9. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré


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9.1. Courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels données, $a\neq 0$.

Définition 1.
Soit $P$ une fonction polynôme $P$ du second degré définie sous la forme développée réduite par : $P(x)=ax^2+bx+c$. Alors, la courbe représentative ${\cal P}$ de la fonction $P$ dans un repère orthonormé $\left(O\, ;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$ (orthogonal suffit), s’appelle une parabole.

Il existe deux cas de paraboles suivant le signe du coefficient $a$ de $x^2$. Ce qui nous donne le théorème suivant :

Théorème 8.
Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ sous la forme développée réduite : $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$. La courbe représentative ${\cal P}$ de la fonction $P$ dans un repère orthonormé $\left(O\, ;\vec{\imath},\vec{\jmath} \right)$ est une parabole ayant deux branches et un sommet $S(\alpha ; \beta)$
$\bullet$ $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$ ;
$\bullet$ La droite (parallèle à l’axe des ordonnées) d’équation $x=\alpha$ est un axe de symétrie de la parabole ;
$\bullet$ Si $a>0$, la parabole dirige ses branches vers le haut $\smile$ ; c’est-à-dire vers les $y$ positifs.
$\bullet$ Si $a<0$, la parabole dirige ses branches vers le bas $\frown$ ; c’est-à-dire vers les $y$ négatifs.

Éléments caractéristiques de ${\cal P}$ suivant la forme de l’expression algébrique de $P(x)$.

Théorème 9.
$\bullet$ Si on connaît la forme développée réduite : $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$. Alors, $S(\alpha ; \beta)$, avec :
$$\alpha=\dfrac{-b}{2a} \quad\textrm{et}\quad \beta=P(\alpha)$$
$\bullet$ Si on connaît la forme factorisée : $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, avec $a\neq 0$. Alors :
$$\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}\quad\textrm{et}\quad\beta=P(\alpha)$$
$\bullet$ Si on connaît la forme canonique : $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $a\neq 0$. Alors : $$S(\alpha ; \beta)$$
$\quad-$ Si $\beta=0$, alors $x_0=\alpha$ et $P(x)=a(x-x_0)^2$ et $S(x_0 ;0)$
$\quad-$ Si $a$ et $\beta$ sont de même signe, alors $P(x)$ garde un signe constant et ne se factorise pas.
$\quad-$ Si $a$ et $\beta$ sont de signes contraires, alors $P(x)$ se factorise à l’aide de l’identité remarquable n°3.

Sens de variation

Théorème 10.
Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ sous la forme développée réduite : $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$. Alors :
$\quad\bullet$ Si $a>0$, alors la fonction $P$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; \alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha ; +\infty[$. Elle admet un minimum égal à $\beta$, atteint en $x=\alpha$.
$\quad\bullet$ Si $a>0$, alors la fonction $P$ est strictement croissante sur $]-\infty ; \alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha ; +\infty[$. Elle admet un maximum égal à $\beta$, atteint en $x=\alpha$.

Tableaux de variations pour $a>0$ et $a<0$ :


9.2 Exemples

Exercice résolu n°1. On considère les fonctions suivantes : $f(x)=2 x^2+5 x -3$ ;
$\quad$ a) Déterminer le sommet de la parabole ;
$\quad$ b) Dresser le tableau de variation ;
$\quad$ c) Construire la courbe représentative $\cal P$.

Corrigé.
1°) On considère la fonction polynôme suivante : $f(x)=2 x^2+5 x -3$.
On commence par identifier les coefficients : $a=2$, $b=5$ et $c=-3$.

a) Recherche du sommet de la parabole ${\cal P}$.
Je calcule $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$. $\alpha = \dfrac{-5}{2\times 2}$.
D’où $\alpha = \dfrac{-5}{4}$.
$\quad$ $\beta=f(\alpha)$, donc $\beta =f \left(\dfrac{-5}{4}\right)$.
$\quad$ $\beta =2\times\left(\dfrac{-5}{4}\right)^2+5 \times\left(\dfrac{-5}{4}\right) -3$
$\quad$ $\beta =\dfrac{25}{8}-\dfrac{25}{4} -\dfrac{3\times 8}{8}$
$\quad$ $\beta =\dfrac{-49}{8}$.
Tableau de variations : ici $a>0$, $\alpha = \dfrac{-5}{4}$ et $\beta =\dfrac{-49}{8}$.


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