1. Fonction polynôme sous la forme développée réduite


Sommaire – Page 1ère Spé-Maths


1. Introduction : Fonctions polynômes

1.1 Définitions

Définition 1.
Soit $n$ un entier naturel non nul. On appelle fonction monôme de degré $n$, toute fonction $P$ définie sur $\R$, qui à tout nombre réel $x$ associe le nombre $P(x) = ax^n$. La lettre $x$ désigne la variable réelle, le nombre $a$, non nul, s’appelle le coefficient et $n$ le degré du monôme P.

Cas particuliers

  1. Si $a = 0$, $n\neq 0$ quelconque, la fonction $P$ définie sur $\R$, qui à tout réel $x$ associe le terme $P(x) = 0$ s’appelle le monôme nul (ou le polynôme nul). Le polynôme nul n’a pas de degré !
  2. Si $a\neq 0$ et $n = 0$, la fonction P définie sur, qui à tout réel $x$ associe le terme constant $P(x) = ax0 = a$, s’appelle un monôme constant (ou un polynôme constant). Ainsi, Une constante non nulle est un « polynôme » de degré $0$.

Définition 2.
On appelle fonction polynôme de degré $n$, toute fonction $P$ définie sur $\R$, qui s’écrit comme somme de plusieurs monômes de plusieurs manières :
Pour tout réel $x$, si on écrit $P(x)$ sous la forme développée réduite et les monômes rangés suivant les puissances décroissantes, alors $P(x)$ peut s’écrire sous la forme :
$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+ a_0$$

le réel $a_n$ est non nul, et $a_0$, $a_1$,…,$a_{n-1}$ sont des nombres réels quelconques, s’appellent les coefficients du polynôme $P$ et $n$ est le degré du polynôme.
Dans un polynôme, chaque monôme de degré $k$, peut s’appeler aussi « le terme en $x^k$ ».

Remarque

L’écriture $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+ a_0$, peut donc être lue ou interprétée de deux manière:

  • comme une « expression algébrique » de variable $x$ ;
  • ou comme une « fonction polynôme », de la variable réelle $x$.

EXEMPLES

Déterminer si les expressions suivantes définissent des fonctions polynômes et si oui, déterminer leurs degrés :
1°) $P_1(x)=3x+1$,
2°) $P_2(x)=3x^2-\dfrac{5}{x}+7$,
3°) $P_3(x)=-5 x^3+7x^2-2x+1$,
4°) $P_4(x)=2 x^2-5x^4+3x-7$
5°) $P_4(x)=(3x+1)(2x-5)-6x^2$.

Corrigé.
1°) $P_1(x)=3x+1$. $P_1$ est une fonction polynôme de degré 1.

2°) $P_2(x)=3x^2-\dfrac{5}{x}+7$ contient un terme (le deuxième) qui n’est pas un monôme ! Donc $P_2$ n’est pas une fonction polynôme.

3°) $P_3(x)=-5 x^3+7x^2-2x+1$. $P_2$ est une fonction polynôme de degré 3.

4°) $P_4(x)=2 x^2-5x^4+3x-7$. $P_3$ est une fonction polynôme de degré 4.
Eh oui ! Ici les monômes qui composent le polynôme $P_4$ ne sont pas rangés suivant les puissances décroissantes. On devrait d’abord l’écrire : $$P_4(x)=-5x^4+2 x^2+3x-7$$
On remarquera également que le « terme en $x^3$ », c’est-à-dire le « monôme de dégré $3$ » est absent. En fait, son coefficient est égal à $0$. On pourrait écrire :
$$P_4(x)=-5x^4+0x^3+2 x^2+3x-7$$

5°) $P_5(x)=(3x+1)(2x-5)-6x^2$. Ici, notre polynôme n’est pas écrit sous la forme développée réduite (FDR) suivant les puissances décroissantes ou croissantes ! On développe et on réduit comme suit :
$$\begin{array}{rcl}
P_5(x) &=& (3x+1)(2x-5)-6x^2 \\
&=& 3x\times 2x – 3x \times 5+1 \times 2x-1 \times 5-6x^2\\
&=& 6x^2-15 x+2x-5-6x^2 \\
P_5(x) &=& -13x-5\\
\end{array}$$
Par conséquent, contrairement aux apparences, $P_5$ est un polynôme de degré $1$.


1.2. Égalité de deux polynômes

Propriété :
Deux fonctions polynômes sont égales si et seulement si, elles ont le même degré et si les coefficients des monômes de même degré sont égaux, dans l’écriture développée réduite.

EXEMPLE

Trouver trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ pour que les deux polynômes suivant $P$ et $Q$ soient égaux : $P(x)=ax^2+bx+c$ et $Q(x)=(2x-1)(x+3)$.

Corrigé.
$P(x)$ étant déjà réduit, il suffit de développer et réduire $Q(x)$, puis identifier les coefficients des monômes de même degré des deux polynômes. On a alors $Q(x)=2 x^2+5 x-3$
En effet : $P$ et $Q$ sont tous les deux, de degré 2 et, par identification, on obtient :
$$a = 2,\quad b = 5\quad\textrm{et}\quad c = –3$$


1.3. Racine d’un polynôme

Définition.
On appelle racine ou zéro d’un polynôme $P$ toute valeur $\alpha$ de la variable $x$, solution de l’équation $P(x)=0$. Ainsi : $$\alpha\textrm{ est une racine de }P\Leftrightarrow P( \alpha )=0$$

EXEMPLE

Vérifier que $2$ est une racine des deux polynômes suivants définis par :
$P(x)=2 x-4$ et $Q(x)=3x^2-5x-2$.

Corrigé.
1°) $P(2) =2\times 2 -4 = 0$. Donc $2$ est bien une racine du polynôme $P$.

2°) $Q(2) = 3 \times 2^2-5 \times 2-2 =0$. Donc $2$ est bien une racine du polynôme $Q$.


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