7. Factorisation et signe du trinôme du second degré $ax^2+bx+c=0$, $a\neq 0$

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Sommaire – Page 1ère Spé-Maths

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7.1. Factorisation du trinôme du second degré

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels données, $a\neq 0$.
Soit $P$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par : $P(x)=ax^2+bx+c=0$.
Afin de déterminer le signe du trinôme du second degré, il faut d’abord essayer de le factoriser sous la forme de deux polynômes du premier degré dont on sait facilement déterminer le signe, puis appliquer la règle des signes.

Une remarque importante

Soit $P$ un polynôme du premier degré. Donc, il existe deux réels $a$ et $b$, avec $a\neq 0$, tels que pour tout $x\in\R$ : $P(x)=ax+b$. Alors : $$P(x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{a}$$
$P$ est une fonction affine qui s’annule une fois et est représentée dans un repère quelconque par une droite qui coupe l’axe des abscisses au point $A\left(-\dfrac{b}{a} ;0\right)$.

Théorème 6.
On considère le trinôme du second degré : $P(x)=ax^2+bx+c=0$ (avec $a\neq 0$).
On pose $\color{red}{\Delta=b^2-4ac}$ son discriminant. Alors, on distingue trois cas :
1^er cas : $\color{red}{\Delta<0}$. Le trinôme $\color{red}{n’est\; pas\; factorisable}$ (sauf par une constante) ;
2^ème cas : $\color{red}{\Delta=0}$. Le trinôme se factorise comme suit :
$$\color{red}{\boxed{\;P(x)=a(x-x_0)^2\;}}$$
où $x_0$ est la racine réelle du trinôme du second degré $P$.
3^ème cas : $\color{red}{\Delta>0}$. Le trinôme se factorise comme suit :
$$ \color{red}{\boxed{\; P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\; }} $$
où $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines réelles distinctes du trinôme du second degré $P$.

Démonstration.

Thème lié : Le théorème 3 (Résolution de l’équation du second degré).

Pour étudier le signe du trinôme du second degré, nous allons écrire $P(x)$ sous la forme canonique, puis distinguer les cas suivant le signe de $\Delta$. Nous avons vu que pour tout $x\in\R$ : $P(x)$ s’écrit :
$$P(x)= a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2- \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]\quad(*)$$
1^er cas : $\color{red}{\Delta<0}$. Alors : $-\Delta>0$, donc d’après (*), le trinôme $P(x)$ s’écrit comme suit :
$$P(x)= a \left[ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{(-\Delta)}{4a^2} \right] $$
Le premier terme entre crochets est un carré, donc toujours positif ou nul ; le deuxième est strictement positif, puisque $-\Delta>0$. Donc la somme entre crochets est strictement positive.
Par conséquent, $P(x)$ ne s’annule pas et garde un signe constant, le signe de $a$, pour tout $x\in\R$.

Question. Pourquoi donc $P(x)$ ne se factorise pas comme produit de deux polynômes de degré 1 ?
On raisonne par l’absurde :
Supposons que $P(x)$ se factorise comme produit de deux polynômes de degré 1.
Donc l’équation $P(x)=0$ admettrait au moins une solution, d’après le théorème du produit nul et la remarque importante ci-dessus.
Ceci contredit le fait que $P(x)$ ne s’annule pas.
Par conséquent, $P(x)$ ne se factorise pas.

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2^ème cas : $\color{red}{\Delta=0}$. D’après $(*)$, le trinôme $P(x)$ s’écrit comme suit :
$$P(x)= a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$$
Le trinôme admet une racine double $x_0=\dfrac{-b}{2a}$. Et comme un carré est toujours positif ou nul, $P(x)$ est toujours du signe de $a$, pour tout $x\neq x_0$. et $P(x_0)=0$. On a alors :
$$\color{red}{\boxed{\;P(x)=a(x-x_0)^2\;}}$$

3^ème cas : $\color{red}{\Delta>0}$. Le trinôme $P(x)$ peut s’écrire comme suit :
$$P(x)= a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2- \dfrac{(\sqrt{\Delta})^2}{4a^2}\right] $$
ou encore :
$$P(x)= a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2- \left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2\right] $$
Grâce à l’identité remarquable I.R.n°3, on peut factoriser $P(x)$ comme suit :
$$P(x)= a\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$$
D’où : $$ \color{red}{\boxed{\; P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\; }} $$
où $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines réelles distinctes du trinôme du second degré $P$.
$$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\; \textrm{et}\; x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$
CQFD.

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7.2. Signe du trinôme du second degré

Théorème 7.
Un trinôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$, est toujours du signe de $a$, à l’extérieur des racines (lorsqu’elles existent) et du signe contraire entre les racines.
En particulier si $\Delta < 0$, le trinôme garde un signe constant, le signe de $a$, pour tout $x\in\R$.

On distingue les trois cas :

1^er cas : $\color{red}{\Delta<0}$.
Nous avons vu ci-dessus que $P(x)$ ne s’annule pas et garde un signe constant, le signe de $a$, pour tout $x\in\R$.

— Si $a>0$, pour tout $x\in\R$ : $P(x)>0$.
La courbe représentative de $P$ est une parabole $\cal P$, située entièrement strictement au-dessus de l’axe des abscisses et dirige ses branches vers les $y$ positifs (vers le haut).
— Si $a<0$, pour tout $x\in\R$ : $P(x)<0$.
La courbe représentative de $P$ est une parabole $\cal P$, située entièrement strictement en dessous de l’axe des abscisses et dirige ses branches vers les $y$ négatifs (vers le bas).

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2^ème cas : $\color{red}{\Delta=0}$. Pour tout $x\in\R$ : $P(x)=a(x-x_0)^2$. $P(x)$ s’annule en $x_0$ et garde un signe constant, le signe de $a$, pour tout $x\neq x_0$.

Le trinôme admet une racine double $x_0$ : $P(x_0)=0$. Et comme un carré est toujours positif ou nul, $P(x)$ est toujours du signe de $a$, pour tout $x\neq x_0$.
Même description qu’au premier cas, sauf que la parabole $\cal P$ touche l’axe $(Ox)$ au point d’abscisse $x_0$.

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3^ème cas : $\color{red}{\Delta>0}$. Pour tout $x\in\R$ : $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. $P(x)$ est du signe de $a$, à l’extérieur des racines.

Le trinôme admet deux racines réelles distinctes $x_1$ et $x_2$ et, pour fixer les idées, supposons que $x_1<x_2$ . Faisons un tableau de signes suivant :
$$\begin{array}{|r|ccccc|}\hline
x & -\infty\qquad & x_1 & & x_2 & \qquad+\infty\\ \hline
a & \textrm{sgn}(a)& | &\textrm{sgn}(a)&| & \textrm{sgn}(a) \\ \hline
(x-x_1)& – & 0 &+ & | & + \\ \hline
(x-x_2)& – & | &- & 0 & + \\ \hline
(x-x_1)(x-x_2)& \color{red}{+} & 0 & \color{blue}{-} & 0 & \color{red}{+} \\ \hline
P(x)& \color{red}{ \textrm{sgn}(a)}& 0 & \color{blue}{\textrm{sgn}(-a)} & 0 & \color{red}{ \textrm{sgn}(a)} \\ \hline
\end{array}$$
Conclusion. Un trinôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$, est toujours du signe de $a$, à l’extérieur des racines (lorsqu’elles existent) et du signe contraire entre les racines.

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5.2 Exemples

Exercice résolu. Résoudre le signe des trinômes du second degré suivants :
1°) : $ P_1(x)= 2 x^2+5 x -3$.
2°) : $ P_2(x)= -2 x^2+6 x -\dfrac{9}{2}$.
3°) : $ P_3(x)= x^2+3 x +4$.
4°) : $ P_4(x)= x^2-5$.
5°) : $ P_5(x)= 3x^2-5x$.

Corrigé.
1°) Étude du signe de : $P_1(x)=2 x^2+5 x -3$
On commence par résoudre l’équation : $P_1(x)=0$ : $$2 x^2+5 x -3=0$$
On doit identifier les coefficients : $a=2$, $b=5$ et $c=-3$.
Puis calculer le discriminant $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=5^2-4\times 2\times (-3)$.
$\Delta=25+24$. Ce qui donne $\boxed{\; \Delta=49 \;}$.
$\color{red}{\Delta>0}$. Donc, l’équation $ P_1(x)=0$ admet deux solutions réelles distinctes [à calculer] : $$ x_1=-3\;\textrm{et}\; x_2=\dfrac{1}{2}$$
Ici, $a=2$, $a>0$, donc le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe contraire entre les racines. On peut donc conclure de la manière suivante :

Conclusion. Pour tout $x\in\R$ :
$$\boxed{\quad\begin{array}{rcl}
P(x)=0&\Leftrightarrow& x=-3\;\textrm{ou}\; x=\dfrac{1}{2}\\
P(x)>0&\Leftrightarrow& x<-3\;\textrm{ou}\; x>\dfrac{1}{2}\\
P(x)<0&\Leftrightarrow& -3<x<\dfrac{1}{2}.\\
\end{array}\quad}$$

Cette situation peut être résumée dans un tableau de signes :
$$\begin{array}{|r|ccccc|}\hline
x & -\infty\quad & -3 & & \dfrac{1}{2} & \quad+\infty\\ \hline
P(x) & \qquad + & 0 &- & 0 & + \qquad \\ \hline
\end{array}$$

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2°) Étude du signe de : $P_2(x)= -2 x^2+6 x -\dfrac{9}{2} $
On commence par résoudre l’équation : $P_2(x)=0$ : $$-2 x^2+6 x -\dfrac{9}{2}=0$$
On doit identifier les coefficients : $a=-2$, $b=6$ et $c=-\dfrac{9}{2} $.
Puis calculer le discriminant $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=6^2-4\times (-2)\times \left(-\dfrac{9}{2}\right)$.
$\Delta=36-36$. Ce qui donne $\boxed{\; \Delta=0 \;}$.
$\color{red}{\Delta=0}$. Donc, l’équation $P_2(x)=0$ admet une solution réelle unique :
$x_0=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-6}{2\times (-2)}=\dfrac{3}{2}$.
Ici, $a=-2$, $a<0$, donc le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines. On peut donc conclure de la manière suivante :

Conclusion. Pour tout $x\in\R$ :
$$\boxed{\quad\begin{array}{rcl}
P(x)=0&\Leftrightarrow& x=\dfrac{3}{2}\\
P(x)<0&\Leftrightarrow&x\neq\dfrac{3}{2}.\\
\end{array}\quad}$$

Cette situation peut être résumée dans un tableau de signes :
$$\begin{array}{|r|ccccc|}\hline
x & -\infty\quad & \dfrac{3}{2} & \quad+\infty\\ \hline
P(x) & \qquad – & 0 & – \qquad \\ \hline
\end{array}$$

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3°) Étude du signe de : $P_3(x)= x^2+3 x +4$
On commence par résoudre l’équation : $P_2(x)=0$ : $$x^2+3 x +4=0$$
On doit identifier les coefficients : $a=1$, $b=3$ et $c=4$.
Puis calculer le discriminant $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=3^2-4\times 1\times 4$.
$\Delta=9-16$. Ce qui donne $\boxed{\; \Delta=-7 \;}$.
$\color{red}{\Delta<0}$. Donc, l’équation $ P_2(x)=0 $ n’admet aucune solution réelle.
Ici, $a=1$, $a>0$, donc le trinôme est toujours du signe de $a$. On peut donc conclure de la manière suivante :

Conclusion. Pour tout $x\in\R$ : $P(x) >0$.

Cette situation peut être résumée dans un tableau de signes :
$$\begin{array}{|r|ccccc|}\hline
x & -\infty\quad \quad+\infty\\ \hline
P(x) & \qquad + \qquad \\ \hline
\end{array}$$

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4°) Étude du signe de : $P_4(x)= x^2-5 $
On commence par résoudre l’équation : $P_4(x)=0$ : $$x^2-5=0$$
On doit identifier les coefficients : $a=1$, $b=0$ et $c=-5$.
Puis calculer le discriminant $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=0^2-4\times 1\times (-5)$.
Ce qui donne $\boxed{\; \Delta=20 \;}$.
$\color{red}{\Delta>0}$. Donc, l’équation $P_4(x)=0$ admet deux solutions réelles distinctes [à calculer] : $$ x_1=-\sqrt{5}\;\textrm{et}\; x_2=\sqrt{5}$$
Ici, $a=1$, $a>0$, donc le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe contraire entre les racines. On peut donc conclure de la manière suivante :

Conclusion. Pour tout $x\in\R$ :
$$\boxed{\quad\begin{array}{rcl}
P(x)=0&\Leftrightarrow& x=- \sqrt{5} \;\textrm{ou}\; x= \sqrt{5} \\
P(x)>0&\Leftrightarrow& x<- \sqrt{5} \;\textrm{ou}\; x> \sqrt{5} \\
P(x)<0&\Leftrightarrow& – \sqrt{5} <x< \sqrt{5}.\\
\end{array}\quad}$$

Cette situation peut être résumée dans un tableau de signes :
$$\begin{array}{|r|ccccc|}\hline
x & -\infty\quad & – \sqrt{5} & & \sqrt{5} & \quad+\infty\\ \hline
P(x) & \qquad + & 0 &- & 0 & + \qquad \\ \hline
\end{array}$$

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5°) Étude du signe de : $P_5(x)= 3x^2-5x$
On commence par résoudre l’équation : $P_5(x)=0$ : $$3x^2-5x=0$$
On doit identifier les coefficients : $a=3$, $b=-5$ et $c=0$.
Calculons le discriminant $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=(-5)^2-4\times 3\times 0$.
$\Delta= 25$. Ce qui donne $\boxed{\; \Delta=25 \;}$.
$\color{red}{\Delta>0}$. Donc, l’équation $P_5(x)=0$ admet deux solutions réelles distinctes [à calculer] : $$ x_1=0;\textrm{et}\; x_2= \dfrac{5}{3}$$
Ici, $a=3$, $a>0$, donc le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe contraire entre les racines. On peut donc conclure de la manière suivante :

Conclusion. Pour tout $x\in\R$ :
$$\boxed{\quad\begin{array}{rcl}
P(x)=0&\Leftrightarrow& x=0\;\textrm{ou}\; x=\dfrac{5}{3}\\
P(x)>0&\Leftrightarrow& x<0\;\textrm{ou}\; x>\dfrac{5}{3}\\
P(x)<0&\Leftrightarrow& 0<x<\dfrac{5}{3}.\\
\end{array}\quad}$$

Cette situation peut être résumée dans un tableau de signes :
$$\begin{array}{|r|ccccc|}\hline
x & -\infty\quad & 0 & & \dfrac{5}{3} & \quad+\infty\\ \hline
P(x) & \qquad + & 0 &- & 0 & + \qquad \\ \hline
\end{array}$$

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