Fonctions périodiques. Interprétation géométrique


1. Fonctions périodiques. Interprétation géométrique

Définition 1.
Soit $D$ un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$ et $f$ une fonction définie sur $D$.
On dit que la fonction $f$ est périodique si et seulement si, il existe un nombre réel $T$ strictement positif tel que :
i) $D$ est périodique, c’est-à-dire, pour tout $x\in\R$ :
$$\boxed{\;\;x\in D\Leftrightarrow x+T \in D\;\;}$$ ii) Pour tout $x\in D$ : $$ \boxed{\;\; f(x+T)=f(x)\;\;}$$
On dit que $T$ est une période de la fonction $f$ sur $D$.

REMARQUE

Lorsque $T$ est est une période de $f$, tous les multiples de $T$ : $2T$, $3T$,$\ldots$ et plus généralement $nT$, pour tout entier $n\geqslant1$, sont encore des périodes de $f$.

EXEMPLES

  1. Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$. (A justifier).
    Pour tout $x\in\R$ : $$\cos(x+2\pi)=\cos(x)~~\text{et}~~\sin(x+2\pi)=\sin(x)$$
  2. La fonction trigonométrique tangente est périodique de période $\pi$ sur $D=\R\setminus\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi / k\in\Z\}$ (à justifier).
    Pour tout $x\in\R$ : $$\cos(x+2\pi)=\cos(x)~~\text{et}~~\sin(x+2\pi)=\sin(x)$$

2. Interprétation géométrique

Construction de la courbe d’une fonction périodique

Pour construire la courbe d’une fonction périodique $f$ de période $T$, on construit (une portion de) la courbe sur un intervalle de longueur $T$, puis on duplique indéfiniment cette portion à gauche et à droite.

Pour cela, « on réduit le domaine d’étude » à un intervalle $I$ de longueur $T$ de $D$.
On étudie le sens de variation de la fonction $f$ sur $I$. Nous allons construire une « fonction périodique de période $T=2$ » dans l’exemple suivant.

EXEMPLE

Exercice résolu n°1.
Construire sur $\R$ la fonction périodique de période $T=2$ et définie pour
tout $x\in[−1 ;+1]$ par : $f (x)=1−x^2$.

Corrigé.

Pour construire sur $\R$ la fonction périodique de période $T=2$ et définie pour
tout $x\in[−1 ;+1]$ par : $f (x)=1−x^2$ , il suffit de construire la courbe de $f$ sur un
intervalle de longueur une période $T=2$, ici $I=[−1;+1]$ ou encore $J=[0;2]$, puis dupliquer indéfiniment. Comme la fonction $f$ est paire, on choisit un intervalle d’étude symétrique par rapport à zéro.

Dans notre cas, la fonction $f$ est aussi une fonction paire, car : $[-1;+1]$ est un intervalle symétrique par rapport à zéro.
1°) Pour tout $x\in\R$ : $[x\in[-1;+1]\Leftrightarrow -x\in[-1;+1]]$.
2°) Pour tout $x\in[-1;+1]$ : $[f(-x)=1-(-x)^2=1-x^2=f(x)]$.

$f$ est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. On réduit l’intervalle d’étude à la partie positive de $I$.
Par conséquent on peut encore réduire l’intervalle d’étude à $I_1=[0,1]$.

La fonction $x\mapsto x^2$ est strictement croissante sur $[0;1]$, donc la fonction $x\mapsto -x^2$ est strictement décroissante sur $[0;1]$. On en déduit que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;1]$.

Pour la, construction de la courbe, on procède de la manière suivante :

$\bullet$ On construit la courbe sur $\dfrac{1}{2}$-péiode donc sur $[0:1]$ ;
$\bullet$ On continue la constructionen prenant le symétrique de cette portion de courbe par rapport à l’axe des ordonnées, car la fonction est paire. On obtient la courbe sur une période $T$, sur l’intervalle $[-1:+1]$ ;
$\bullet$ On duplique indéfiniment cette portion à gauche et à droite. On obtient la courbe suivante.

Construction de la courbe sur une période $T$, puis dupplication à gauche et à droite.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°2.
Pour chacune des fonction fonctions suivantes, donner son domaine de définition, déterminer si elle est périodique sur $D$ et donner sa plus petite période lorsque c’est possible.
1°) $f_1(x)=\cos(\pi x)$
2°) $f_2(x)=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}x\right)$
3°) $f_3(x)=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}x\right)sin(2x)$
3°) $f_4(x)=\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}x\right)sin(2\pi x)$.

A suivre