5bis. Exercice résolu : Résolution d’une équation du second degré avec un paramètre


Sommaire – Page 1ère Spé-Maths

  1. Fonction polynôme sous la forme développée réduite
    Monôme. Coefficient. Polynôme. Degré. Egalité de deux polynômes. Racine d’un polynôme
  2. Trinôme du second degré. Egalité de deux trinômes du second degré
  3. Différentes formes remarquables d’une fonction polynôme du second degré
  4. Passage de la forme développée réduite à la forme canonique ou la forme factorisée et réciproquement
  5. Résolution de l’équation du second degré $ax^2+bx+c = 0$, $a\neq 0$
    5.bis. Exercice résolu : Résolution d’une équation du second degré avec un paramètre
  6. Expression de la somme et du produit des racines d’un trinôme du second degré ($\Delta\geq0$)
  7. Factorisation et signe du trinôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq0$
  8. Résolution d’une inéquation du second degré
  9. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré.
  10. Tableau récapitulatif de signes d’une fonction polynôme du second degré.

5.1. Qu’est-ce qu’un paramètre dans une équation ?

Définition 1.
Soit $m$, un nombre réel et $(E)$ une équation du second degré dans $\R$.
On dit que l’équation $(E)$ dépend du paramètre $m$ si et seulement si, les coefficients $a$, $b$ et $c$ dépendent de $m$.
On note $a(m)$, $b(m)$ et $c(m)$ les expressions des coefficients en fonction de $m$.
L’équation $(E)$ sera donc notée $(E_m)$ et peut s’écrire :
$$(E_m) :\quad a(m)x^2+b(m)x+c(m)=0$$
On obtient une infinité d’équations dépendant de $m$. Pour chaque valeur de $m$, on définit une équation $(E_m)$, sous réserve qu’elle existe.

Méthodes

  1. Tout d’abord, on doit chercher l’ensemble des valeurs du paramètre $m$ pour lesquelles $(E_m)$ existe.
    $(E_m)$ existe si, et seulement si, $a(m)$, $b(m)$ et $c(m)$ existent. On exclut les valeurs interdites de $m$, pour lesquelles l’un au moins des coefficients n’existe pas.
  2. $(E_m)$ est une équation du second degré si, et seulement si, $a(m)\neq 0$.
    Si $a(m)=0$ , pour une valeur $m_0$, on commence par résoudre ce premier cas particulier.
  3. Si $a(m)\neq 0$, alors $(E_m)$ est une équation du second degré.
    On calcule le discriminant $\Delta_m$ qui lui aussi dépend de $m$.
    $$\Delta_m =b(m)^2-4a(m)c(m)$$
  4. Ici commence l’étude dans l’étude :
    Il faut maintenant chercher, pour quelles valeurs de $m$, on a : $\Delta_m=0$ et étudier le signe de $\Delta_m$.
    Ensuite, on ouvre une discussion suivant les valeurs et le signe de $\Delta_m$ pour déterminer le nombre de solutions ou le calcul de ces solutions en fonction de $m$.

5.2 Exemples

Exercice résolu. Pour tout $m\in\R$, on considère l’équation suivante :
$$ (E_m) :\; (m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0$$
1°) Étudier suivant les valeurs de $m$, l’existence de solutions de l’équation $(E_m)$.
2°) Calculez les solutions de l’équation $(E_m)$, lorsqu’elles existent, suivant les valeurs de $m$.

Corrigé.
1°) Étude suivant les valeurs de $m$, de l’existence de solutions de l’équation $(E_m)$.
$$ (E_m) :\; (m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0$$
L’inconnue est $x$, Il n’y a aucune valeur interdite. Donc, le domaine de définition de l’équation $(E_m)$ est : $D_m=\R$.

a) Nature de l’équation $(E_m)$.
$(E_m)$ est une équation du second degré si, et seulement si le coefficient de $x^2$ est non nul, donc si et seulement si $m-4\neq 0$ ; c’est-à-dire si et seulement si $m\neq 4$.

b) Étude du cas particulier : $m=4$, de l’équation $(E_4)$.
Pour $m=4$, l’équation $(E_4)$ est une équation du 1er degré qui s’écrit :
$$(E_4) :\; (4-4)x^2-2(4-2)x+4-1=0$$
Donc :
$$\begin{array}{rcl}
-4x+3&=&0\\
-4x &=&-3\\
x&=&\dfrac{3}{4}\\
\end{array}$$
Conclusion. Pour $m=4$, l’équation $(E_4)$ admet une seule solution réelle.
$${\cal S_4}=\left\{\dfrac{3}{4} \right\}$$

c) Étude du cas général : $m\neq 4$, de l’équation $(E_m)$.
Pour tout $m\neq 4$, $(E_m)$ est une équation du second degré. On calcule son discriminant $\Delta_m$ qui dépend de $m$ avec $a(m)=(m-4)$, $b(m)=-2(m-2)$ et $c(m)=m-1$.
$$ \begin{array}{rcl}
\Delta_m &=&b(m)^2-4a(m)c(m)\\
&=& \left[ -2(m-2)\right]^2-4(m-4)(m-1)\\
&=& 4(m-2)^2- 4(m-4)(m-1) \\
&=& 4(m^2-4m+4)-4(m^2-m-4m+4)\\
&=& 4\left[ m^2-4m+4 -m^2+5m-4 \right] \\
\color{red}{\Delta_m} & \color{red}{ =}& \color{red}{m}\\
\end{array} $$

Étude du signe de $\Delta_m=m$ :
$$\boxed{\quad\begin{array}{rcl}
\Delta_m=0 &\Leftrightarrow& m=0\\
&&\textrm{Une solution réelle double ;}\\
\Delta_m>0 &\Leftrightarrow& m>0\;\textrm{et}\; m\neq 4\\
&& \textrm{Deux solutions réelles distinctes ;}\\
\Delta_m<0 &\Leftrightarrow& m<0\\
&& \textrm{Aucune solution réelle.}\\
\end{array}\quad} $$

2°) Calcul des solutions suivant les valeurs de $m$.
1er cas : $m=4$.
$E_4$ est une équation du premier degré qui admet une seule solution :
$$\color{red}{ {\cal S_4}=\left\{\dfrac{3}{4} \right\}}$$

2ème cas : $m=0$, alors $\Delta_0=0$.
L’équation $E_0$ admet une solution double : $$x_0=-\dfrac{b(0)}{2a(0)}$$
Donc : $x_0 =\dfrac{2(0-2)}{2(0-4)}=\dfrac{-4}{-8}$. D’où : $x_0=\dfrac{1}{2}$. Donc :
$$\color{red}{ {\cal S_0}=\left\{\dfrac{1}{2} \right\}}$$

3ème cas : $m>0$ et $m\neq 4$, alors $\Delta_m>0$ : l’équation $E_m$ admet deux solutions réelles distinctes :
$x_{1,m}=\dfrac{-b(m)-\sqrt{\Delta_m}}{2a(m)}$ et $x_{2,m}=\dfrac{-b(m)+\sqrt{\Delta_m}}{2a(m)}$
En remplaçant ces expressions par leurs valeurs en fonction de $m$, on obtient après simplification :
$x_{1,m}=\dfrac{2(m-2)-\sqrt{m}}{2(m-4)}$ et $ x_{2,m}=\dfrac{2(m-2)+\sqrt{m}}{2(m-4)}$.
$$\color{red}{ {\cal S_m}=\left\{ \dfrac{2(m-2)-\sqrt{m}}{2(m-4)} ; \dfrac{2(m-2)+\sqrt{m}}{2(m-4)} \right\}}$$

4ème cas : $m<0$, alors $\Delta_m<0$ : l’équation $E_m$ n’admet aucune solution réelle. Donc : $$\color{red}{ {\cal S_m}=\emptyset}$$


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