres opposés ont le même carré : $ \color{red}{ (−x)^2=x^2}$.
Mais attention pour $x\neq0$, on a : $−x^2\neq (−x)^2$, car $−x^2$, qui est négatif, est l’opposé de $x^2$ qui est positif.
8.2. Expressions algébriques
2.1. Vocabulaire
Définition.
On appelle expression algébrique ou expression littérale une suite d’opérations sur les nombres dont certains sont (inconnus et) représentés par des lettres $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $m$, $n$,… qu’on appelle des variables.
EXEMPLE.
$A=3x^2−5x+7$ est une expression littérale dépendant de la variable $x$.
Il serait plus judicieux de l’appeler $\color{brown}{A(x)}$ (lire « $A$ de $x$ »). On doit alors écrire : $$\color{brown}{A(x)}=3x^2−5x+7$$
Dans cette expression, il y a trois termes : $\color{blue}{3x^2}$ est un « terme en $x^2$ », $ \color{blue}{ −5x}$ est un « terme en $x$ » et « $ \color{blue}{7}$ » est un « terme constant ».
2.2. Ordre de priorité des opérations
Propriétés.
1°) Les opérations entre parenthèses sont prioritaires par rapport à toutes les opérations.
2°) Dans une suite de calculs avec parenthèses, on effectue les opérations dans l’ordre suivant :
$\qquad$ 1°) Les opérations entre parenthèses ;
$\qquad$ 2°) Les puissances ;
$\qquad$ 3°) Les multiplications et les divisions dans l’ordre où elles se présentent ;
$\qquad$ 4°) Les additions et les soustractions dans l’ordre où elles se présentent.
2.3. Calcul d’une expression algébrique
EXERCICE RÉSOLU
Exercice 1. Calculer l’expression algébrique $A(x)=3x^2−5x+7$ pour $x=−1$, $x=\dfrac{2}{3}$, puis pour $x=\sqrt{2}$. Il suffit de remplacer $x$ par la valeur donnée dans tous les termes de l’expression donnée.
CORRIGÉ
Calcul de $A$ pour $x=−1$ :
$A(-1)=3\times (-1)^2−5\times (-1) +7$
$A(-1)=3\times 1+5+7$
$A(-1)=3+5+7$
D’où $ \color{brown}{ A(-1) =15}$
Calcul de $A$ pour $x=\dfrac{2}{3}$
$A\left(\dfrac{2}{3}\right)=3\times \left(\dfrac{2}{3}\right) ^2−5\times \dfrac{2}{3} +7$
$ A\left(\dfrac{2}{3}\right) =3\times \dfrac{4}{9}- \dfrac{10}{3} +7$
$ A\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4}{3}- \dfrac{10}{3} + \dfrac{21}{3} $
$ A\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{4-10+21}{3}$
$ A\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{15}{3}$
D’où $\color{brown}{ A\left(\dfrac{2}{3}\right) =5}$
Calcul de $A$ pour $x=\sqrt{2}$.
$A( \sqrt{2} )=3\times ( \sqrt{2} )^2−5\times ( \sqrt{2} ) +7$
$A( \sqrt{2} )=3\times 2−5\sqrt{2} +7$
$A( \sqrt{2} )=6+7−5\sqrt{2}$
D’où $ \color{brown}{ A( \sqrt{2} ) =13 −5\sqrt{2} }$.
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