Sommaire – Page 1ère Spé-Maths

  1. Fonction polynôme sous la forme développée réduite. Monôme. Coefficient. Polynôme. Degré. Egalité de deux polynômes. Racine d’un polynôme
  2. Fonction polynôme du second degré sous la forme développée réduite.
  3. Différentes formes remarquables d’une fonction polynôme du second degré
  4. Passage de la forme développée réduite à la forme canonique ou la forme factorisée et réciproquement
  5. Résolution de l’équation du second degré $ax^2+bx+c = 0$, $a\neq 0$
    5.b) Exercice résolu : Résolution d’une équation du second degré avec un paramètre
  6. Expression de la somme et du produit des racines d’un trinôme du second degré ($\Delta\geq0$)
  7. Factorisation et signe du trinôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$, $a\neq 0$
  8. Résolution d’une inéquation du second degré
  9. Représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré.
  10. Tableau récapitulatif du signe d’une fonction polynôme du second degré.

Les fonctions polynômes du second degré jouent un rôle très important parmi les polynômes et dans l’étude des fonctions en général. Nous verrons que toute fonction polynôme peut s’écrire sous la forme développée réduite ou factorisée comme produit de polynômes simples de degré 1 (fonctions affines) ou de degré 2 (fonctions polynômes du second degré). Ce qui permettra de résoudre des équations ou des inéquations ou encore des problèmes modélisés par des fonctions polynômes.

D’où l’importance d’une étude approfondie des fonctions polynômes du second degré.

2. Polynômes du second degré

2.1. Définitions

Définition 3.
On appelle fonction polynôme du second degré, toute fonction $P$ définie sur $\R$, qui à tout nombre réel $x$ associe le nombre $P(x)$ qui peut s’écrire sous la forme développée réduite : $$P(x)=ax^2+bx+c$$
où $a$, $b$ et $c$ sont des réels et $\color{red}{a\neq 0}$.

L’expression algébrique associée $ax^2+bx+c$, $a\neq 0$, s’appelle un trinôme du second degré.

EXEMPLES

Les expressions suivantes définissent-elles des trinômes du second degré ?
1°) $A(x) = 2 x^2- 5 x +7$,
2°) $B(x) =(x-1)(2 x+3)$
3°) $C(x)=5x^2-\dfrac{3}{x}+7x+2$.
4°) $D(x)=3 x^2-1$

Corrigé.
1°) $A(x) = 2 x^2- 5 x +7$, $A$ est un trinôme du second degré avec : $$a = 2, b = –5\textrm{ et }c = 7.$$

2°) $B(x) =(x-1)(2 x+3)$ [à développer et réduire]. $B$ est un trinôme du second degré avec : $$a = 2, b=1 \textrm{ et }c = –3.$$

3°) $C(x)=5x^2-\dfrac{3}{x}+7x+2$ contient un terme (le deuxième) qui n’est pas un monôme ! Donc $C$ n’est (même) pas une fonction polynôme.

4°) $D(x)=3 x^2-1$, $D$ est un trinôme du second degré avec :
$$a = 3, b = 0 \textrm{ et }c = –1.$$

2.2. Égalité de deux trinômes

Théorème 1.
Deux fonctions polynômes du second degré sont égales si et seulement si, les coefficients de leurs monômes de même degré sont égaux.

Autrement dit : Si $P(x)=ax^2+bx+c$ et $Q(x)=a’x^2+b’x+c’ $, alors :
$$\begin{array}{rcl}
P = Q &\Leftrightarrow& \textrm{pour tout } x\in\R : P(x) = Q(x)\\
& & \textrm{ou encore} \\
P = Q &\Leftrightarrow & a=a’, b=b’ \textrm{ et } c=c’ \\
\end{array} $$

2.2. Racine d’un trinôme

Définition.
On appelle racine ou zéro d’un trinôme du second degré $P$, toute valeur $\alpha$ de la variable $x$, solution de l’équation $P(x)=0$. Ainsi : $$\alpha\textrm{ est une racine de }P\Leftrightarrow P( \alpha )=0$$

EXEMPLES

Déterminer si $-3$ est une racine des deux trinômes suivants définis par :
$P(x)=2x^2+10x+12$ et $Q(x)=x^2+5x-6$.

Corrigé.
1°) $P(-3) =2\times(-3)^2+10\times(-3)+12=18-30+12 = 0$.
Donc $-3$ est bien une racine du trinôme $P$.

2°) $Q(-3) =(-3)^2+5 \times (-3)-6 =9-15-6=-12\not=0$.
Donc $-3$ n’est pas une racine du polynôme $Q$.

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