1. Résolution graphique d’une équation du type $f(x)=k$
Soit $f$ une fonction définie sur $D$, un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O\, ;I ;J)$. Soit $k\in\R$, un nombre réel donné, et $\Delta_k$ la droite parallèle à l’axe des abscisses, d’équation $y=k$.
La droite $\Delta_k$ peut couper en un ou plusieurs points (ou ne pas couper) la courbe $C_f$.
Définition 1.
Résoudre graphiquement une équation du type $f(x)=k$ dans $D$, revient à déterminer l’ensemble des antécédents de $k$ dans $D$ par la fonction $f$ s’il en existe.
Propriété 1.
Résoudre graphiquement une équation du type $f(x)=k$ dans un intervalle $D$, équivaut à chercher l’ensemble des abscisses des points d’intersection s’il en existe, de la courbe $C_f$ avec la droite $\Delta_k$ parallèle à l’axe des abscisses, d’équation $y=k$.
2. Exemples résolus
Dans les quatre exercices ci-dessous, on considère la fonction définie sur l’intervalle $D=[-2;4]$ par sa courbe représentative $C_f$ (Figure 1).
Exemple résolu n°1.
Résoudre graphiquement l’équation suivante ($E_1$) : $f(x) = 1$.
Corrigé.
1°) Résolution de l’équation ($E_1$) $f(x) = 1$.
On trace la droite $\Delta_1$ d’équation $y = 1$ et on cherche les abscisses des points d’intersection, s’il en existe, de la courbe $C_f$ avec la droite $\Delta_1$.
La droite $\Delta$ coupe la courbe $C_f$ en deux points $A$ et $B$ d’abscisses respectives : $x = –1$ et $x = 3$. On peut alors conclure de deux manières :
Dans le registre des équations :
Conclusion 1. L’équation ($E_1$) « $f(x) = 1$ » admet deux solutions $–1$ et $3$. Donc, l’ensemble des solutions de ($E_1$) est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_1=\left\{–1 ;3\right\}\quad}}$$
Dans le registre des fonctions :
Conclusion 2. Le nombre $1$ admet deux antécédents par la fonction $f$, qui sont $–1$ et $3$.
Exemple résolu n°2.
Résoudre graphiquement l’équation suivante ($E_2$) : $f(x) = 0$.
Corrigé.
Résolution de l’équation ($E_2$) $f(x) = 0$.
On trace la droite $\Delta_0$ d’équation $y = 0$ (qui n’est autre que l’axe des abscisses) et on cherche les abscisses des points d’intersection, s’il en existe, de la courbe $C_f$ avec la droite $\Delta_0$.
L’axe des abscisses coupe la courbe $C_f$ en deux points $A$ et $B$ d’abscisses respectives : $x = a_1$ et $x = a_2$ (valeurs exactes), avec $a_1\simeq -1,2$ et $a_2\simeq 3,2$ (valeurs approchées). On peut alors conclure de deux manières :
Dans le registre des équations :
Conclusion 1. L’équation ($E_2$) « $f(x) = 0$ » admet deux solutions $a_1\simeq -1,2$ et $a_2\simeq 3,2$. Donc, l’ensemble des solutions de ($E_2$) est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_2=\left\{a_1;a_2\right\}\quad}}$$
Attention ! On ne peut pas donner des valeurs approchées comme solutions d’une équation. Par contre, on peut donner des valeurs approchées des solutions (exactes) de l’équation.
Dans le registre des fonctions :
Conclusion 2. Le nombre $0$ admet deux antécédents par la fonction $f$, qui sont $a_1\simeq -1,2$ et $a_2\simeq 3,2$.
Exemple résolu n°3.
Résoudre graphiquement l’équation suivante ($E_1$) : $f(x) = 5$.
Corrigé.
1°) Résolution de l’équation ($E_1$) $f(x) = 5$.
On trace la droite $\Delta_5$ d’équation $y = 5$ et on cherche les abscisses des points d’intersection, s’il en existe, de la courbe $C_f$ avec la droite $\Delta_5$.
La droite $\Delta_5$ coupe la courbe $C_f$ en un seul point $A$ d’abscisses : $x = 1$. On peut alors conclure de deux manières :
Dans le registre des équations :
Conclusion 1. L’équation ($E_3$) « $f(x) = 0$ » admet une unique solution $x=1$. Donc, l’ensemble des solutions de ($E_3$) est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_3=\left\{1\right\}\quad}}$$
Dans le registre des fonctions :
Conclusion 2. Le nombre $5$ admet un unique antécédent par la fonction $f$, qui est $x=1$.
Exemple résolu n°4.
Résoudre graphiquement l’équation suivante ($E_1$) : $f(x) = 6$.
Corrigé.
1°) Résolution de l’équation ($E_1$) $f(x) = 6$.
On trace la droite $\Delta_6$ d’équation $y = 6$ et on cherche les abscisses des points d’intersection, s’il en existe, de la courbe $C_f$ avec la droite $\Delta_6$.
La droite $\Delta_6$ ne coupe la courbe $C_f$ en aucun point.
On peut alors conclure de deux manières :
Dans le registre des équations :
Conclusion 1. L’équation ($E_4$) « $f(x) = 6$ » n’admet aucune solution. Donc, l’ensemble des solutions de ($E_4$) est vide.
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_4=\emptyset\quad}}$$
Dans le registre des fonctions :
Conclusion 2. Le nombre $6$ n’admet aucun antécédent par la fonction $f$.