1. Résolution graphique d’une inéquation du type $f(x)<k$ ou $f(x)\leqslant k$
Soit $f$ une fonction définie sur $D$, un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O\, ;I ;J)$. Soit $k\in\R$, un nombre réel donné, et $\Delta_k$ la droite parallèle à l’axe des abscisses, d’équation $y=k$.
La droite $\Delta_k$ peut couper en un ou plusieurs points (ou ne pas couper) la courbe $C_f$.
Propriété 1.
Résoudre graphiquement une inéquation du type $f(x)<k$ dans un intervalle $D$, équivaut à chercher l’ensemble des abscisses des points de la courbe $C_f$, s’il en existe, situés en dessous de la droite $\Delta_k$ parallèle à l’axe des abscisses, d’équation $y=k$.
Dans le cas de cette figure, les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés en dessous de la droite $\Delta_k$ d’équation $y=k$, sont tous les nombres réels $x$ inférieurs à $x_1$ ou supérieurs à $x_2$. Ce qui donne :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)<k &\Longleftrightarrow & x<x_1\text{ ou } x>x_2\\
& \Longleftrightarrow & x\in\left]-\infty;x_1\right[ \text{ ou } x\in\left]x_2;+\infty\right[ \\
\end{array}$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)<k$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left]-\infty;x_1\right[ \cup\left]x_2;+\infty\right[\quad}}$$
D’une manière analogue, l’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\leqslant k$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left]-\infty;x_1\right] \cup\left[x_2;+\infty\right[\quad}}$$
Il suffit d’inclure les bornes de cet intervalle.
1. Résolution graphique d’une inéquation du type $f(x)>k$ ou $f(x)\geqslant k$
Propriété 2.
Résoudre graphiquement une inéquation du type $f(x)>k$ dans un intervalle $D$, équivaut à chercher l’ensemble des abscisses des points de la courbe $C_f$, s’il en existe, situés au-dessus de la droite $\Delta_k$ parallèle à l’axe des abscisses, d’équation $y=k$.
Dans le cas de cette figure, les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus de la droite $\Delta_k$ d’équation $y=k$, sont tous les nombres réels $x$ compris entre $x_1$ et $x_2$. Ce qui donne :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)>k &\Longleftrightarrow & x_1<x<x_2\\
& \Longleftrightarrow & x\in\left]x_1;x_2\right[ \\
\end{array}$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)>k$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left]x_1;x_2\right[\quad}}$$
D’une manière analogue, l’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\geqslant k$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}=\left[x_1;x_2\right]\quad}}$$
Il suffit d’inclure les bornes de cet intervalle.
2. Exemples résolus
Dans les trois exercices ci-dessous, on considère la fonction définie sur l’intervalle $D=[-2;4]$ par sa courbe représentative $C_f$ (Figure 1).
Exemple résolu n°1.
Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_1$) : $f(x) \geqslant 1$.
Corrigé.
1°) Résolution de l’inéquation ($E_1$) $f(x) \geqslant 1$.
On trace la droite $\Delta_1$ d’équation $y = 1$ et on cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus ou sur la droite $\Delta_1$.
Les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus de la droite $\Delta_1$ d’équation $y=1$, sont tous les nombres réels $x$ compris entre $-1$ et $3$. Ce qui donne :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)\geqslant 1 &\Longleftrightarrow & -1\geqslant x\geqslant3\\
& \Longleftrightarrow & x\in\left[-1;3\right] \\
\end{array}$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\geqslant 1$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_1=\left[-1;3\right]\quad}}$$
Exemple résolu n°2.
Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_2$) : $f(x)\geqslant 5$.
Corrigé.
1°) Résolution de l’inéquation ($E_1$) $f(x) \geqslant 5$.
On trace la droite $\Delta_5$ d’équation $y = 5$ et on cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus ou sur la droite $\Delta_5$.
Dans notre cas de figure, il existe un seul point de la courbe $C_f$, situés aussi sur la droite $\Delta_5$ d’équation $y=5$. Ce qui donne :
$$f(x)\geqslant 5 \Longleftrightarrow x=1$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\geqslant 5$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_2=\left\{ 1\right\}\quad}}$$
Exemple résolu n°3.
1°) Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_3$) : $f(x) \leqslant 6$.
2°) Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_4$) : $f(x) \geqslant 6$.
Corrigé.
1°) Résolution de l’inéquation ($E_1$) $f(x) \leqslant 6$.
On trace la droite $\Delta_6$ d’équation $y = 6$ et on cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés en dessous ou sur la droite $\Delta_6$.
Dans notre cas de figure, tous les points de la courbe $C_f$, sont situés en dessous de la droite $\Delta_6$ d’équation $y=6$. Ce qui donne :
$$f(x)\leqslant 5 \Longleftrightarrow x\in\R$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\leqslant 6$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_1=\R\quad}}$$
Corrigé.
2°) Résolution de l’inéquation ($E_2$) $f(x) \geqslant 6$.
On trace la droite $\Delta_6$ d’équation $y = 6$ et on cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus ou sur la droite $\Delta_6$.
Dans notre cas de figure, aucun point de la courbe $C_f$ n’est situé au-dessus ou sur la droite $\Delta_6$ d’équation $y=6$.
Par conséquent, cette inéquation n’admet aucune solution dans $\R$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\geqslant 6$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_1=\emptyset\quad}}$$