9. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré


Sommaire – Page 1ère Spé-Maths

  1. Fonction polynôme sous la forme développée réduite. Monôme. Coefficient. Polynôme. Degré. Egalité de deux polynômes. Racine d’un polynôme
  2. Fonction polynôme du second degré sous la forme développée réduite.
  3. Différentes formes remarquables d’une fonction polynôme du second degré
  4. Passage de la forme développée réduite à la forme canonique ou la forme factorisée et réciproquement
  5. Résolution de l’équation du second degré $ax^2+bx+c = 0$, $a\neq 0$
    5.b) Exercice résolu : Résolution d’une équation du second degré avec un paramètre
  6. Expression de la somme et du produit des racines d’un trinôme du second degré ($\Delta\geq0$)
  7. Factorisation et signe du trinôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq 0$
  8. Résolution d’une inéquation du second degré
  9. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré.
  10. Tableau récapitulatif du signe d’une fonction polynôme du second degré.

9.1. Courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels données, $a\neq 0$.

Définition 1.
Soit $P$ une fonction polynôme $P$ du second degré définie sous la forme développée réduite par : $P(x)=ax^2+bx+c$. Alors, la courbe représentative ${\cal P}$ de la fonction $P$ dans un repère orthonormé $\left(O\, ;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$ (orthogonal suffit), s’appelle une parabole.

Il existe deux cas de paraboles suivant le signe du coefficient $a$ de $x^2$. Ce qui nous donne le théorème suivant :

Théorème 8.
Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ sous la forme développée réduite : $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$. La courbe représentative ${\cal P}$ de la fonction $P$ dans un repère orthonormé $\left(O\, ;\vec{\imath},\vec{\jmath} \right)$ est une parabole ayant deux branches et un sommet $S(\alpha ; \beta)$
$\bullet$ $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=P(\alpha)$ ;
$\bullet$ La droite (parallèle à l’axe des ordonnées) d’équation $x=\alpha$ est un axe de symétrie de la parabole ;
$\bullet$ Si $a>0$, la parabole dirige ses branches vers le haut $\smile$ ; c’est-à-dire vers les $y$ positifs.
$\bullet$ Si $a<0$, la parabole dirige ses branches vers le bas $\frown$ ; c’est-à-dire vers les $y$ négatifs.

Éléments caractéristiques de ${\cal P}$ suivant la forme de l’expression algébrique de $P(x)$.

Théorème 9.
$\bullet$ Si on connaît la forme développée réduite : $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$. Alors, $S(\alpha ; \beta)$, avec :
$$\alpha=\dfrac{-b}{2a} \quad\textrm{et}\quad \beta=P(\alpha)$$
$\bullet$ Si on connaît la forme factorisée : $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, avec $a\neq 0$. Alors :
$$\alpha=\dfrac{x_1+x_2}{2}\quad\textrm{et}\quad\beta=P(\alpha)$$
$\bullet$ Si on connaît la forme canonique : $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $a\neq 0$. Alors : $$S(\alpha ; \beta)$$
$\quad-$ Si $\beta=0$, alors $x_0=\alpha$ et $P(x)=a(x-x_0)^2$ et $S(x_0 ;0)$
$\quad-$ Si $a$ et $\beta$ sont de même signe, alors $P(x)$ garde un signe constant et ne se factorise pas.
$\quad-$ Si $a$ et $\beta$ sont de signes contraires, alors $P(x)$ se factorise à l’aide de l’identité remarquable n°3.

Sens de variation

Théorème 10.
Soit $P$ une fonction polynôme du second degré définie sur $\R$ sous la forme développée réduite : $P(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\neq 0$. Alors :
$\quad\bullet$ Si $a>0$, alors la fonction $P$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; \alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha ; +\infty[$. Elle admet un minimum égal à $\beta$, atteint en $x=\alpha$.
$\quad\bullet$ Si $a>0$, alors la fonction $P$ est strictement croissante sur $]-\infty ; \alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha ; +\infty[$. Elle admet un maximum égal à $\beta$, atteint en $x=\alpha$.

Tableaux de variations pour $a>0$ et $a<0$ :


9.2 Exemples

Exercice résolu n°1. On considère les fonctions suivantes : $f(x)=2 x^2+5 x -3$ ;
$\quad$ a) Déterminer le sommet de la parabole ;
$\quad$ b) Dresser le tableau de variation ;
$\quad$ c) Construire la courbe représentative $\cal P$.

Corrigé.
1°) On considère la fonction polynôme suivante : $f(x)=2 x^2+5 x -3$.
On commence par identifier les coefficients : $a=2$, $b=5$ et $c=-3$.

a) Recherche du sommet de la parabole ${\cal P}$.
Je calcule $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$. $\alpha = \dfrac{-5}{2\times 2}$.
D’où $\alpha = \dfrac{-5}{4}$.
$\quad$ $\beta=f(\alpha)$, donc $\beta =f \left(\dfrac{-5}{4}\right)$.
$\quad$ $\beta =2\times\left(\dfrac{-5}{4}\right)^2+5 \times\left(\dfrac{-5}{4}\right) -3$
$\quad$ $\beta =\dfrac{25}{8}-\dfrac{25}{4} -\dfrac{3\times 8}{8}$
$\quad$ $\beta =\dfrac{-49}{8}$.
Tableau de variations : ici $a>0$, $\alpha = \dfrac{-5}{4}$ et $\beta =\dfrac{-49}{8}$.


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