Encadrement décimal d’un nombre réel à ${10}^{-n}$ près, à $n$ décimales

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1. Amplitude d’un intervalle à $n$ décimales

Définitions 1.
Soit $[a;b]$ un intervalle de $\mathbb{R}$. La longueur $\ell =b-a$ de $[a;b]$ s’appelle l’amplitude de cet intervalle.

Exemples. 1°) L’amplitude de l’intervalle $[5;6]$ est égale à ${\ell }_1=6-5=1$.
2°) L’amplitude de l’intervalle $[5,7;5,8]$ est égale à ${\ell }_2=5,8-5,7=0,1={10}^{-1}$.
3°) L’amplitude de l’intervalle $[5,12;5,13]$ est égale à ${\ell }_2=5,13-5,12=0,01={10}^{-2}$.

Remarque.
2°) L’amplitude de l’intervalle $[5,125;5,135]$ est égale à ${\ell }_2=5,135-5,125=0,01={10}^{-2}$. Et pourtant les deux bornes sont des nombres décimaux écrits avec trois décimales. L’amplitude de l’intervalle est égale à ${10}^{-2}$.
Très souvent, lorsqu’on demandera de donner une valeur approchée ou un encadrement à ${10}^{-2}$ près, on sous-entend « avec deux décimales ».

2. Arrondi et troncature

Définition 2.
 La troncature à l’unité d’un nombre réel est égale à la partie entière de son développement décimal.
Soit $x$ un nombre réel positif. La troncature $t_n$ de $x$ à ${10}^{-n}$ est égale au nombre décimal obtenu en coupant le développement décimal de $x$ au $n^{ème}$ chiffre après la virgule.

Exemples.
A la calculatrice, nous avons le développement décimal de $\pi$ : $$\pi =3,14159635\dots$$
La troncature de $\pi$ à l’unité (${10}^0$) est égale à $t_0=3$.
La troncature de $\pi$ au dixième (${10}^{-1}$) est égale à $t_1=3,1$.
La troncature de $\pi$ au centième (${10}^{-2}$) est égale à $t_2=3,14$.
La troncature de $\pi$ au millième (${10}^{-3}$) est égale à $t_2=3,141$.
La troncature de $\pi$ au dix-millième (${10}^{-4}$) est égale à $t_4=3,1415$.
et ainsi de suite.

Propriété.
Soit $x$ un nombre réel quelconque. La troncature $t_n$ de $x$ à ${10}^{-n}$, est le nombre décimal de plus proche de $x$, qui est inférieure à $x$, ayant $n$ décimales.
$$(\text{troncature de }x)⩽x$$

Définition 3.
Soit $x$ un nombre réel. L’arrondi de $x$ à une position donnée, est égale à sa troncature à ${10}^{-n}$ si le chiffre suivant est $0;1;2;3$ ou $4$. Et L’arrondi de $x$ à une position donnée est égale à sa troncature à ${10}^{-n}$, augmentée de ${10}^{-n}$ (on rajoute 1 au $n^{ème}$ chiffre) si le chiffre suivant est $5;6;7;8$; ou $9$.

Exemples.
A la calculatrice, nous avons le développement décimal de $\pi$ : $$\pi =3,14159635\dots$$
L’arrondi de $\pi$ à l’unité (${10}^0$) est égal à $x_0=3$.
L’arrondi de $\pi$ au dixième (${10}^{-1}$) est égal à $t_1=3,1$.
L’arrondi de $\pi$ au centième (${10}^{-2}$) est égal à $t_2=3,14$.
L’arrondi de $\pi$ au millième (${10}^{-3}$) est égal à $t_2=3,142$.
L’arrondi de $\pi$ au dix-millième (${10}^{-4}$) est égal à $t_4=3,1416$.
et ainsi de suite.

Encadrement décimal d’un nombre réel à ${10}^{-n}$ près, à $n$ décimales

Définitions 4.
Soit $a$, $b$ ($a<b$) et $x$ trois nombres réels, alors :
1°) On dit que $a$ et $b$ encadrent $x$ si et seulement si « $a⩽x<b$ ».
2°) On dit que « $a⩽x<b$ » est un encadrement de $x$ à ${10}^{-n}$ près, si :
$$a⩽x<b\text{et}\ell =b-a={10}^{-n}$$
$a$ est la borne inférieure et $b$ la borne supérieure de l’encadrement.

Exemples.
A la calculatrice, nous avons le développement décimal de $\pi$ : $$\pi =3,14159635\dots$$
Un encadrement de $\pi$ à l’unité (${10}^0$) est : $3<\pi <4$.
Un encadrement de $\pi$ au dixième (${10}^{-1}$) est : $3,1<\pi <3,2$.
Un encadrement de $\pi$ au centième (${10}^{-2}$) est : $3,14<\pi <3,15$.
Un encadrement de $\pi$ au millième (${10}^{-3}$) est : $3,141<\pi <3,142$.
Un encadrement de $\pi$ au dix-millième (${10}^{-4}$) est : $3,1415<\pi <3,1416$.
et ainsi de suite.

Remarque

Pour déterminer des encadrements de nombres réels composés, on peut utiliser les propriétés des inégalités dans $\mathbb{R}$ ainsi que les propriétés de compatibilités des opérations avec ces inégalités.
On pourra également utiliser les propriétés de distributivité et les identités remarquables.

Exercices

Exercice 1. Déterminer un encadrement de $\sqrt{3}$ à l’unité puis à ${10}^{-1}$, ${10}^{-2}$ et ${10}^{-3}$ près.
Exercice 2. Déterminer un encadrement de ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ à l’unité puis à ${10}^{-1}$, ${10}^{-2}$ et ${10}^{-3}$ près.
Exercice 3. Déterminer un encadrement de ${\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}$ à l’unité puis à ${10}^{-1}$, ${10}^{-2}$ et ${10}^{-3}$ près.

Cliquez ici pour voir le corrigé. (à terminer)

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