6. Expression de la somme et du produit des racines d’un trinôme du second degré (Delta positif ou nul)


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6.1. Somme et produit des racines ($\Delta\geq0$)

Théorème 4.
Si le trinôme $ax^2+bx+c$, $a\neq 0$, admet deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ (distinctes ou confondues, $\Delta geq 0$), alors : la somme des racines $S = x_1+x_2$ est égale à $-\dfrac{b}{a}$ et leur produit $P = x_1x_2$ est égale à $\dfrac{c}{a}$ :
$$ \color{red}{\boxed{\;S= -\dfrac{b}{a} \;}} \quad\textrm{et}\quad \color{red}{\boxed{\;P= \dfrac{c}{a} \;}}$$

Démonstration.
On considère un trinôme du second degré : $ax^2+bx+c$, $a\neq 0$.
Supposons que $\Delta\geq0$. Donc le trinôme admet deux racines réelles $x_1$ et $x_2$ (distinctes ou confondues) données par :
$$ x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\textrm{et}\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

On a d’une part :
$$\begin{array}{rcl}
S &=& x_1+x_2\\
&=& \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\
&=& \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}+(-b)+\sqrt{\Delta}}{2a} \\
&=& \dfrac{-2b}{2a} \\
\color{red}{S} & \color{red}{=}& \color{red}{\dfrac{-b}{a}} \\
\end{array} $$
Et d’autre part, en utilisant l’identité remarquable I.R.n°3, on obtient :
$$\begin{array}{rcl}
P &=& x_1\times x_2\\
&=& \left(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \times \left(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \\
&=& \dfrac{ \left(-b-\sqrt{\Delta}\right) \times \left(-b+\sqrt{\Delta}\right)}{4a^2} \\
&=& \dfrac{(-b)^2-\left(\sqrt{\Delta}\right)^2}{4a^2} \\
&=& \dfrac{b^2-\Delta}{4a^2} \\
&=& \dfrac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2} \\
&=& \dfrac{4ac}{4a^2} \\
\color{red}{P} & \color{red}{=}& \color{red}{\dfrac{c}{a}} \\
\end{array} $$
CQFD


6.2. Calcul des racines d’un trinôme du second degré connaissant leur somme et leur produit

Théorème 5.
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels dont la somme est égale à $S$ et le produit égal à $P$. Alors $x$ et $y$ sont les deux solutions de l’équation du second degré où $X$ désigne l’inconnue :
$$X^2-SX+P=0$$

Démonstration du théorème 5.

Soient $x$ et $y\in\R$ tels que : $S=x+y$ et $P=xy$.
Déterminer $x$ et $y$ revient à résoudre le système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$
$$\left\{\begin{align}
x+y&= S\\
xy&=P\\
\end{align}\right.$$

Remarque importante

Tout d’abord, $x$ et $y$ jouent des « rôles symétriques » dans ce système. C’est-à-dire, si on change $x$ en $y$ et $y$ en $x$, on obtient encore une solution du système. Autrement dit :
Le couple $(x;y)$ est solution du système si, et seulement si, le couple $(y;x)$ est solution du système. Donc, si $x\neq y$, nous obtiendrons au moins deux couples solutions du système.

Revenons à la démonstration du théorème 5.

$x$ et $y$ sont solution du système si et seulement si :
$$\left\{ \begin{align}
&x+y= S\\ &xy=P\\
\end{align}\right. $$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
&y= S-x\\ &x(S-x)=P\\
\end{align}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
&y= S-x\\ &Sx-x^2=P\\
\end{align}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
&y= S-x\\ &x^2-Sx+P=0\\
\end{align}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
&x= S-y\\ &y^2-Sy+P=0\\
\end{align}\right.$$
Cette dernière équivalence est vraie car $x$ et $y$ jouent des « rôles symétriques » dans ce système.

Par conséquent, $x$ et $y$ sont solution du système si et seulement si $x$ et $y$ sont solution de l’équation $X^2-SX+P=0$.

2ème démonstration du théorème 5.

On peut retrouver le même résultat en mettant $a$ en facteur dans le trinôme du second degré $aX^2+bX+c$, où $X$ désigne l’inconnue et $a\neq 0$. En effet :
$$ aX^2+bX+c =a\left( X^2+\dfrac{b}{a}X+ \dfrac{c}{a}\right)$$
Or, $S= -\dfrac{b}{a}$ et $P=\dfrac{c}{a}$. Donc :
$$ aX^2+bX+c =a\left( X^2-SX+P\right)$$
Par conséquent, les solutions de l’équation $aX^2+bX+c=0$ sont exactement les mêmes que les solutions de l’équation $X^2-SX+P=0$.


6.3. Eexemples

Exemple 1.
Déterminer tous les couples de nombres réels, s’il en existe, dont la somme est égale à $5$ et le produit à $-14$.

Corrigé 1.
On cherche un couple $(x;y)$ de nombres tels que : $S=x+y=5$ et $P=xy=-14$.
Déjà, on peut remarquer que $x$ et $y$ sont de signes contraires.
D’après le cours, $x$ et $y$ sont solutions de l’équation $X^2-SX+P=0$, où $X$ désigne l’inconnue. On résout donc l’équation : $$X^2-5X-14=0$$
On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
$\Delta=(-5)^2-4\times 1\times(-14)$. $\boxed{\; \Delta=81\;}$.
Comme $\Delta>0$, cette équation admet deux solutions réelles distinctes (à calculer) : $X_1=-2$ et $X_2=7$.
Comme $X_1$ et $X_2$ jouent des rôles symétriques, nous obtenons donc deux couples solutions du problème : Si $x=-2$ alors $y=7$ et si $x=7$ alors $y=-2$.
Conclusion. L’ensemble des solutions du problème est :
$$\color{red}{\boxed{\;{\cal S}=\left\{ (-2;7) ; (7;-2) \right\}\;}}$$

Exemple 2.
Déterminer tous les couples de nombres réels, s’il en existe, dont la somme des carrés est égale à $34$ et le produit à $-15$.

Corrigé 2.
1er problème : On cherche tous les couples $(x;y)$ de nombres tels que : $S=x^2+y^2=34$ et $P=xy=-15$.
Déjà, on peut remarquer que $x$ et $y$ sont de signes contraires.
Nous ne pouvons pas appliquer directement la méthode décrite ci dessus.

Nous allons donc effectuer un changement de variables.
Calculons $P^2=225=x^2y^2$.
On peut alors effectuer le changement de variables suivant :
$$x’=x^2\quad\textrm{et}\quad y’=y^2$$
On pose alors $S’=x’+y’= x^2+y^2=34$ et $P’=x’y’= x^2y^2 =225$.
2ème problème : On cherche tous les couples $(x’;y’)$ de nombres tels que : $S’=x’+y’=34$ et $P’=x’y’=225$.

Maintenant, nous pouvons appliquer la méthode du théorème 5 au 2ème problème
D’après le cours, $x’$ et $y’$ sont solutions de l’équation $X^2-S’X+P’=0$, où $X$ désigne l’inconnue. On résout donc l’équation : $$X^2-34X+225=0\quad(*)$$
On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
$\Delta=(-34)^2-4\times 1\times(225)$. $\boxed{\; \Delta=256=16^2\;}$.
Comme $\Delta>0$, cette équation admet deux solutions réelles distinctes (à calculer) : $X_1=9$ et $X_2=25$. Donc les couples solutions du 2ème problème sont :
$$(x’;y’)=(9;25) \quad\textrm{et}\quad (x’;y’)=(25;9)$$

Revenons maintenant aux variables initiales $x$ et $y$.
Les couples $(x;y)$ solutions du problème initial doivent vérifier :
$(1)$ $(x^2;y^2)=(9;25)$ et $x$ et $y$ sont de signes contraires ;
ou $(2)$ $(x^2;y^2) =(25;9)$ et $y$ sont de signes contraires.

$(1)\Leftrightarrow x=\pm 3 \;\textrm{et}\; y=\pm 5 \;\textrm{et}\; xy<0$.
On obtient deux premiers couples $(x;y)=(-3;5)$ et $(x;y)=(3;-5)$

$(2)\Leftrightarrow x=\pm 5 \;\textrm{et}\; y=\pm 3 \;\textrm{et}\; xy<0$.
On obtient deux nouveaux couples $(x;y)=(-5;3)$ et $(x;y)=(5;-3)$

Conclusion. L’ensemble des solutions du problème initial est :
$$\color{red}{\boxed{\;{\cal S}=\left\{ (-3;5) ; (3;-5) ; (-5;3) ; (5;-3) \right\}\;}}$$

Exemple 3.
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels non nuls de somme $S$ et de produit $P$
1°) Exprimer en fonction de $S$ et $P$ les nombres suivants :
$\qquad$ a) $S_1=x^2+y^2$
$\qquad$ b) $S_2=x^3+y^3$
$\qquad$ c) $S_3=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ ; $x>0$ et $y>0$.
$\qquad$ d) $S_4=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ ; $x\neq 0$ et $y\neq 0$.
$\qquad$ d) $S_5=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}$ ; $x\neq 0$ et $y\neq 0$.
2°) Déterminer tous les couples de nombres réels, s’il en existe, dont la somme est égale à $-1$ et la somme des cubes est égale à $-19$.

A vous !


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