4. Passage de la forme développée réduite à la forme canonique ou la forme factorisée et réciproquement


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4.1. Formes remarquables d’un polynôme du second degré

Nous voyons ci-dessus les trois formes remarquables d’écritures réduites d’une expression algébrique, d’un polynôme (ou d’un trinôme) du second degré.

Définition 1.
Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$. Pour tout nombre réel $x$, $P(x)$ peut s’écrire sous l’une des trois formes remarquables suivantes :
1°) La forme développée réduite :
$\quad$(FDR)$\quad\color{red}{P(x)=ax^2+bx+c}$ ;
où $a$, $b$ et $c$ sont des réels et $\color{bordeaux}{a\neq 0}$.
2°) La forme factorisée lorsque c’est possible :
$\quad$ • Si $P$ admet une seule racine dite double $x_0$:
$\quad$ (FF1) : $ \color{red}{P(x)=a(x-x_0)^2}$.
$\quad$ • Si $P$ admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ :
$\quad$ (FF2) : $ \color{red}{P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)}$
3°) La forme canonique :
$\quad$ (FC) : $ \color{red}{P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta}$.

Remarques

Chacune de ces expressions a son intérêt propre. On choisira la forme la plus adaptée selon le contexte et les données du problème.

1°) La forme développée réduite

  1. Le signe de $a$ détermine le sens de variation de la fonction et la direction des branches de la parabole représentative de la fonction :
    – Si $a>0$, les branches de la parabole sont dirigées vers les $y$ positifs (vers le haut). La fonction est alors décroissante puis croissante.
    – Si $a<0$, les branches de la parabole sont dirigées vers les $y$ négatifs (vers le bas). La fonction est alors croissante puis décroissante.
  2. $c=P(0)$ est l’ordonnée du point d’intersection de la courbe de la fonction $P$ avec l’axe des ordonnées.
  3. On peut calculer $x_0$ cmme suit :
    $$ \color{red}{\boxed{\; x_0=\alpha=\dfrac{-b}{2a}\;}}$$
    $x_0$ est l’abscisse du sommet $S$ de la parabole et $\beta=f(\alpha)$ (à calculer). Les coordonnées du sommet $S$ sont $S(\alpha ; \beta)$.
    On peut alors, suivant le signe de $a$, déterminer le sens de variation de la fonction,… etc.

2°) La forme factorisée

  1. Le signe de $a$ détermine le sens de variation de la fonction et la direction des branches de la parabole représentative de la fonction. (Comme ci-dessus).
  2. Si $P$ admet une seule racine double $x_0$, alors $P(x_0)=0$. La courbe coupe l’axe des abscisse en un seul point. Donc $x_0=\alpha$ est l’abscisse du sommet $S$ de la parabole et $\beta=0$. Les coordonnées du sommet $S$ sont $S(\alpha ; 0)$.
    On peut alors, suivant le signe de $a$, déterminer le sens de variation de la fonction,… etc.
  3. Si $P$ admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$, alors la courbe coupe l’axe des abscisse en deux points d’abscisses $x_1$ et $x_2$. Alors
    $$\color{red}{\boxed{\;x_0=\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}\;}}$$
    est l’abscisse du sommet $S$ de la parabole et $\beta=f(\alpha)$ (à calculer). Les coordonnées du sommet $S$ sont $S(\alpha ; \beta)$.
    On peut alors, suivant le signe de $a$, déterminer le sens de variation de la fonction,… etc.

3°) La forme canonique

  1. Le signe de $a$ détermine le sens de variation de la fonction et la direction des branches de la parabole représentative de la fonction. (Comme ci-dessus).
  2. Donc $x_0=\alpha$ est l’abscisse du sommet $S$ de la parabole et $\beta=f(\alpha)$. Les coordonnées du sommet $S$ sont $S(\alpha ; \beta)$.
    On peut alors, suivant le signe de $a$, déterminer le sens de variation de la fonction,… etc.
  3. Si $a$ et $\beta$ sont de signes contraires, on peut factoriser $f(x)$ et déterminer ses racines.
  4. Si $a$ et $\beta$ sont de même signe, $f(x)$ ne se factorise pas et sa courbe est entièrement en dessous ou entièrement au-dessus de l’axe des abscisses.

4.2 Passer d’une forme remarquable à une autre

Pré-requis
Calcul algébrique – Identités remarquables –

EXEMPLES

Exemple 1.
On considère la fonction polynôme $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=2x^2−8x+6$, dont la représentation graphique dans un repère orthogonal, est une parabole $\cal P$ de sommet $S$.
1°) Déterminer les coordonnées du sommet $S$ de la parabole.
2°) En déduire la forme canonique de la fonction $f$.
3°) Déterminer la forme factorisée de $f(x)$.
4°) En déduire les racines de la fonction polynôme $f$.

Corrigé.
1°) Recherche des coordonnées du sommet $S(\alpha ; \beta)$.
$\color{red}{f(x)=2x^2−8x+6}$ est la forme développée réduite de $f$, avec $a=2$, $b=-8$ et $c=6$.
$\alpha=-\dfrac{-8}{2\times 2}=+2$.
$\beta=f(\alpha)$. Donc : $\beta=f(2)$. Donc : $\beta=2\times 2^2-8\times 2+6$. D’où : $\beta=-2$.
Par conséquent, les coordonnées du sommet $S$ sont : $S(2;-2)$.

2°) En déduire la forme canonique de la fonction $f$.
Nous connaissons, $a=2$, $\alpha=2$ et $\beta=-2$. Donc, par définition, la forme canonique de $f$ est donnée par :
$$\color{red}{f(x)=2(x-2)^2-2}$$

3°) Recherche de la forme factorisée de la fonction $f$.
Nous allons partir de la forme canonique de $f$.
On factorise toute l’expression par $a=2$. Ce qui donne :
$$ f(x)=2(x-2)^2-2 =2\left[ (x-2)^2-1 \right]$$
qu’on peut également écrire : $f(x)=2\left[ (x-2)^2-1^2 \right]$
On reconnaît entre crochets, une identité remarquable n°3. Or :
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
Donc, pour tout $x\in\R$ : $f(x)=2(x-2-1)(x-2+1)$.
Par conséquent, la forme factorisée de $f$ est donnée par :
$$\color{red}{f(x)=2(x-3)(x-1)}$$

4°) En déduire les racines de la fonction polynôme $f$.
Il suffit de résoudre l’équation $f(x)=0$, avec la forme factorisée et le théorème du produit nul.
$$\begin{array}{rcl}
f(x)=0 &\Leftrightarrow& 2(x-3)(x-1) =0\\
&\Leftrightarrow& 2=0\;\textrm{ou}\; x-3=0\; \textrm{ou}\; x-1=0\\
\end{array}$$
Or, $2\neq0$, donc :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)=0 &\Leftrightarrow& x-3=0\;\textrm{ou}\; x-1=0\\
&\Leftrightarrow& x=3\;\textrm{ou}\; x=1\\
\end{array}$$
Par conséquent, l’équation $f(x)=0$ admet deux solutions : $x_1=1$ et $x_2=3$.
Conclusion. La fonction polynôme $f$ admet $\color{red}{deux\; racines}$ : $\color{red}{ x_1=1}$ et $\color{red}{x_2=3}$.

Exemple 2.
On considère la fonction polynôme $g$ définie sur $\R$ par : $g(x)=2(x-1)^2-10$, dont la représentation graphique dans un repère orthogonal, est une parabole $\cal P$ de sommet $S$.
1°) Déterminer la forme développée réduite de la fonction $g$.
2°) Déterminer la forme factorisée de $g(x)$.
3°) En déduire les racines de la fonction polynôme $g$.

Corrigé.
1°) Recherche de la forme développée réduite de la fonction $g$.
$\color{red}{g(x)=2(x-1)^2-10}$ est la forme canonique de $g$, avec $a=2$, $\alpha=1$ et $\beta=-10$. Il suffit de développer et réduite l’expression de la fonction $g$.
Pour tout $x\in\R$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
g(x) &=& 2(x-1)^2-10 \\
&=&2\left[ x^2-2\times 1\times x+1^2\right]-10\\
&=&2\left[ x^2-2x+1\right]-10\\
&=& 2x^2-4x+2-10\\
&=& 2x^2-4x-8\\
\end{array}$$
Par conséquent, la forme développée réduite de la fonction $g$ est donnée par :
$$ \color{red}{g(x)= 2x^2-4x-8}$$

2°) Recherche de la forme factorisée de la fonction $g$.
Nous allons partir de la forme canonique de $g$.
On factorise toute l’expression par $a=2$. Ce qui donne :
$$ g(x)=2(x-1)^2-10 =2\left[ (x-1)^2-5 \right]$$
qu’on peut également écrire : $g(x)=2\left[ (x-1)^2-\sqrt{5}^2 \right]$
On reconnaît entre crochets, une identité remarquable n°3. Or :
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
Donc, pour tout $x\in\R$ : $g(x)=2(x-1-\sqrt{5})(x-1+\sqrt{5})$.
Par conséquent, la forme factorisée de $g$ est donnée par :
$$\color{red}{g(x)= 2(x-1-\sqrt{5})(x-1+\sqrt{5}) }$$

3°) En déduire les racines de la fonction polynôme $f$.
Il suffit de résoudre l’équation $g(x)=0$, avec la forme factorisée et le théorème du produit nul.
$$\begin{array}{rcl}
g(x)=0 &\Leftrightarrow& 2(x-1-\sqrt{5})(x-1+\sqrt{5}) =0\\
&\Leftrightarrow& 2=0\;\textrm{ou}\; (x-1-\sqrt{5}) =0\; \textrm{ou}\; (x-1+\sqrt{5}) =0\\
\end{array}$$
Or, $2\neq0$, donc :
$$\begin{array}{rcl}
g(x)=0 &\Leftrightarrow& x-1-\sqrt{5}=0\;\textrm{ou}\; (x-1+\sqrt{5}) =0\\
&\Leftrightarrow& x=1+\sqrt{5} \;\textrm{ou}\; x=1-\sqrt{5}\\
\end{array}$$
Par conséquent, l’équation $g(x)=0$ admet deux solutions : $x_1= 1-\sqrt{5} $ et $x_2= 1+\sqrt{5} $.
Conclusion. La fonction polynôme $g$ $\color{red}{\textrm{admet\; deux\; racines}}$ : $\color{red}{ x_1= 1-\sqrt{5} }$ et $\color{red}{x_2= 1+\sqrt{5}}$.

Exemple 3.
On considère la fonction polynôme $h$ définie sur $\R$ par : $h(x)=2(x-3)(x-5)$, dont la représentation graphique dans un repère orthogonal, est une parabole $\cal P$ de sommet $S$.
1°) Déterminer la forme développée réduite de la fonction $h$.
2°) Déterminer la forme canonique de $g(x)$.

Corrigé.
1°) Recherche de la forme développée réduite de la fonction $h$.
$\color{red}{ h(x)=2(x-3)(x-5)}$ est la forme factorisée de $h$, avec $a=2$, $x_1=3$ et $x_2=5$. Il suffit de développer et réduite l’expression de la fonction $h$.
Pour tout $x\in\R$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
h(x) &=& 2(x-3)(x-5) \\
&=&2\left[ x^2-5x-3x+15\right]\\
&=&2\left[ x^2-8x+15\right]\\
&=& 2x^2-16x+30\\
\end{array}$$
Par conséquent, la forme développée réduite de la fonction $h$ est donnée par :
$$ \color{red}{h(x) =2x^2-16x+30}$$

2°) Recherche de la forme canonique de la fonction $h$.
Nous allons partir de la forme développée réduite de $h$ pour déterminer $\alpha$ et $\beta$. On sait que : $\color{red}{h(x) =2x^2-16x+30}$, avec $a=2$, $b=-16$ et $c=30$.
On a donc :
$\alpha=-\dfrac{-16}{2\times 2}=+4$.
$\beta=h(\alpha)$. Donc : $\beta=f(4)$. Donc : $\beta=2\times 4^2-16\times 4+30$. D’où : $\beta=-2$.
Finalement, par définition, la forme canonique de $h$ est donnée par :
$$\color{red}{h(x)=2(x-4)^2-2}$$


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