1. Notion de fonction numérique de la variable réelle
Définitions 1.
Soit $D$ un intervalle ou une réunion finie d’intervalles de $\R$.
Définir une fonction $f$ de $D$ dans $\R$, c’est associer à tout nombre réel $x\in D$, au plus (*) un nombre noté $f(x)\in\R$ (lire « $f$ de $x$ ») appelé image de $x$ par la fonction $f$. On note :
$$\color{brown}{\begin{array}{rcl}
f : &D& \longrightarrow \R\\
&x&\longmapsto f(x) \\
\end{array}\quad}$$ Pour simplifier l’écriture, on note simplement dans le texte : $f : x\longmapsto f(x)=expression$.
(*) « au plus un » = « au maximum un » = « un ou rien ».
Définitions 2.
Si $y$ est l’image d’un nombre $x$ par la fonction $f$, on note $y=f(x)$. Le nombre $x$ s’appelle un antécédent de $y$ par la fonction $f$.
Définition 3.
Si tous les nombres réels dans $D$, ont une image par $f$, on dit que $D$ est le domaine de définition ou l’ensemble de définition de la fonction $f$ et on écrit : $D_f=D$. On a alors, pour tout $x\in\R$ :
$$x\in D_f \text{ (ssi) } f (x)\text{ existe et est unique}$$
Remarque
On peut définir une fonction de plusieurs manières :
- Avec une expression du « langage courant » ou « langage usuel » ;
- Avec une « expression algébrique » ou une « formule »,
- Avec un programme informatique ;
- Avec un tableau de valeurs « point par point » ; ou un tableur ;
- Avec une courbe représentative.
Il est plus ou moins facile de passer parfois de l’une à l’autre.
2. Exemples
- En langage courant :
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ qui, à tout nombre réel, associe « la somme de son carré et de son cube ». - Par une expression algébrique. On considère la fonction $f$ définie pour tout $x\in\R$ par : $f(x)=x^2+x^3$.
- Avec un tableau de valeurs (insuffisant pour définir les images de tous les nombres !)
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ données pour quelques valeurs dans le tableau suivant :
$$\begin{array}{|r|l|l|l|l|l|l|l|} \hline
x &-3&-2&-1&0&1,5&2&3\\ \hline
f(x)&-18&-4&0&0&5,625&12&36\\ \hline
\end{array}$$ - Par un programme informatique :
Pgm1.
Choisir un nombre
Calculer son carré
Calculer son cube
Calculer la somme de son carré et son cube
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1.2) Représentation graphique
3. Conditions de définition d’une fonction
Lorsqu’on étudie une fonction, il est nécessaire de donner d’abord son domaine de définition $D_f$. On peut alors l’étudier sur tout intervalle $I$ contenu dans $D_f$.
Propriété 1.
On distingue deux conditions d’existence d’une fonction :
— C1 : Une expression algébrique dans un dénominateur doit être différente de zéro ;
— C2 : Une expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle.
Les nombres réels qui ne vérifient pas l’une de ces deux conditions, s’appellent des valeurs interdites (v.i.) et doivent être exclues du domaine de définition.
D’autres conditions s’ajouteront en étudiant de nouvelles fonctions dans les classes supérieures.
4. Exercices résolus
Exercice résolu n°1. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=3x^2+5x-7$.
Exercice résolu n°2. Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{2x+1}{x-2}$.
Exercice résolu n°3. Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ définie par $g(x)=\sqrt{2x+1}$.
Exercice résolu n°4. Déterminer le domaine de définition de la fonction $g$ définie par $g(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{2x+1}}$.