Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle

Liens connexes

  1. Fonctions numériques de la variable réelle. Ensemble de définition.
  2. Repérage d’un point dans le plan.
  3. Courbe représentative d’une fonction de la variable réelle dans un repère du plan.
  4. Calculer des images ou des antécédents à partir d’une expression d’une fonction.
  5. Utiliser la calculatrice pour obtenir un tableau de valeurs. (nouvel onglet)
  6. Déterminer graphiquement des images et des antécédents.
  7. Fonctions paires. Fonctions impaires. Interprétation géométrique.
  8. Sens de variation d’une fonction numérique de la variable réelle.
  9. Déterminer graphiquement le sens de variations d’une fonction.
  10. Tableau de variations d’une fonction.
  11. Résoudre graphiquement une équation ou une inéquation du type : $f(x)=k$.
  12. Résoudre graphiquement une inéquation du type : $f(x)<k$.


1. Fonction croissante sur un intervalle

Définitions 1.
Soit $f$ une fonction définie sur $D$, un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$.
Dire que la fonction est strictement croissante sur un intervalle $I$ de son ensemble de définition, signifie que l’application de $f$ conserve le sens des inégalités sur $I$.

Autrement dit : Une fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $I$, si et seulement si, les images sont rangées dans le même ordre que leurs antécédents.

Donc, pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ de l’intervalle $I$ :
$$\text{Si } x_1 < x_2,\text{ alors } f(x_1) < f(x_2)$$
avec des inégalités strictes.

Courbe d’une fonction strictement croissante sur $I$.

Définitions 2.
Une fonction est $f$ est dite croissante sur un intervalle $I$ de son ensemble de définition, si et seulement si, pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ de l’intervalle $I$ :
$$\text{Si } x_1\leqslant x_2,\text{ alors } f(x_1)\leqslant f(x_2)$$
avec des inégalités larges.


2. Fonction décroissante sur un intervalle

Définitions 3.
Soit $f$ une fonction définie sur $D$, un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$.
Dire que la fonction est strictement décroissante sur un intervalle $I$ de son ensemble de définition, signifie que l’application de $f$ change le sens des inégalités sur $I$.

Autrement dit : Une fonction $f$ est strictement décroissante sur un intervalle $I$, si et seulement si, les images sont rangées dans l’ordre contraire de leurs antécédents.
Donc, pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ de l’intervalle $I$ :
$$\text{Si } x_1 < x_2,\text{ alors } f(x_1) > f(x_2)$$
avec des inégalités strictes.

Courbe d’une fonction strictement décroissante sur $I$.

Définitions 4.
La fonction est $f$ est dite croissante sur un intervalle $I$ de son ensemble de définition, si et seulement si, que pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ de l’intervalle $I$ :
$$\text{Si } x_1\leqslant x_2,\text{ alors } f(x_1)\geqslant f(x_2)$$
avec des inégalités larges.


2. Fonction constante sur un intervalle

Définitions 5.
La fonction est $f$ est dite constante sur l’intervalle $I$ de son ensemble de définition, si et seulement si, $f$ associe la même image à tous les nombres dans $I$. Donc :
$$\text{pour tous } x_1\text{ et } x_2\in I~:~ f(x_1)=f(x_2)$$

Autrement dit, si on appelle $k$ la valeur commune, alors :
$$\text{pour tous }x\in I~:~ [ f(x)= k ]$$


3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
On considère la fonction $f$ définie par sa courbe représentative $C_f$ donnée ci-dessous. Par lecture graphique :
1°) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
2°) Donner le sens de variations de la fonction $f$ et justifier vos réponses.
3°) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur son ensemble de définition.

Figure 1.

Corrigé.
1°) Par lecture graphique, la fonction $f$ est définie pour les valeurs de $x$ comprises entre $-4$ (compris) et continue jusqu’au bord de la figure. Ce qui montre que l’ensemble de définition de $f$ est :
$$D_f=[-4;+\infty[$$

2°) Par lecture graphique, on a le sens de variation de $f$ :
$-$ Sur l’intervalle $[-4;-1]$, la fonction $f$ est strictement croissante et prend ses valeurs entre $-3$ et $3$.
$-$ Sur l’intervalle $[-1;3]$, la fonction $f$ est strictement décroissante et prend ses valeurs entre $-4$ et $3$.
$-$ Sur l’intervalle $[3;+\infty$, la fonction $f$ est strictement croissante et prend ses valeurs entre $-4$ et $+\infty$.

2°) Par lecture graphique, le tableau de variations de $f$ est donné par :

Tableau de variations de la fonction $f$ sur $[-4;+\infty[$
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3. Exemples supplémentaires pour progresser

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