8. Résolution d’une inéquation du second degré


Sommaire – Page 1ère Spé-Maths

  1. Fonction polynôme sous la forme développée réduite
    Monôme. Coefficient. Polynôme. Degré. Egalité de deux polynômes. Racine d’un polynôme
  2. Trinôme du second degré. Egalité de deux trinômes du second degré
  3. Différentes formes remarquables d’une fonction polynôme du second degré
  4. Passage de la forme développée réduite à la forme canonique ou la forme factorisée et réciproquement
  5. Résolution de l’équation du second degré $ax^2+bx+c = 0$, $a\neq 0$
    5.bis. Exercice résolu : Résolution d’une équation du second degré avec un paramètre
  6. Expression de la somme et du produit des racines d’un trinôme du second degré ($\Delta\geq0$)
  7. Factorisation et signe du trinôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq 0$
  8. Résolution d’une inéquation du second degré
  9. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré.
  10. Tableau récapitulatif de signes d’une fonction polynôme du second degré.

8.1. Signe d’un trinôme et résolution d’une inéquation du second degré

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels données, $a\neq 0$.
On considère l’inéquation du second degré : $$ ax^2+bx+c\geqslant 0$$
Pour résoudre une inéquation du second degré, on commence par chercher le signe du trinôme du second degré qui lui est associé.
Soit $P$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par : $P(x)=ax^2+bx+c=0$.
Afin de déterminer le signe du trinôme du second degré, nous utiliserons l’une des deux méthodes suivantes :

  • 1ère méthode : On factorise le trinôme sous la forme d’un produit de deux polynômes du premier degré dont on sait facilement déterminer le signe, puis on fait un tableau de signes. Cette méthode était déjà utilisée en Seconde.
  • 2ème méthode : On calcule le discriminant $\Delta$, on calcule les racines du trinôme et, suivant le signe de $a$, détermine le signe du trinôme en utilisant le théorème suivant (vu au chapitre précédent) avant de conclure.

Théorème 7.
Un trinôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$, est toujours du signe de $a$, à l’extérieur des racines (lorsqu’elles existent) et du signe contraire entre les racines.
En particulier si $\Delta < 0$, le trinôme garde un signe constant, le signe de $a$, pour tout $x\in\R$.


8.2 Exemples

Exercice résolu. Résoudre les inéquations du second degré suivantes :
($E_1$) : $2 x^2+5 x -3\geqslant 0$.
($E_2$) : $-2 x^2>\dfrac{9}{2}-6x $.
($E_3$) : $x^2+3 x +4\geqslant 0$.
($E_4$) : $x^2-5\leqslant0$.
($E_5$) : $3x^2-5x >0$.

Corrigé.
1°) Résolution de l’inéquation ($E_1$) : $2 x^2+5 x -3 \geqslant 0$
On commence par résoudre l’équation : $P_1(x)=0$ : $$2 x^2+5 x -3=0$$
On doit identifier les coefficients : $a=2$, $b=5$ et $c=-3$.
Puis calculer le discriminant $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=5^2-4\times 2\times (-3)$.
$\Delta=25+24$. Ce qui donne $\boxed{\; \Delta=49 \;}$.
$\color{red}{\Delta>0}$. Donc, l’équation $ P_1(x)=0$ admet deux solutions réelles distinctes [à calculer] : $$ x_1=-3\;\textrm{et}\; x_2=\dfrac{1}{2}$$
Ici, $a=2$, $a>0$, donc le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe contraire entre les racines. Ce qui donne :
$$P_1(x)\geqslant 0\Leftrightarrow x \leqslant -3\;\textrm{ou}\; x \geqslant \dfrac{1}{2}$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’équation ($E_1$) est :
$$\color{red}{{\cal S}_1=\left]-\infty;-3\right]\cup\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[}$$

2°) Résolution de l’inéquation ($E_2$) : $-2 x^2>\dfrac{9}{2}-6x $
Ce qui équivaut à : $-2 x^2+6 x -\dfrac{9}{2}>0$.
On commence par résoudre l’équation : $P_2(x)=0$ : $$-2 x^2+6 x -\dfrac{9}{2}=0$$
On doit identifier les coefficients : $a=-2$, $b=6$ et $c=-\dfrac{9}{2} $.
Puis calculer le discriminant $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=6^2-4\times (-2)\times \left(-\dfrac{9}{2}\right)$.
$\Delta=36-36$. Ce qui donne $\boxed{\; \Delta=0 \;}$.
$\color{red}{\Delta=0}$. Donc, l’équation $P_2(x)=0$ admet une solution réelle unique :
$x_0=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-6}{2\times (-2)}=\dfrac{3}{2}$.
Ici, $a=-2$, $a<0$, donc le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines. Donc, pour tout $x\in\R$ :
$$\boxed{\quad\begin{array}{rcl}
P(x)<0&\Leftrightarrow&x\neq\dfrac{3}{2}.\\
P(x)=0&\Leftrightarrow& x=\dfrac{3}{2}\\
\end{array}\quad}$$

Conclusion. L’inéquation ($E_2$) n’admet aucune solution réelle. L’ensemble des solutions de l’équation ($E_1$) est vide.
$$\color{red}{{\cal S}_2=\emptyset}$$


3°) Résolution de l’inéquation ($E_3$) : $x^2+3 x +4\geqslant 0$.
On commence par résoudre l’équation : $P_3(x)=0$ : $$x^2+3 x +4=0$$
On doit identifier les coefficients : $a=1$, $b=3$ et $c=4$.
Puis calculer le discriminant $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=3^2-4\times 1\times 4$.
$\Delta=9-16$. Ce qui donne $\boxed{\; \Delta=-7 \;}$.
$\color{red}{\Delta<0}$. Donc, l’équation $ P_3(x)=0 $ n’admet aucune solution réelle.
Ici, $a=1$, $a>0$, donc le trinôme est toujours du signe de $a$. Donc, pour tout $x\in\R$ : $P(x) >0$. Donc, pour tout $x\in\R$ : $P(x)\geqslant 0$.

Conclusion. Tous les nombres réels sont des solutions de l’inéquation ($E_3$). L’ensemble des solutions de l’équation ($E_1$) est $\R$ tout entier.
$$\color{red}{{\cal S}_3=\R}$$


4°) Résolution de l’inéquation ($E_4$) : $x^2-5 \leqslant 0$.
On commence par résoudre l’équation : $P_4(x)=0$ : $$x^2-5=0$$
1ère méthode : On peut directement factoriser le trinôme à l’aide d’une identité remarquable I.R. n°3. Ce qui permet de calculer les racines $x_1 =-\sqrt{5}$ et $x_2=\sqrt{5}$.
2ème méthode : On identifie les coefficients : $a=1$, $b=0$ et $c=-5$.
Puis on calcule le discriminant $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=0^2-4\times 1\times (-5)$.
Ce qui donne $\boxed{\; \Delta=20 \;}$.
$\color{red}{\Delta>0}$. Donc, l’équation $P_4(x)=0$ admet deux solutions réelles distinctes [à calculer] : $$ x_1=-\sqrt{5}\;\textrm{et}\; x_2=\sqrt{5}$$
Ici, $a=1$, $a>0$, donc le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe contraire entre les racines. Donc, pour tout $x\in\R$ :
$$\boxed{\quad\begin{array}{rcl}
P(x)=0&\Leftrightarrow& x=- \sqrt{5} \;\textrm{ou}\; x= \sqrt{5} \\
P(x)>0&\Leftrightarrow& x<- \sqrt{5} \;\textrm{ou}\; x> \sqrt{5} \\
P(x)<0&\Leftrightarrow& – \sqrt{5} <x< \sqrt{5}.\\
\end{array}\quad}$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’équation ($E_4$) est :
$$\color{red}{{\cal S}_4=\left[ -\sqrt{5} ; \sqrt{5} \right]}$$


5°) Résolution de l’inéquation ($E_5$) : $3x^2-5x >0$.
On commence par résoudre l’équation : $P_5(x)=0$ : $$3x^2-5x=0$$
1ère méthode : On peut directement factoriser le trinôme par $x$. Ce qui permet de calculer les racines $x_1 =0$ et $x_2=\dfrac{5}{3}$.
2ème méthode : On identifie les coefficients : $a=3$, $b=-5$ et $c=0$.
Calculons le discriminant $\Delta$.
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta=(-5)^2-4\times 3\times 0$.
$\Delta= 25$. Ce qui donne $\boxed{\; \Delta=25 \;}$.
$\color{red}{\Delta>0}$. Donc, l’équation $P_5(x)=0$ admet deux solutions réelles distinctes [à calculer] : $$ x_1=0;\textrm{et}\; x_2= \dfrac{5}{3}$$
Ici, $a=3$, $a>0$, donc le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des racines et du signe contraire entre les racines. Donc,
$$P(x)>0\Leftrightarrow x<0\;\textrm{ou}\; x>\dfrac{5}{3}$$

Conclusion. L’ensemble des solutions de l’équation ($E_5$) est :
$$\color{red}{{\cal S}_5=\left]-\infty;\right[\cup\left]\dfrac{5}{3};+\infty\right[}$$


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