4. Passage de la forme développée réduite à la forme canonique ou la forme factorisée et réciproquement


Sommaire – Page 1ère Spé-Maths

  1. Fonction polynôme sous la forme développée réduite
    Monôme. Coefficient. Polynôme. Degré. Egalité de deux polynômes. Racine d’un polynôme
  2. Trinôme du second degré. Egalité de deux trinômes du second degré
  3. Différentes formes remarquables d’une fonction polynôme du second degré
  4. Passage de la forme développée réduite à la forme canonique ou la forme factorisée et réciproquement
  5. Résolution de l’équation du second degré $ax^2+bx+c = 0$, $a\neq 0$
    5.bis. Exercice résolu : Résolution d’une équation du second degré avec un paramètre
  6. Expression de la somme et du produit des racines d’un trinôme du second degré ($\Delta\geq0$)
  7. Factorisation et signe du trinôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq0$
  8. Résolution d’une inéquation du second degré
  9. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré.
  10. Tableau récapitulatif de signes d’une fonction polynôme du second degré.

4.1. Formes remarquables d’un polynôme du second degré

Nous voyons ci-dessus les trois formes remarquables d’écritures réduites d’une expression algébrique, d’un polynôme (ou d’un trinôme) du second degré.

Définition 1.
Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$. Pour tout nombre réel $x$, $P(x)$ peut s’écrire sous l’une des trois formes remarquables suivantes :
1°) La forme développée réduite :
$\quad$(FDR)$\quad\color{red}{P(x)=ax^2+bx+c}$ ;
où $a$, $b$ et $c$ sont des réels et $\color{bordeaux}{a\neq 0}$.
2°) La forme factorisée lorsque c’est possible :
$\quad$ • Si $P$ admet une seule racine dite double $x_0$:
$\quad$ (FF1) : $ \color{red}{P(x)=a(x-x_0)^2}$.
$\quad$ • Si $P$ admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ :
$\quad$ (FF2) : $ \color{red}{P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)}$
3°) La forme canonique :
$\quad$ (FC) : $ \color{red}{P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta}$.

Remarques

Chacune de ces expressions a son intérêt propre. On choisira la forme la plus adaptée selon le contexte et les données du problème.

1°) La forme développée réduite

  1. Le signe de $a$ détermine le sens de variation de la fonction et la direction des branches de la parabole représentative de la fonction :
    – Si $a>0$, les branches de la parabole sont dirigées vers les $y$ positifs (vers le haut). La fonction est alors décroissante puis croissante.
    – Si $a<0$, les branches de la parabole sont dirigées vers les $y$ négatifs (vers le bas). La fonction est alors croissante puis décroissante.
  2. $c=P(0)$ est l’ordonnée du point d’intersection de la courbe de la fonction $P$ avec l’axe des ordonnées.
  3. On peut calculer $x_0$ cmme suit :
    $$ \color{red}{\boxed{\; x_0=\alpha=\dfrac{-b}{2a}\;}}$$
    $x_0$ est l’abscisse du sommet $S$ de la parabole et $\beta=f(\alpha)$ (à calculer). Les coordonnées du sommet $S$ sont $S(\alpha ; \beta)$.
    On peut alors, suivant le signe de $a$, déterminer le sens de variation de la fonction,… etc.

2°) La forme factorisée

  1. Le signe de $a$ détermine le sens de variation de la fonction et la direction des branches de la parabole représentative de la fonction. (Comme ci-dessus).
  2. Si $P$ admet une seule racine double $x_0$, alors $P(x_0)=0$. La courbe coupe l’axe des abscisse en un seul point. Donc $x_0=\alpha$ est l’abscisse du sommet $S$ de la parabole et $\beta=0$. Les coordonnées du sommet $S$ sont $S(\alpha ; 0)$.
    On peut alors, suivant le signe de $a$, déterminer le sens de variation de la fonction,… etc.
  3. Si $P$ admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$, alors la courbe coupe l’axe des abscisse en deux points d’abscisses $x_1$ et $x_2$. Alors
    $$\color{red}{\boxed{\;x_0=\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}\;}}$$
    est l’abscisse du sommet $S$ de la parabole et $\beta=f(\alpha)$ (à calculer). Les coordonnées du sommet $S$ sont $S(\alpha ; \beta)$.
    On peut alors, suivant le signe de $a$, déterminer le sens de variation de la fonction,… etc.

3°) La forme canonique

  1. Le signe de $a$ détermine le sens de variation de la fonction et la direction des branches de la parabole représentative de la fonction. (Comme ci-dessus).
  2. Donc $x_0=\alpha$ est l’abscisse du sommet $S$ de la parabole et $\beta=f(\alpha)$. Les coordonnées du sommet $S$ sont $S(\alpha ; \beta)$.
    On peut alors, suivant le signe de $a$, déterminer le sens de variation de la fonction,… etc.
  3. Si $a$ et $\beta$ sont de signes contraires, on peut factoriser $f(x)$ et déterminer ses racines.
  4. Si $a$ et $\beta$ sont de même signe, $f(x)$ ne se factorise pas et sa courbe est entièrement en dessous ou entièrement au-dessus de l’axe des abscisses.

4.2 Passer d’une forme remarquable à une autre

Pré-requis
Calcul algébrique – Identités remarquables –

EXEMPLES

Exemple 1.
On considère la fonction polynôme $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=2x^2−8x+6$, dont la représentation graphique dans un repère orthogonal, est une parabole $\cal P$ de sommet $S$.
1°) Déterminer les coordonnées du sommet $S$ de la parabole.
2°) En déduire la forme canonique de la fonction $f$.
3°) Déterminer la forme factorisée de $f(x)$.
4°) En déduire les racines de la fonction polynôme $f$.

Corrigé.
1°) Recherche des coordonnées du sommet $S(\alpha ; \beta)$.
$\color{red}{f(x)=2x^2−8x+6}$ est la forme développée réduite de $f$, avec $a=2$, $b=-8$ et $c=6$.
$\alpha=-\dfrac{-8}{2\times 2}=+2$.
$\beta=f(\alpha)$. Donc : $\beta=f(2)$. Donc : $\beta=2\times 2^2-8\times 2+6$. D’où : $\beta=-2$.
Par conséquent, les coordonnées du sommet $S$ sont : $S(2;-2)$.

2°) En déduire la forme canonique de la fonction $f$.
Nous connaissons, $a=2$, $\alpha=2$ et $\beta=-2$. Donc, par définition, la forme canonique de $f$ est donnée par :
$$\color{red}{f(x)=2(x-2)^2-2}$$

3°) Recherche de la forme factorisée de la fonction $f$.
Nous allons partir de la forme canonique de $f$.
On factorise toute l’expression par $a=2$. Ce qui donne :
$$ f(x)=2(x-2)^2-2 =2\left[ (x-2)^2-1 \right]$$
qu’on peut également écrire : $f(x)=2\left[ (x-2)^2-1^2 \right]$
On reconnaît entre crochets, une identité remarquable n°3. Or :
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
Donc, pour tout $x\in\R$ : $f(x)=2(x-2-1)(x-2+1)$.
Par conséquent, la forme factorisée de $f$ est donnée par :
$$\color{red}{f(x)=2(x-3)(x-1)}$$

4°) En déduire les racines de la fonction polynôme $f$.
Il suffit de résoudre l’équation $f(x)=0$, avec la forme factorisée et le théorème du produit nul.
$$\begin{array}{rcl}
f(x)=0 &\Leftrightarrow& 2(x-3)(x-1) =0\\
&\Leftrightarrow& 2=0\;\textrm{ou}\; x-3=0\; \textrm{ou}\; x-1=0\\
\end{array}$$
Or, $2\neq0$, donc :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)=0 &\Leftrightarrow& x-3=0\;\textrm{ou}\; x-1=0\\
&\Leftrightarrow& x=3\;\textrm{ou}\; x=1\\
\end{array}$$
Par conséquent, l’équation $f(x)=0$ admet deux solutions : $x_1=1$ et $x_2=3$.
Conclusion. La fonction polynôme $f$ admet $\color{red}{deux\; racines}$ : $\color{red}{ x_1=1}$ et $\color{red}{x_2=3}$.

Exemple 2.
On considère la fonction polynôme $g$ définie sur $\R$ par : $g(x)=2(x-1)^2-10$, dont la représentation graphique dans un repère orthogonal, est une parabole $\cal P$ de sommet $S$.
1°) Déterminer la forme développée réduite de la fonction $g$.
2°) Déterminer la forme factorisée de $g(x)$.
3°) En déduire les racines de la fonction polynôme $g$.

Corrigé.
1°) Recherche de la forme développée réduite de la fonction $g$.
$\color{red}{g(x)=2(x-1)^2-10}$ est la forme canonique de $g$, avec $a=2$, $\alpha=1$ et $\beta=-10$. Il suffit de développer et réduite l’expression de la fonction $g$.
Pour tout $x\in\R$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
g(x) &=& 2(x-1)^2-10 \\
&=&2\left[ x^2-2\times 1\times x+1^2\right]-10\\
&=&2\left[ x^2-2x+1\right]-10\\
&=& 2x^2-4x+2-10\\
&=& 2x^2-4x-8\\
\end{array}$$
Par conséquent, la forme développée réduite de la fonction $g$ est donnée par :
$$ \color{red}{g(x)= 2x^2-4x-8}$$

2°) Recherche de la forme factorisée de la fonction $g$.
Nous allons partir de la forme canonique de $g$.
On factorise toute l’expression par $a=2$. Ce qui donne :
$$ g(x)=2(x-1)^2-10 =2\left[ (x-1)^2-5 \right]$$
qu’on peut également écrire : $g(x)=2\left[ (x-1)^2-\sqrt{5}^2 \right]$
On reconnaît entre crochets, une identité remarquable n°3. Or :
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
Donc, pour tout $x\in\R$ : $g(x)=2(x-1-\sqrt{5})(x-1+\sqrt{5})$.
Par conséquent, la forme factorisée de $g$ est donnée par :
$$\color{red}{g(x)= 2(x-1-\sqrt{5})(x-1+\sqrt{5}) }$$

3°) En déduire les racines de la fonction polynôme $f$.
Il suffit de résoudre l’équation $g(x)=0$, avec la forme factorisée et le théorème du produit nul.
$$\begin{array}{rcl}
g(x)=0 &\Leftrightarrow& 2(x-1-\sqrt{5})(x-1+\sqrt{5}) =0\\
&\Leftrightarrow& 2=0\;\textrm{ou}\; (x-1-\sqrt{5}) =0\; \textrm{ou}\; (x-1+\sqrt{5}) =0\\
\end{array}$$
Or, $2\neq0$, donc :
$$\begin{array}{rcl}
g(x)=0 &\Leftrightarrow& x-1-\sqrt{5}=0\;\textrm{ou}\; (x-1+\sqrt{5}) =0\\
&\Leftrightarrow& x=1+\sqrt{5} \;\textrm{ou}\; x=1-\sqrt{5}\\
\end{array}$$
Par conséquent, l’équation $g(x)=0$ admet deux solutions : $x_1= 1-\sqrt{5} $ et $x_2= 1+\sqrt{5} $.
Conclusion. La fonction polynôme $g$ $\color{red}{\textrm{admet\; deux\; racines}}$ : $\color{red}{ x_1= 1-\sqrt{5} }$ et $\color{red}{x_2= 1+\sqrt{5}}$.

Exemple 3.
On considère la fonction polynôme $h$ définie sur $\R$ par : $h(x)=2(x-3)(x-5)$, dont la représentation graphique dans un repère orthogonal, est une parabole $\cal P$ de sommet $S$.
1°) Déterminer la forme développée réduite de la fonction $h$.
2°) Déterminer la forme canonique de $g(x)$.

Corrigé.
1°) Recherche de la forme développée réduite de la fonction $h$.
$\color{red}{ h(x)=2(x-3)(x-5)}$ est la forme factorisée de $h$, avec $a=2$, $x_1=3$ et $x_2=5$. Il suffit de développer et réduite l’expression de la fonction $h$.
Pour tout $x\in\R$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
h(x) &=& 2(x-3)(x-5) \\
&=&2\left[ x^2-5x-3x+15\right]\\
&=&2\left[ x^2-8x+15\right]\\
&=& 2x^2-16x+30\\
\end{array}$$
Par conséquent, la forme développée réduite de la fonction $h$ est donnée par :
$$ \color{red}{h(x) =2x^2-16x+30}$$

2°) Recherche de la forme canonique de la fonction $h$.
Nous allons partir de la forme développée réduite de $h$ pour déterminer $\alpha$ et $\beta$. On sait que : $\color{red}{h(x) =2x^2-16x+30}$, avec $a=2$, $b=-16$ et $c=30$.
On a donc :
$\alpha=-\dfrac{-16}{2\times 2}=+4$.
$\beta=h(\alpha)$. Donc : $\beta=f(4)$. Donc : $\beta=2\times 4^2-16\times 4+30$. D’où : $\beta=-2$.
Finalement, par définition, la forme canonique de $h$ est donnée par :
$$\color{red}{h(x)=2(x-4)^2-2}$$


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