6. Expression de la somme et du produit des racines d’un trinôme du second degré (Delta positif ou nul)


Sommaire – Page 1ère Spé-Maths

  1. Fonction polynôme sous la forme développée réduite
    Monôme. Coefficient. Polynôme. Degré. Egalité de deux polynômes. Racine d’un polynôme
  2. Trinôme du second degré. Egalité de deux trinômes du second degré
  3. Différentes formes remarquables d’une fonction polynôme du second degré
  4. Passage de la forme développée réduite à la forme canonique ou la forme factorisée et réciproquement
  5. Résolution de l’équation du second degré $ax^2+bx+c = 0$, $a\neq 0$
    5.bis. Exercice résolu : Résolution d’une équation du second degré avec un paramètre
  6. Expression de la somme et du produit des racines d’un trinôme du second degré ($\Delta\geq0$)
  7. Factorisation et signe du trinôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq0$
  8. Résolution d’une inéquation du second degré
  9. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré.
  10. Tableau récapitulatif de signes d’une fonction polynôme du second degré.

6.1. Somme et produit des racines ($\Delta\geq0$)

Théorème 4.
Si le trinôme $ax^2+bx+c$, $a\neq 0$, admet deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ (distinctes ou confondues, $\Delta geq 0$), alors : la somme des racines $S = x_1+x_2$ est égale à $-\dfrac{b}{a}$ et leur produit $P = x_1x_2$ est égale à $\dfrac{c}{a}$ :
$$ \color{red}{\boxed{\;S= -\dfrac{b}{a} \;}} \quad\textrm{et}\quad \color{red}{\boxed{\;P= \dfrac{c}{a} \;}}$$

Démonstration.
On considère un trinôme du second degré : $ax^2+bx+c$, $a\neq 0$.
Supposons que $\Delta\geq0$. Donc le trinôme admet deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ (distinctes ou confondues) données par :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\textrm{et}\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

On a d’une part :
$$\begin{array}{rcl}
S &=& x_1+x_2\\
&=& \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\
&=& \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}+(-b)+\sqrt{\Delta}}{2a} \\
&=& \dfrac{-2b}{2a} \\
\color{red}{S} & \color{red}{=}& \color{red}{\dfrac{-b}{a}} \\
\end{array} $$
Et d’autre part, en utilisant l’identité remarquable I.R.n°3, on obtient :
$$\begin{array}{rcl}
P &=& x_1\times x_2\\
&=& \left(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \\
&=& \dfrac{ \left(-b-\sqrt{\Delta}\right) \times \left(-b+\sqrt{\Delta}\right)}{4a^2} \\
&=& \dfrac{(-b)^2-\left(\sqrt{\Delta}\right)^2}{4a^2} \\
&=& \dfrac{b^2-\Delta}{4a^2} \\
&=& \dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \\
&=& \dfrac{4ac}{4a^2} \\
\color{red}{P} & \color{red}{=}& \color{red}{\dfrac{c}{a}} \\
\end{array} $$
CQFD


6.2. Calcul des racines d’un trinôme du second degré connaissant leur somme et leur produit

Théorème 5.
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels dont la somme est égale à $S$ et le produit égal à $P$. Alors $x$ et $y$ sont les deux solutions de l’équation du second degré où $X$ désigne l’inconnue :
$$X^2-SX+P=0$$

Démonstration du théorème 5.

Soient $x$ et $y\in\R$ tels que : $S=x+y$ et $P=xy$.
Déterminer $x$ et $y$ revient à résoudre le système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$
$$\left\{\begin{align}
x+y&= S\\
xy&=P\\
\end{align}\right.$$

Remarque importante

Tout d’abord, $x$ et $y$ jouent des « rôles symétriques » dans ce système. C’est-à-dire, si on change $x$ en $y$ et $y$ en $x$, on obtient encore une solution du système. Autrement dit :
Le couple $(x;y)$ est solution du système si, et seulement si, le couple $(y;x)$ est solution du système. Donc, si $x\neq y$, nous obtiendrons au moins deux couples solutions du système.

Revenons à la démonstration du théorème 5.

$x$ et $y$ sont solution du système si et seulement si :
$$\left\{ \begin{align}
&x+y= S\\ &xy=P\\
\end{align}\right. $$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
&y= S-x\\ &x(S-x)=P\\
\end{align}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
&y= S-x\\ &Sx-x^2=P\\
\end{align}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
&y= S-x\\ &x^2-Sx+P=0\\
\end{align}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
&x= S-y\\ &y^2-Sy+P=0\\
\end{align}\right.$$
Cette dernière équivalence est vraie car $x$ et $y$ jouent des « rôles symétriques » dans ce système.

Par conséquent, $x$ et $y$ sont solution du système si et seulement si $x$ et $y$ sont solution de l’équation $X^2-SX+P=0$.

2ème démonstration du théorème 5.

On peut retrouver le même résultat en mettant $a$ en facteur dans le trinôme du second degré $aX^2+bX+c$, où $X$ désigne l’inconnue et $a\neq 0$. En effet :
$$ aX^2+bX+c =a\left( X^2+\dfrac{b}{a}X+ \dfrac{c}{a}\right)$$
Or, $S= -\dfrac{b}{a}$ et $P=\dfrac{c}{a}$. Donc :
$$ aX^2+bX+c =a\left( X^2-SX+P\right)$$
Par conséquent, les solutions de l’équation $aX^2+bX+c=0$ sont exactement les mêmes que les solutions de l’équation $X^2-SX+P=0$.


6.3. Eexemples

Exemple 1.
Déterminer tous les couples de nombres réels, s’il en existe, dont la somme est égale à $5$ et le produit à $-14$.

Corrigé 1.
On cherche un couple $(x;y)$ de nombres tels que : $S=x+y=5$ et $P=xy=-14$.
Déjà, on peut remarquer que $x$ et $y$ sont de signes contraires.
D’après le cours, $x$ et $y$ sont solutions de l’équation $X^2-SX+P=0$, où $X$ désigne l’inconnue. On résout donc l’équation : $$X^2-5X-14=0$$
On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
$\Delta=(-5)^2-4\times 1\times(-14)$. $\boxed{\; \Delta=81\;}$.
Comme $\Delta>0$, cette équation admet deux solutions réelles distinctes (à calculer) : $X_1=-2$ et $X_2=7$.
Comme $X_1$ et $X_2$ jouent des rôles symétriques, nous obtenons donc deux couples solutions du problème : Si $x=-2$ alors $y=7$ et si $x=7$ alors $y=-2$.
Conclusion. L’ensemble des solutions du problème est :
$$\color{red}{\boxed{\;{\cal S}=\left\{ (-2;7) ; (7;-2) \right\}\;}}$$

Exemple 2.
Déterminer tous les couples de nombres réels, s’il en existe, dont la somme des carrés est égale à $34$ et le produit à $-15$.

Corrigé 2.
1er problème : On cherche tous les couples $(x;y)$ de nombres tels que : $S=x^2+y^2=34$ et $P=xy=-15$.
Déjà, on peut remarquer que $x$ et $y$ sont de signes contraires.
Nous ne pouvons pas appliquer directement la méthode décrite ci dessus.

Nous allons donc effectuer un changement de variables.
Calculons $P^2=225=x^2y^2$.
On peut alors effectuer le changement de variables suivant :
$$x’=x^2\quad\textrm{et}\quad y’=y^2$$
On pose alors $S’=x’+y’= x^2+y^2=34$ et $P’=x’y’= x^2y^2 =225$.
2ème problème : On cherche tous les couples $(x’;y’)$ de nombres tels que : $S’=x’+y’=34$ et $P’=x’y’=225$.

Maintenant, nous pouvons appliquer la méthode du théorème 5 au 2ème problème
D’après le cours, $x’$ et $y’$ sont solutions de l’équation $X^2-S’X+P’=0$, où $X$ désigne l’inconnue. On résout donc l’équation : $$X^2-34X+225=0\quad(*)$$
On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
$\Delta=(-34)^2-4\times 1\times(225)$. $\boxed{\; \Delta=256=16^2\;}$.
Comme $\Delta>0$, cette équation admet deux solutions réelles distinctes (à calculer) : $X_1=9$ et $X_2=25$. Donc les couples solutions du 2ème problème sont :
$$(x’;y’)=(9;25) \quad\textrm{et}\quad (x’;y’)=(25;9)$$

Revenons maintenant aux variables initiales $x$ et $y$.
Les couples $(x;y)$ solutions du problème initial doivent vérifier :
$(1)$ $(x^2;y^2)=(9;25)$ et $x$ et $y$ sont de signes contraires ;
ou $(2)$ $(x^2;y^2) =(25;9)$ et $y$ sont de signes contraires.

$(1)\Leftrightarrow x=\pm 3 \;\textrm{et}\; y=\pm 5 \;\textrm{et}\; xy<0$.
On obtient deux premiers couples $(x;y)=(-3;5)$ et $(x;y)=(3;-5)$

$(2)\Leftrightarrow x=\pm 5 \;\textrm{et}\; y=\pm 3 \;\textrm{et}\; xy<0$.
On obtient deux nouveaux couples $(x;y)=(-5;3)$ et $(x;y)=(5;-3)$

Conclusion. L’ensemble des solutions du problème initial est :
$$\color{red}{\boxed{\;{\cal S}=\left\{ (-3;5) ; (3;-5) ; (-5;3) ; (5;-3) \right\}\;}}$$

Exemple 3.
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels non nuls de somme $S$ et de produit $P$
1°) Exprimer en fonction de $S$ et $P$ les nombres suivants :
$\qquad$ a) $S_1=x^2+y^2$
$\qquad$ b) $S_2=x^3+y^3$
$\qquad$ c) $S_3=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ ; $x>0$ et $y>0$.
$\qquad$ d) $S_4=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ ; $x\neq 0$ et $y\neq 0$.
$\qquad$ d) $S_5=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}$ ; $x\neq 0$ et $y\neq 0$.
2°) Déterminer tous les couples de nombres réels, s’il en existe, dont la somme est égale à $-1$ et la somme des cubes est égale à $-19$.

A vous !


< PRÉCÉDENT$\quad$SUIVANT >