1. Fonction croissante sur un intervalle
Définitions 1.
Soit $f$ une fonction définie sur $D$, un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$.
Dire que la fonction est strictement croissante sur un intervalle $I$ de son ensemble de définition, signifie que l’application de $f$ conserve le sens des inégalités sur $I$.
Autrement dit : Une fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $I$, si et seulement si, les images sont rangées dans le même ordre que leurs antécédents.
Donc, pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ de l’intervalle $I$ :
$$\text{Si } x_1 < x_2,\text{ alors } f(x_1) < f(x_2)$$
avec des inégalités strictes.
Définitions 2.
Une fonction est $f$ est dite croissante sur un intervalle $I$ de son ensemble de définition, si et seulement si, pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ de l’intervalle $I$ :
$$\text{Si } x_1\leqslant x_2,\text{ alors } f(x_1)\leqslant f(x_2)$$
avec des inégalités larges.
2. Fonction décroissante sur un intervalle
Définitions 3.
Soit $f$ une fonction définie sur $D$, un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$.
Dire que la fonction est strictement décroissante sur un intervalle $I$ de son ensemble de définition, signifie que l’application de $f$ change le sens des inégalités sur $I$.
Autrement dit : Une fonction $f$ est strictement décroissante sur un intervalle $I$, si et seulement si, les images sont rangées dans l’ordre contraire de leurs antécédents.
Donc, pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ de l’intervalle $I$ :
$$\text{Si } x_1 < x_2,\text{ alors } f(x_1) > f(x_2)$$
avec des inégalités strictes.
Définitions 4.
La fonction est $f$ est dite croissante sur un intervalle $I$ de son ensemble de définition, si et seulement si, que pour tous nombres $x_1$ et $x_2$ de l’intervalle $I$ :
$$\text{Si } x_1\leqslant x_2,\text{ alors } f(x_1)\geqslant f(x_2)$$
avec des inégalités larges.
2. Fonction constante sur un intervalle
Définitions 5.
La fonction est $f$ est dite constante sur l’intervalle $I$ de son ensemble de définition, si et seulement si, $f$ associe la même image à tous les nombres dans $I$. Donc :
$$\text{pour tous } x_1\text{ et } x_2\in I~:~ f(x_1)=f(x_2)$$
Autrement dit, si on appelle $k$ la valeur commune, alors :
$$\text{pour tous }x\in I~:~ [ f(x)= k ]$$
3. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
On considère la fonction $f$ définie par sa courbe représentative $C_f$ donnée ci-dessous. Par lecture graphique :
1°) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$.
2°) Donner le sens de variations de la fonction $f$ et justifier vos réponses.
3°) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur son ensemble de définition.
Corrigé.
1°) Par lecture graphique, la fonction $f$ est définie pour les valeurs de $x$ comprises entre $-4$ (compris) et continue jusqu’au bord de la figure. Ce qui montre que l’ensemble de définition de $f$ est :
$$D_f=[-4;+\infty[$$
2°) Par lecture graphique, on a le sens de variation de $f$ :
$-$ Sur l’intervalle $[-4;-1]$, la fonction $f$ est strictement croissante et prend ses valeurs entre $-3$ et $3$.
$-$ Sur l’intervalle $[-1;3]$, la fonction $f$ est strictement décroissante et prend ses valeurs entre $-4$ et $3$.
$-$ Sur l’intervalle $[3;+\infty$, la fonction $f$ est strictement croissante et prend ses valeurs entre $-4$ et $+\infty$.
2°) Par lecture graphique, le tableau de variations de $f$ est donné par :
3. Exemples supplémentaires pour progresser