10. Tableau récapitulatif du signe d’une fonction polynôme du second degré


Sommaire – Page 1ère Spé-Maths

  1. Fonction polynôme sous la forme développée réduite. Monôme. Coefficient. Polynôme. Degré. Egalité de deux polynômes. Racine d’un polynôme
  2. Fonction polynôme du second degré sous la forme développée réduite.
  3. Différentes formes remarquables d’une fonction polynôme du second degré
  4. Passage de la forme développée réduite à la forme canonique ou la forme factorisée et réciproquement
  5. Résolution de l’équation du second degré $ax^2+bx+c = 0$, $a\neq 0$
    5.b) Exercice résolu : Résolution d’une équation du second degré avec un paramètre
  6. Expression de la somme et du produit des racines d’un trinôme du second degré ($\Delta\geq0$)
  7. Factorisation et signe du trinôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq 0$
  8. Résolution d’une inéquation du second degré
  9. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré.
  10. Tableau récapitulatif du signe d’une fonction polynôme du second degré.

10.1. Récapitulatif des signes d’un polynôme du second degré

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels données, $a\neq 0$.
Soit $P$ une fonction polynôme $P$ du second degré définie sous la forme développée réduite par : $P(x)=ax^2+bx+c$. On désigne par $\cal P$ la parabole représentation graphique de $P$ dans un repère ortogonal $(O\, ; \vec{\imath} , \vec{\jmath} )$. Alors le sommet de la parabole a pour coordonnées : $S(\alpha; \beta)$, avec $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.
La droite d’équation $x=\alpha$ (qui passe par $S$) est un axe de symétrie de la parabole.

On pose $ \Delta =b^2-4ac$.
Alors nous pouvons résumer tous les résultats précédents suivant le signe de $\Delta$, de la manière suivante :

1er cas : $\Delta >0$.

L’équation $P(x) = 0$ admet deux solutions réelles $x_1$ et $x_2$.
$$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} $$
Le polynôme $P(x)$ se factorise comme suit : $$P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$$
La forme canonique de $P(x)$ est : $$P(x)= a(x-\alpha)^2+\beta$$
Et si on suppose que $x_1<x_2$, alors le signe de $P(x)$ suivant le signe de $a$ est donné par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|r|ccccc|}\hline
x & -\infty\qquad & x_1 & & x_2 & \qquad+\infty\\ \hline
a & \textrm{sgn}(a)& | &\textrm{sgn}(a)&| & \textrm{sgn}(a) \\ \hline
(x-x_1)& – & 0 &+ & | & + \\ \hline
(x-x_2)& – & | &- & 0 & + \\ \hline
(x-x_1)(x-x_2)& \color{red}{+} & 0 & \color{blue}{-} & 0 & \color{red}{+} \\ \hline
P(x)& \color{red}{ \textrm{sgn}(a)}& 0 & \color{blue}{\textrm{sgn}(-a)} & 0 & \color{red}{ \textrm{sgn}(a)} \\ \hline
\end{array}$$

Illustration graphique suivant le signe de $a$.


2ème cas : $\Delta=0$.

L’équation $P(x) = 0$ admet une solution réelle double $x_0=\dfrac{-b}{2a}$.
Le polynôme $P(x)$ se factorise comme suit : $$P(x) = a(x-x_0)^2$$
Alors $P(x)$ s’annule en $x_0$ et garde un signe constant, celui de $a$, pour tout $x\neq x_0$.
Le sommet de la parabole a pour coordonnées : $S(\alpha; 0)$, avec $\alpha = x_0 =\dfrac{-b}{2a}$.
La forme canonique de $P(x)$ est : $$P(x)= a(x-\alpha)^2$$
$$\begin{array}{|r|ccc|}\hline
x & -\infty\qquad & x_0 & \qquad+\infty\\ \hline
a & \textrm{sgn}(a) & | & \textrm{sgn}(a) \\ \hline
(x-x_0)^2& + & 0 & + \\ \hline
P(x)& \color{red}{ \textrm{sgn}(a)}& 0 & \color{red}{\textrm{sgn}(a)} \\ \hline
\end{array}$$

Illustration graphique suivant le signe de $a$.


3ème cas : $\Delta<0$.

L’équation $P(x) = 0$ n’admet aucune solution réelle.
Alors $P(x)$ ne s’annule pas et garde un signe constant, celui de $a$, pour tout $x\in\R$.
Le sommet de la parabole a pour coordonnées : $S(\alpha; \beta)$, avec $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$. La forme canonique de $P(x)$ est : $$P(x)= a(x-\alpha)^2+\beta$$
$$\begin{array}{|r|ccc|}\hline
x & -\infty\qquad & x_0 & \qquad+\infty\\ \hline
a & \textrm{sgn}(a) & | & \textrm{sgn}(a) \\ \hline
(x-x_0)^2& + & 0 & + \\ \hline
P(x)& \color{red}{ \textrm{sgn}(a)}& \beta & \color{red}{\textrm{sgn}(a)} \\ \hline
\end{array}$$

Illustration graphique suivant le signe de $a$.


10.2 Exemples

Exercice résolu n°1. On considère les fonctions suivantes : $f(x)=2 x^2+5 x -3$ ;
$\quad$ a) Déterminer le sommet de la parabole ;
$\quad$ b) Résoudre l’équation $f(x)=0$ ;
$\quad$ c) En déduire le signe de $f(x)$, pour tout $x\in\R$.

Corrigé.
1°) On considère la fonction polynôme suivante : $f(x)=2 x^2+5 x -3$.
On commence par identifier les coefficients : $a=2$, $b=5$ et $c=-3$.

a) Recherche du sommet de la parabole ${\cal P}$.
Je calcule $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$. $\alpha = \dfrac{-5}{2\times 2}$.
D’où $\alpha = \dfrac{-5}{4}$.
$\quad$ $\beta=f(\alpha)$, donc $\beta =f \left(\dfrac{-5}{4}\right)$.
$\quad$ $\beta =2\times\left(\dfrac{-5}{4}\right)^2+5 \times\left(\dfrac{-5}{4}\right) -3$
$\quad$ $\beta =\dfrac{25}{8}-\dfrac{25}{4} -\dfrac{3\times 8}{8}$
$\quad$ $\beta =\dfrac{-49}{8}$.
Tableau de variations : ici $a>0$, $\alpha = \dfrac{-5}{4}$ et $\beta =\dfrac{-49}{8}$.

b) Résolution de l’équation $f(x)=0$
$\Delta = b^2-4ac = 5^2-4\times 2\times(-3)$. Donc $\Delta = 49$.
$\Delta >0$, donc le polynôme $f$ admet deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$.
$\begin{array}{lcl}
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}&\text{et} & x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\
x_1=\dfrac{-5-\sqrt{49}}{2\times 2}&\text{et} & x_2= \dfrac{-5+\sqrt{49}}{2\times 2} \\
x_1=\dfrac{-5-7}{4}&\text{et} & x_2= \dfrac{-5+7}{4} \\
\end{array}$
Après calcul et simplification, on obtient : $x_1=-3$ et $x_2=\dfrac{1}{2}$.
Par conséquent, l’équation $f(x)=0$ admet deux solutions et on a :
$$\color{red}{\boxed{\; {\cal S}=\left\{-3;\dfrac{1}{2}\right\}\; }}$$

c) Déduction du signe de $f(x)$, pour tout $x\in\R$.
Le polynôme $f(x)$ admet deux racines distinctes $x_1=-3$ et $x_2=\dfrac{1}{2}$. Donc, $f(x)$ se factorise comme suit : $f(x)= 2(x+3) \left(x-\dfrac{1}{2}\right)$.
Comme $\color{red}{a>0}$, le polynôme est positif (du signe de $a$) à l’extérieur des racines et négatif (du signe contraire de $a$) entre les racines. On obtient le tableau de signe de $f(x)$.
$$\begin{array}{|r|ccccc|}\hline
x & -\infty\quad & -3 & & \dfrac{1}{2} & \quad+\infty\\ \hline
(x+3)& – & 0 &+ & | & + \\ \hline
\left(x-\dfrac{1}{2}\right)& – & | & – & 0 & + \\ \hline
2(x+3) \left(x-\dfrac{1}{2}\right) & \color{red}{+} & 0 &\color{blue}{-} & 0 &\color{red}{+}\\ \hline
P(x)& \color{red}{+} & 0 &\color{blue}{-} & 0 &\color{red}{+}\\ \hline
\end{array}$$


< PRÉCÉDENT$\quad$SUIVANT >