3. Différentes formes d’une fonction polynôme du second degré



Sommaire – Page 1ère Spé-Maths

  1. Fonction polynôme sous la forme développée réduite
    Monôme. Coefficient. Polynôme. Degré. Egalité de deux polynômes. Racine d’un polynôme
  2. Trinôme du second degré. Egalité de deux trinômes du second degré
  3. Différentes formes remarquables d’une fonction polynôme du second degré
  4. Passage de la forme développée réduite à la forme canonique ou la forme factorisée et réciproquement
  5. Résolution de l’équation du second degré $ax^2+bx+c = 0$, $a\neq 0$
    5.bis. Exercice résolu : Résolution d’une équation du second degré avec un paramètre
  6. Expression de la somme et du produit des racines d’un trinôme du second degré ($\Delta\geq0$)
  7. Factorisation et signe du trinôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq0$
  8. Résolution d’une inéquation du second degré
  9. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré.
  10. Tableau récapitulatif de signes d’une fonction polynôme du second degré.

3.1. Forme développée réduite d’un polynôme du second degré

Définition 1.
Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$. Pour tout nombre réel $x$, $P(x)$ peut s’écrire sous la forme développée réduite (FDR) :
$$\textrm{(FDR)}\qquad \color{red}{P(x)=ax^2+bx+c}$$
où $a$, $b$ et $c$ sont des réels et $\color{blue}{a\neq 0}$.

Remarque

$c=P(0)$ est une valeur remarquable. C’est l’ordonnée du point d’intersection de la courbe de la fonction $P$ avec l’axe des ordonnées.


3.2 Forme factorisée d’un polynôme du second degré

Factoriser, c’est écrire sous la forme d’un produit de deux ou plusieurs facteurs, écrits sous leur forme la plus simple. Les polynômes les plus simples de degrés inférieurs à 2 sont les constantes $P(x)=\color{red}{a}$ (degré 0) et les polynômes de la forme $P(x)=\color{red}{x-\alpha}$ (degré 1).

Voici des exemples de factorisation de polynômes de degré 1 :
$P_1(x)=2x-6 = \color{red}{2(x-3)}$ ;
$P_2(x)=3x-5 = \color{red}{3\left(x-\dfrac{5}{3}\right)}$ ;
$P_3(x)=x-8 = \color{red}{x-8}$. Il n’y a rien à factoriser !

Tout d’abord, tous les trinômes $P$ de degré 2 ne se factorisent pas comme produit de deux polynômes de degré 1. Nous verrons plus loin, quelles sont les conditions pour que $P$ soit factorisable.

Définition 2.
Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$.
Si $P$ se factorise, alors pour tout $x\in\R$ : $P(x)$ s’écrit sous l’une des formes suivantes :
$\quad$– Si $P$ admet une seule racine dite double $x_0$ :
$\qquad$ FF(1) : $ \color{red}{P(x)=a(x-x_0)^2}$.
$\quad$– Si $P$ admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ :
$\qquad$ FF(2) : $ \color{red}{P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)}$

EXEMPLES

Pour tout $x\in\R$, on pose :
$P(x)=2x^2-10x+8$ ;
$Q(x)=3x^2-6x+3$ ;
$R(x)=(2x-4)(3x-5)$ et $S(x)=4x^2-9$
1°) Montrer que pour tout $x\in\R$ :
$P(x)=2(x-1)(x-4)$ et $Q(x) = 3(x-1)^2$.
2°) Factoriser $S(x)$, puis $R(x)$.
$\quad$Pensez aux identités remarquables !

Corrigé.
1°a) On sait que $P(x)=2x^2-10x+8$ (Forme développée réduite). Nous devons montrer que pour tout $x\in\R$ : $P(x)=2(x-1)(x-4)$.
Nous ne savons pas encore comment passer de la forme développée réduite à la forme factorisée.
Or, pour démontrer que $A=B$, il est équivalent de démontrer que $B=A$.
Nous allons donc développer et réduire la forme factorisée. Alors pour tout $x\in\R$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
2(x-1)(x-4) &=& 2\left[x^2-4x-x+4 \right] \\
&=& 2\left[x^2-5x+4 \right] \\
&=& 2x^2-10x+8\\
2(x-1)(x-4) &=& P(x)\\
\end{array}$$
Par conséquent, on a bien : pour tout $x\in\R$ : $P(x)=2(x-1)(x-4)$. (Forme factorisée).

1°b) D’une manière analogue, pour tout $x\in\R$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
3(x-1)^2 &=& 3\left[x^2-2x+1 \right] \\
&=& 3x^2-6x+3\\
3(x-1)^2 &=& Q(x)\\
\end{array}$$
Par conséquent, on a bien : pour tout $x\in\R$ : $Q(x) = 3(x-1)^2$. (Forme factorisée).

2°) Factorisation de $R(x)=(2x-4)(3x-5)$ :
$R(x)$ est déjà factorisé (cours de 3ème), mais pas sous la forme la plus réduite. Il suffit de factoriser chacun des deux polynômes de degré 1, par le coefficient de $x$.
$2x-4=2(x-2)$ et $3x-5=3\left(x-\dfrac{5}{3}\right)$. On obtient alors :
$$\begin{array}{rcl}
R(x) &=& (2x-4)(3x-5) \\
&=& 2(x-2) \times 3\left(x-\dfrac{5}{3}\right) \\
R(x) &=& 6(x-2)\left(x-\dfrac{5}{3}\right) \\
\end{array}$$
Par conséquent, on a bien : pour tout $x\in\R$ :
$$R(x) = 6(x-2)\left(x-\dfrac{5}{3}\right)$$
Forme factorisée réduite.

Pour $S(x) =4x^2-9$, on rappelle l’identité remarquable I.R.n°3 : $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Pour tout $x\in\R$, on a alors :
$$\begin{array}{rcl}
S(x) &=& 4x^2-9 \\
&=& (2x)^2-3^2\\
S(x) &=& (2x-3)(2x+3)\\
\end{array}$$
Comme ci-dessus, ceci est une forme factorisée (cours de 3ème), mais non réduite. Il suffit de factoriser chacun des deux polynômes de degré 1, par le coefficient de $x$.
$2x-3=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)$ et $2x+3=2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)$. On obtient alors :
$$\begin{array}{rcl}
S(x) &=& (2x-3)(2x+3) \\
&=& 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right) \times 2\left(x+\dfrac{3}{2}\right) \\
R(x) &=& 4\left(x-\dfrac{3}{2}\right) \left(x+\dfrac{3}{2}\right) \\
\end{array}$$
Par conséquent, on a bien : pour tout $x\in\R$ :
$$S(x) = 4\left(x-\dfrac{3}{2}\right) \left(x+\dfrac{3}{2}\right)$$
Forme factorisée réduite.


3.3. Forme canonique d’un polynôme du second degré

Théorème 3.
Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par sa forme développée réduite $P(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels et $a\neq 0$.
Alors il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout $x\in\R$ : $P(x)$ s’écrit sous la forme suivante :
$\qquad$ (FC) : $ \color{red}{P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta}$.
$(\alpha;\beta)$ sont les coordonnées du sommet $S$ de la parabole ${\cal C}_P$, courbe représentative de $P$ dans un repère $\Oij$

Démonstration (non exigible au programme de 1ère spé-maths)

Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par sa forme développée réduite $P(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels et $a\neq 0$. Alors, pour tout $x\in\R$ :
$$\begin{array}{rcl}
P(x) &=& ax^2+bx+c \\
P(x) &=& a \left[x^2+ \dfrac{b}{a} x+ \dfrac{c}{a} \right] \qquad(a\neq 0)\\
P(x) &=& a \left[x^2+2\times \dfrac{b}{2a} x+ \dfrac{c}{a} \right] \\
P(x) &=& a \left[ \underbrace{\color{red}{x^2+2\times \dfrac{b}{2a} x+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2}}_{\textrm{Identité remarquable}}- \left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+ \dfrac{c}{a} \right] \\
P(x) &=& a \left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2- \dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{4ac}{4a^2} \right] \\
P(x) &=& a \left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2- \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right] \\
\end{array}$$
Enfin, si on pose : $\color{red}{\Delta= b^2-4ac}$ et $\color{red}{\alpha=-\dfrac{b}{2a}}$, alors :
$$ P(x) = a \left[(x-\alpha)^2- \dfrac{\Delta}{4a^2}\right] $$
ou encore :
$$ P(x) = a(x-\alpha)^2 + \left(- \dfrac{\Delta}{4a}\right) $$
Finalement, si on pose : $\color{red}{\beta=P(\alpha)}$, on obtient $\color{red}{\beta= -\dfrac{\Delta}{4a}}$.
Par conséquent, pour tout $x\in\R$, on obtient :
$$ \color{red}{\boxed{\;P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta \; }}$$
D’où le résultat.

Définition 3.
Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ par sa forme développée réduite $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq 0$. Alors l’écriture précédente (FC) s’appelle la forme canonique de la fonction polynôme du second degré $P$.
Le couple $(\alpha;\beta)$ est formé des coordonnées du sommet de la parabole représentative de $P$ ; avec
$$\color{red}{\alpha=-\dfrac{b}{2a}} \quad\textrm{et}\quad\color{red}{\beta=P(\alpha)}$$

EXEMPLES 1. (Calcul direct)

Déterminer par un calcul direct, les formes canoniques des fonctions polynômes définies par : $f(x)=x^2+4x+3$ ; $g(x)=2x^2+6x-8$.

Corrigé.
Nous allons utiliser une méthode très pratique qui s’appelle « la méthode de complétion du carré ». Elle consiste à écrire un polynôme de la forme $x^2\pm 2\alpha x$ comme la différence de deux carrés. On a alors :
$$\begin{array}{rcl}
&\color{red}{\boxed{\; x^2+ 2\alpha x =(x+\alpha)^2-\alpha^2\;}} & \\
&\color{red}{\boxed{\; x^2- 2\alpha x =(x-\alpha)^2-\alpha^2\;}} & \\
\end{array}$$
Le calcul est simple. Il suffit de développer et réduire les expressions de droite pour tomber sur celles de gauche.
Dans nos exemples, pour $f(x)$, c’est une application directe de la méthode de complétion du carré, en identifiant d’abord les deux termes en $x^2$ et $x$.
Pour $g$, il faudra commencer par identifier les deux termes en $x^2$ et $x$, puis factoriser par le coefficient de $x^2$.

1°) Forme canonique de $f$. Pour tout $x\in\R$, on a :
$$\begin{array}{rcl}
f(x) &=& x^2+4x+3 \\
&=& \color{blue}{x^2+4x}+3\\
&=& \color{blue}{x^2+2\times 2x}+3\;\;(\alpha=2)\\
&=& \color{blue}{(x+2)^2-2^2}+3\\
&=& \color{blue}{(x+2)^2-4}+3\\
\color{red}{f(x)}& \color{red}{=}& \color{red}{ (x+2)^2-1}\\
\end{array}$$
Par conséquent, la forme canonique de $f(x)$ est : $$f(x)= (x+2)^2-1 $$
avec $a=1$, $\alpha=-2$ et $\beta=-1$. Attention ! bien lire la formule !! $a(x-\alpha)^2+\beta$.

Analyse de la situation :
$a>0$ donc la parabole dirige ses branches vers les $y$ positifs. Elle est en « $\cup$ ».
Les coordonnées du sommet de la parabole sont : $S(\alpha ; \beta)$. Donc $$S(-2;-1)$$
Par conséquent, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-2]$ et strictement croissante sur $[-2;+\infty[$.
La fonxtion $f$ admet un minimum égal à $-1$, atteint pour $x=-2$.
On peut maintenant dresser le tableau de variations,…etc.

2°) Forme canonique de $g$. On ne peut pas appliquer directement la méthode de complétion du carré. On identifie les termes en $x^2$ et en $x$ et on factorise par le coefficient de $x^2$.
Pour tout $x\in\R$, on a :
$$g(x)=2x^2+6x-8=2(\color{blue}{x^2+3x})-8$$
Maintenant, on peut appliquer la méthode de complétion du carré pour l’expression entre parenthèses :
$$\begin{array}{rcl}
g(x) &=& 2(\color{blue}{x^2+3x})-8 \\
&=& 2\left[ \color{blue}{ \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 } \right]-8\\
&=& 2\left[ \color{blue}{ \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}} \right]-8\\
&=& 2\color{blue}{\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{2}}-8\\
g(x) &=& 2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{25}{2}\\
\end{array}$$
Par conséquent, la forme canonique de $g(x)$ est : $$\color{red}{ g(x)=2\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{25}{2}} $$
avec $a=2$, $\alpha=-\dfrac{3}{2}$ et $\beta= -\dfrac{25}{2}$. Attention ! bien lire la formule !! $a(x-\alpha)^2+\beta$.

EXEMPLES 2. Calculs avec les formules de $\alpha$ et $\beta$

Déterminer, en utilisant les formules de $\alpha$ et $\beta$, les formes canoniques des fonctions polynômes définies par : $f(x)=x^2+4x+3$ ; $g(x)=2x^2+6x-8$.

Corrigé.
On sait que, si pour tout $x\in\R$ : $P(x)= ax^2+bx+c$, où $a\neq 0$, alors : $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$.

1°) Pour déterminer la forme canonique de $f(x)= x^2+4x+3$, calculons $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$, puis $\beta=f(\alpha)$.
$a=1$, $b=4$ et $c=3$. donc :
$\alpha=-\dfrac{b}{2a}= -\dfrac{4}{2\times 1}$, donc $\color{red}{ \alpha=-2}$.
puis $\beta=f(\alpha)=f(-2)$, donc $\beta=(-2)^2+4\times(-2)+3$, d’où $\color{red}{ \beta=-1}$.
Donc, pour tout $x\in\R$, on a : $f(x)= 1(x+2)^2-1$.
Par conséquent, la forme canonique de $f(x)$ est : $$ \color{red}{ f(x)= (x+2)^2-1}$$

2°) Pour déterminer la forme canonique de $g(x)=2x^2+6x-8$, calculons $\alpha$ puis $\beta$. Nous savons que : $a=2$, $b=6$ et $c=-8$. donc :
$\alpha=-\dfrac{b}{2a}= -\dfrac{6}{2\times 2}$, donc $\color{red}{ \alpha= -\dfrac{3}{2} }$.
puis $\beta=g(\alpha)=g\left(-\dfrac{3}{2} \right)$, donc $\beta=2 \left(-\dfrac{3}{2} \right)^2+6 \left(-\dfrac{3}{2} \right)-8$, d’où $\color{red}{\beta= -\dfrac{25}{2}}$.
Donc, pour tout $x\in\R$, on a : $g(x)= 2 \left(x+\dfrac{3}{2} \right)^2-\dfrac{25}{2}$.
Par conséquent, la forme canonique de $f(x)$ est : $$ \color{red}{ g(x)=2 \left(x+\dfrac{3}{2} \right)^2-\dfrac{25}{2} }$$


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