2. Fonction polynôme du second degré sous la forme développée réduite


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2. Polynômes du second degré

2.1. Définitions

Définition 3.
On appelle fonction polynôme du second degré, toute fonction $P$ définie sur $\R$, qui à tout nombre réel $x$ associe le nombre $P(x)$ qui peut s’écrire sous la forme développée réduite : $$P(x)=ax^2+bx+c$$
où $a$, $b$ et $c$ sont des réels et $\color{red}{a\neq 0}$.

L’expression algébrique associée $ax^2+bx+c$, $a\neq 0$, s’appelle un trinôme du second degré.

EXEMPLES

Les expressions suivantes définissent-elles des trinômes du second degré ?
1°) $A(x) = 2 x^2- 5 x +7$,
2°) $B(x) =(x-1)(2 x+3)$
3°) $C(x)=5x^2-\dfrac{3}{x}+7x+2$.
4°) $D(x)=3 x^2-1$

Corrigé.
1°) $A(x) = 2 x^2- 5 x +7$, $A$ est un trinôme du second degré avec : $$a = 2, b = –5\textrm{ et }c = 7.$$

2°) $B(x) =(x-1)(2 x+3)$ [à développer et réduire]. $B$ est un trinôme du second degré avec : $$a = 2, b=1 \textrm{ et }c = –3.$$

3°) $C(x)=5x^2-\dfrac{3}{x}+7x+2$ contient un terme (le deuxième) qui n’est pas un monôme ! Donc $C$ n’est (même) pas une fonction polynôme.

4°) $C(x)=3 x^2-1$, $C$ est un trinôme du second degré avec :
$$a = 3, b = 0 \textrm{ et }c = –1.$$


2.2. Égalité de deux trinômes

Théorème 1.
Deux fonctions polynômes du second degré sont égales si et seulement si, les coefficients de leurs monômes de même degré sont égaux.

Autrement dit : Si $P(x)=ax^2+bx+c$ et $Q(x)=a’x^2+b’x+c’ $, alors :
$$\begin{array}{rcl}
P = Q &\Leftrightarrow& \textrm{pour tout } x\in\R : P(x) = Q(x)\\
& & \textrm{ou encore} \\
P = Q &\Leftrightarrow & a=a’, b=b’ \textrm{ et } c=c’ \\
\end{array} $$


2.2. Racine d’un trinôme

Définition.
On appelle racine ou zéro d’un trinôme du second degré $P$, toute valeur $\alpha$ de la variable $x$, solution de l’équation $P(x)=0$. Ainsi : $$\alpha\textrm{ est une racine de }P\Leftrightarrow P( \alpha )=0$$

EXEMPLES

Vérifier que $-3$ est une racine des deux trinômes suivants définis par :
$P(x)=2x^2+10x+12$ et $Q(x)=x^2+5x+6$.

Corrigé.
1°) $P(-3) =2\times(-3)^2+10\times(-3)+12=18-30+12 = 0$.
Donc $-3$ est bien une racine du trinôme $P$.

2°) $Q(-3) =(-3)^2+5 \times (-3)+6 =9-15+6=0$.
Donc $-3$ est bien une racine du polynôme $Q$.


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