10. Tableau récapitulatif du signe d’une fonction polynôme du second degré


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10.1. Récapitulatif des signes d’un polynôme du second degré

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels données, $a\neq 0$.
Soit $P$ une fonction polynôme $P$ du second degré définie sous la forme développée réduite par : $P(x)=ax^2+bx+c$. On désigne par $\cal P$ la parabole représentation graphique de $P$ dans un repère ortogonal $(O\, ; \vec{\imath} , \vec{\jmath} )$. Alors le sommet de la parabole a pour coordonnées : $S(\alpha; \beta)$, avec $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.
La droite d’équation $x=\alpha$ (qui passe par $S$) est un axe de symétrie de la parabole.

On pose $ \Delta =b^2-4ac$.
Alors nous pouvons résumer tous les résultats précédents suivant le signe de $\Delta$, de la manière suivante :

1er cas : $\Delta >0$.

L’équation $P(x) = 0$ admet deux solutions réelles $x_1$ et $x_2$.
$$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} $$
Le polynôme $P(x)$ se factorise comme suit : $$P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$$
La forme canonique de $P(x)$ est : $$P(x)= a(x-\alpha)^2+\beta$$
Et si on suppose que $x_1<x_2$, alors le signe de $P(x)$ suivant le signe de $a$ est donné par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|r|ccccc|}\hline
x & -\infty\qquad & x_1 & & x_2 & \qquad+\infty\\ \hline
a & \textrm{sgn}(a)& | &\textrm{sgn}(a)&| & \textrm{sgn}(a) \\ \hline
(x-x_1)& – & 0 &+ & | & + \\ \hline
(x-x_2)& – & | &- & 0 & + \\ \hline
(x-x_1)(x-x_2)& \color{red}{+} & 0 & \color{blue}{-} & 0 & \color{red}{+} \\ \hline
P(x)& \color{red}{ \textrm{sgn}(a)}& 0 & \color{blue}{\textrm{sgn}(-a)} & 0 & \color{red}{ \textrm{sgn}(a)} \\ \hline
\end{array}$$

Illustration graphique suivant le signe de $a$.


2ème cas : $\Delta=0$.

L’équation $P(x) = 0$ admet une solution réelle double $x_0=\dfrac{-b}{2a}$.
Le polynôme $P(x)$ se factorise comme suit : $$P(x) = a(x-x_0)^2$$
Alors $P(x)$ s’annule en $x_0$ et garde un signe constant, celui de $a$, pour tout $x\neq x_0$.
Le sommet de la parabole a pour coordonnées : $S(\alpha; 0)$, avec $\alpha = x_0 =\dfrac{-b}{2a}$.
La forme canonique de $P(x)$ est : $$P(x)= a(x-\alpha)^2$$
$$\begin{array}{|r|ccc|}\hline
x & -\infty\qquad & x_0 & \qquad+\infty\\ \hline
a & \textrm{sgn}(a) & | & \textrm{sgn}(a) \\ \hline
(x-x_0)^2& + & 0 & + \\ \hline
P(x)& \color{red}{ \textrm{sgn}(a)}& 0 & \color{red}{\textrm{sgn}(a)} \\ \hline
\end{array}$$

Illustration graphique suivant le signe de $a$.


3ème cas : $\Delta<0$.

L’équation $P(x) = 0$ n’admet aucune solution réelle.
Alors $P(x)$ ne s’annule pas et garde un signe constant, celui de $a$, pour tout $x\in\R$.
Le sommet de la parabole a pour coordonnées : $S(\alpha; \beta)$, avec $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$. La forme canonique de $P(x)$ est : $$P(x)= a(x-\alpha)^2+\beta$$
$$\begin{array}{|r|ccc|}\hline
x & -\infty\qquad & x_0 & \qquad+\infty\\ \hline
a & \textrm{sgn}(a) & | & \textrm{sgn}(a) \\ \hline
(x-x_0)^2& + & 0 & + \\ \hline
P(x)& \color{red}{ \textrm{sgn}(a)}& \beta & \color{red}{\textrm{sgn}(a)} \\ \hline
\end{array}$$

Illustration graphique suivant le signe de $a$.


10.2 Exemples

Exercice résolu n°1. On considère les fonctions suivantes : $f(x)=2 x^2+5 x -3$ ;
$\quad$ a) Déterminer le sommet de la parabole ;
$\quad$ b) Résoudre l’équation $f(x)=0$ ;
$\quad$ c) En déduire le signe de $f(x)$, pour tout $x\in\R$.

Corrigé.
1°) On considère la fonction polynôme suivante : $f(x)=2 x^2+5 x -3$.
On commence par identifier les coefficients : $a=2$, $b=5$ et $c=-3$.

a) Recherche du sommet de la parabole ${\cal P}$.
Je calcule $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$. $\alpha = \dfrac{-5}{2\times 2}$.
D’où $\alpha = \dfrac{-5}{4}$.
$\quad$ $\beta=f(\alpha)$, donc $\beta =f \left(\dfrac{-5}{4}\right)$.
$\quad$ $\beta =2\times\left(\dfrac{-5}{4}\right)^2+5 \times\left(\dfrac{-5}{4}\right) -3$
$\quad$ $\beta =\dfrac{25}{8}-\dfrac{25}{4} -\dfrac{3\times 8}{8}$
$\quad$ $\beta =\dfrac{-49}{8}$.
Tableau de variations : ici $a>0$, $\alpha = \dfrac{-5}{4}$ et $\beta =\dfrac{-49}{8}$.

b) Résolution de l’équation $f(x)=0$
$\Delta = b^2-4ac = 5^2-4\times 2\times(-3)$. Donc $\Delta = 49$.
$\Delta >0$, donc le polynôme $f$ admet deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$.
$\begin{array}{lcl}
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}&\text{et} & x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\
x_1=\dfrac{-5-\sqrt{49}}{2\times 2}&\text{et} & x_2= \dfrac{-5+\sqrt{49}}{2\times 2} \\
x_1=\dfrac{-5-7}{4}&\text{et} & x_2= \dfrac{-5+7}{4} \\
\end{array}$
Après calcul et simplification, on obtient : $x_1=-3$ et $x_2=\dfrac{1}{2}$.
Par conséquent, l’équation $f(x)=0$ admet deux solutions et on a :
$$\color{red}{\boxed{\; {\cal S}=\left\{-3;\dfrac{1}{2}\right\}\; }}$$

c) Déduction du signe de $f(x)$, pour tout $x\in\R$.
Le polynôme $f(x)$ admet deux racines distinctes $x_1=-3$ et $x_2=\dfrac{1}{2}$. Donc, $f(x)$ se factorise comme suit : $f(x)= 2(x+3) \left(x-\dfrac{1}{2}\right)$.
Comme $\color{red}{a>0}$, le polynôme est positif (du signe de $a$) à l’extérieur des racines et négatif (du signe contraire de $a$) entre les racines. On obtient le tableau de signe de $f(x)$.
$$\begin{array}{|r|ccccc|}\hline
x & -\infty\quad & -3 & & \dfrac{1}{2} & \quad+\infty\\ \hline
(x+3)& – & 0 &+ & | & + \\ \hline
\left(x-\dfrac{1}{2}\right)& – & | & – & 0 & + \\ \hline
2(x+3) \left(x-\dfrac{1}{2}\right) & \color{red}{+} & 0 &\color{blue}{-} & 0 &\color{red}{+}\\ \hline
P(x)& \color{red}{+} & 0 &\color{blue}{-} & 0 &\color{red}{+}\\ \hline
\end{array}$$


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