5.b) Exercice résolu : Résolution d’une équation du second degré avec un paramètre


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5.1. Qu’est-ce qu’un paramètre dans une équation ?

Définition 1.
Soit $m$, un nombre réel et $(E)$ une équation du second degré dans $\R$.
On dit que l’équation $(E)$ dépend du paramètre $m$ si et seulement si, les coefficients $a$, $b$ et $c$ dépendent de $m$.
On note $a(m)$, $b(m)$ et $c(m)$ les expressions des coefficients en fonction de $m$.
L’équation $(E)$ sera donc notée $(E_m)$ et peut s’écrire :
$$(E_m) :\quad a(m)x^2+b(m)x+c(m)=0$$
On obtient une infinité d’équations dépendant de $m$. Pour chaque valeur de $m$, on définit une équation $(E_m)$, sous réserve qu’elle existe.

Méthodes

  1. Tout d’abord, on doit chercher l’ensemble des valeurs du paramètre $m$ pour lesquelles $(E_m)$ existe.
    $(E_m)$ existe si, et seulement si, $a(m)$, $b(m)$ et $c(m)$ existent. On exclut les valeurs interdites de $m$, pour lesquelles l’un au moins des coefficients n’existe pas.
  2. $(E_m)$ est une équation du second degré si, et seulement si, $a(m)\neq 0$.
    Si $a(m)=0$ , pour une valeur $m_0$, on commence par résoudre ce premier cas particulier.
  3. Si $a(m)\neq 0$, alors $(E_m)$ est une équation du second degré.
    On calcule le discriminant $\Delta_m$ qui lui aussi dépend de $m$.
    $$\Delta_m =b(m)^2-4a(m)c(m)$$
  4. Ici commence l’étude dans l’étude :
    Il faut maintenant chercher, pour quelles valeurs de $m$, on a : $\Delta_m=0$ et étudier le signe de $\Delta_m$.
    Ensuite, on ouvre une discussion suivant les valeurs et le signe de $\Delta_m$ pour déterminer le nombre de solutions ou le calcul de ces solutions en fonction de $m$.

5.2 Exemples

Exercice résolu. Pour tout $m\in\R$, on considère l’équation suivante :
$$ (E_m) :\; (m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0$$
1°) Étudier suivant les valeurs de $m$, l’existence de solutions de l’équation $(E_m)$.
2°) Calculez les solutions de l’équation $(E_m)$, lorsqu’elles existent, suivant les valeurs de $m$.

Corrigé.
1°) Étude suivant les valeurs de $m$, de l’existence de solutions de l’équation $(E_m)$.
$$ (E_m) :\; (m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0$$
L’inconnue est $x$, Il n’y a aucune valeur interdite. Donc, le domaine de définition de l’équation $(E_m)$ est : $D_m=\R$.

a) Nature de l’équation $(E_m)$.
$(E_m)$ est une équation du second degré si, et seulement si le coefficient de $x^2$ est non nul, donc si et seulement si $m-4\neq 0$ ; c’est-à-dire si et seulement si $m\neq 4$.

b) Étude du cas particulier : $m=4$, de l’équation $(E_4)$.
Pour $m=4$, l’équation $(E_4)$ est une équation du 1er degré qui s’écrit :
$$(E_4) :\; (4-4)x^2-2(4-2)x+4-1=0$$
Donc :
$$\begin{array}{rcl}
-4x+3&=&0\\
-4x &=&-3\\
x&=&\dfrac{3}{4}\\
\end{array}$$
Conclusion. Pour $m=4$, l’équation $(E_4)$ admet une seule solution réelle.
$${\cal S_4}=\left\{\dfrac{3}{4} \right\}$$

c) Étude du cas général : $m\neq 4$, de l’équation $(E_m)$.
Pour tout $m\neq 4$, $(E_m)$ est une équation du second degré. On calcule son discriminant $\Delta_m$ qui dépend de $m$ avec $a(m)=(m-4)$, $b(m)=-2(m-2)$ et $c(m)=m-1$.
$$ \begin{array}{rcl}
\Delta_m &=&b(m)^2-4a(m)c(m)\\
&=& \left[ -2(m-2)\right]^2-4(m-4)(m-1)\\
&=& 4(m-2)^2- 4(m-4)(m-1) \\
&=& 4(m^2-4m+4)-4(m^2-m-4m+4)\\
&=& 4\left[ m^2-4m+4 -m^2+5m-4 \right] \\
\color{red}{\Delta_m} & \color{red}{ =}& \color{red}{4m}\\
\end{array} $$

Étude du signe de $\Delta_m=4m$ :
$$\boxed{\quad\begin{array}{rcl}
\Delta_m=0 &\Leftrightarrow& m=0\\
&&\textrm{Une solution réelle double ;}\\
\Delta_m>0 &\Leftrightarrow& m>0\;\textrm{et}\; m\neq 4\\
&& \textrm{Deux solutions réelles distinctes ;}\\
\Delta_m<0 &\Leftrightarrow& m<0\\
&& \textrm{Aucune solution réelle.}\\
\end{array}\quad} $$

2°) Calcul des solutions suivant les valeurs de $m$.
1er cas : $m=4$.
$E_4$ est une équation du premier degré qui admet une seule solution :
$$\color{red}{ {\cal S_4}=\left\{\dfrac{3}{4} \right\}}$$

2ème cas : $m=0$, alors $\Delta_0=0$.
L’équation $E_0$ admet une solution double : $$x_0=-\dfrac{b(0)}{2a(0)}$$
Donc : $x_0 =\dfrac{2(0-2)}{2(0-4)}=\dfrac{-4}{-8}$. D’où : $x_0=\dfrac{1}{2}$. Donc :
$$\color{red}{ {\cal S_0}=\left\{\dfrac{1}{2} \right\}}$$

3ème cas : $m>0$ et $m\neq 4$, alors $\Delta_m>0$ : l’équation $E_m$ admet deux solutions réelles distinctes :
$x_{1,m}=\dfrac{-b(m)-\sqrt{\Delta_m}}{2a(m)}$ et $x_{2,m}=\dfrac{-b(m)+\sqrt{\Delta_m}}{2a(m)}$
En remplaçant ces expressions par leurs valeurs en fonction de $m$, on obtient après simplification :
$x_{1,m}=\dfrac{2(m-2)-\sqrt{4m}}{2(m-4)}$ et $ x_{2,m}=\dfrac{2(m-2)+\sqrt{4m}}{2(m-4)}$.
Ce qui donne, après simplification :
$x_{1,m}=\dfrac{m-2-\sqrt{m}}{m-4}$ et $ x_{2,m}=\dfrac{m-2+\sqrt{m}}{m-4}$.
$$\color{red}{ {\cal S_m}=\left\{ \dfrac{m-2-\sqrt{m}}{m-4} ; \dfrac{m-2+\sqrt{m}}{m-4} \right\}}$$

4ème cas : $m<0$, alors $\Delta_m<0$ : l’équation $E_m$ n’admet aucune solution réelle. Donc : $$\color{red}{ {\cal S_m}=\emptyset}$$


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