Tableau de variation d’une fonction numérique de la variable réelle
Liens connexes
- Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
- Repérage d’un point dans le plan.
- Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
- Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
- Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
- Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
- Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
- Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle.
- Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
- Tableau de variations d’une fonction.
- Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
- Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.
1. Définition du tableau de variation d’une fonction
Définitions 1.
Soit $f$ une fonction définie sur $D$, un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$.
Le tableau de variations de la fonction $f$ est un tableau qui résume toutes les informations concernant le sens de variation des valeurs $f(x)$ en fonction des variations de la variable $x$ sur l’ensemble de définition $D_f$.
Pour cela, on détermine toutes les valeurs remarquables de $x$ dans $D_f$ pour lesquelles la fonction $f$ change de sens de variation, donc est soit strictement croissante, soit strictement décroissante, soit constante.
Remarques
- En Seconde, un tableau de variation comporte toujours deux lignes.
- En Première et Terminale, un tableau de variation comporte trois lignes. On rajoutera en deuxième ligne le signe de la fonction dérivée $f’$) :
- La première ligne du tableau de variations indique les valeurs remarquables de $x$ (qui jouent un rôle) dans l’ensemble de définition $D_f$, c’est-à-dire les valeurs en lesquelles la fonction change de sens de variation.
- Les deux bornes extrêmes donnent le domaine de définition $D_f$ de la fonction.
$-$ Si la courbe s’arrête sur une valeur avec un point, cette valeur est comprise ;
$-$ Si la courbe s’arrête sur une valeur sans point, cette valeur est exclue ;
$-$ Si la courbe continue jusqu’au bord du graphique, le domaine de définition continue jusqu’à l’infini. - Une valeur interdite (exclue) est indiquée par deux barres verticales.
- Un intervalle exclu est indiqué par des hachures sur toute la colonne correspondante, sur les deux lignes.
- La deuxième ligne du tableau de variations indique, pour chaque sous-intervalle de l’ensemble de définition, le sens de variation de la fonction.
- Une flèche montante indique que $f$ est (strictement) croissante.
- Une flèche descendante indique que $f$ est (strictement) décroissante.
- Sur chaque sous-intervalle, on indique les valeurs minimale et maximale aux extrémités des flèches.
Exemple
2. Extremum d’une fonction sur un intervalle
3. Exercices résolus
Exercice n°1.
On considère la fonction $f$ définie par sa courbe représentative $C_f$ donnée ci-dessous. Par lecture graphique :
1°) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
2°) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ et justifier vos réponses.

3. Exemples supplémentaires pour progresser
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