Tableau de variation d’une fonction numérique de la variable réelle

Liens connexes

  1. Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
  2. Repérage d’un point dans le plan.
  3. Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
  4. Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
  5. Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
  6. Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
  7. Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
  8. Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle.
  9. Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
  10. Tableau de variations d’une fonction.
  11. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
  12. Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.

1. Définition du tableau de variation d’une fonction

Définitions 1.
Soit $f$ une fonction définie sur $D$, un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$.
Le tableau de variations de la fonction $f$ est un tableau qui résume toutes les informations concernant le sens de variation des valeurs $f(x)$ en fonction des variations de la variable $x$ sur l’ensemble de définition $D_f$.
Pour cela, on détermine toutes les valeurs remarquables de $x$ dans $D_f$ pour lesquelles la fonction $f$ change de sens de variation, donc est soit strictement croissante, soit strictement décroissante, soit constante.

Remarques

  1. En Seconde, un tableau de variation comporte toujours deux lignes.
  2. En Première et Terminale, un tableau de variation comporte trois lignes. On rajoutera en deuxième ligne le signe de la fonction dérivée $f’$) :
  • La première ligne du tableau de variations indique les valeurs remarquables de $x$ (qui jouent un rôle) dans l’ensemble de définition $D_f$, c’est-à-dire les valeurs en lesquelles la fonction change de sens de variation.
  • Les deux bornes extrêmes donnent le domaine de définition $D_f$ de la fonction.
    $-$ Si la courbe s’arrête sur une valeur avec un point, cette valeur est comprise ;
    $-$ Si la courbe s’arrête sur une valeur sans point, cette valeur est exclue ;
    $-$ Si la courbe continue jusqu’au bord du graphique, le domaine de définition continue jusqu’à l’infini.
  • Une valeur interdite (exclue) est indiquée par deux barres verticales.
  • Un intervalle exclu est indiqué par des hachures sur toute la colonne correspondante, sur les deux lignes.
  • La deuxième ligne du tableau de variations indique, pour chaque sous-intervalle de l’ensemble de définition, le sens de variation de la fonction.
  • Une flèche montante indique que $f$ est (strictement) croissante.
  • Une flèche descendante indique que $f$ est (strictement) décroissante.
  • Sur chaque sous-intervalle, on indique les valeurs minimale et maximale aux extrémités des flèches.

Exemple

2. Extremum d’une fonction sur un intervalle

3. Exercices résolus

Exercice n°1.
On considère la fonction $f$ définie par sa courbe représentative $C_f$ donnée ci-dessous. Par lecture graphique :
1°) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
2°) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ et justifier vos réponses.

Figure 1.

Corrigé.
1°) Par lecture graphique, la fonction $f$ est définie pour les valeurs de $x$ comprises entre $-4$ (compris) et continue jusqu’au bord de la figure. Ce qui montre que l’ensemble de définition de $f$ est :
$$D_f=[-4;+\infty[$$

2°) Par lecture graphique, le tableau de variation de $f$ est donné par :

Tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-4;+\infty[$

$-$ Sur l’intervalle $[-4;-1]$, la fonction $f$ est strictement croissante et prend ces valeurs entre $-3$ et $3$.
$-$ Sur l’intervalle $[-1;3]$, la fonction $f$ est strictement décroissante et prend ces valeurs entre $3$ et $-4$.
$-$ Sur l’intervalle $[3;+\infty$, la fonction $f$ est strictement croissante et prend ces valeurs entre $-4$ et $+\infty$.

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3. Exemples supplémentaires pour progresser

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