1. Le triangle de Pascal
Nous avons vue dans le page des Propriétés des coefficients binomiaux, que pour tous entiers $n$ et $k$, $0\leqslant k\leqslant n-1$ :
$$\boxed{~\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}=\dbinom{n+1}{k+1}\quad(1)~}$$
Cette formule peut également s’écrire en changeant $n$ par $n-1$ et en adaptant les bornes :
Pour tous entiers $n\geqslant 1$ et $k$, $1\leqslant k\leqslant n$ : $$\boxed{~\dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-1}{k}=\dbinom{n}{k}\quad(2)}$$
On peut ainsi construire un tableau en mettant les $n$ en lignes et les $k$ en colonnes.
A l’intersection de la ligne $n$ et de la colonne $k$, on place le coefficient $\dbinom{n}{k}$ comme indiqué dans la figure 1 ci-dessus.
On commence par remplir la colonne $k=0$, correspondant à $\dbinom{n}{0}=1$ pour tout entier $n$. Puis, on remplit la diagonale correspondant à $\dbinom{n}{n}=1$ pour tout entier $n$.
Puis on complète le tableau jusqu’au rang cherché, en appliquant la relation de Pascal (2) pour remplir les autres cases.
Naturellement, les coefficients $\dbinom{n}{k}$ pour $k>n$ n’existent pas. Seuls les coefficients situés en dessous ou sur la diagonale sont définis. On obtient un triangle de valeurs.
Définition .
Le triangle ainsi construit s’appelle le « Triangle de Pascal » ou « le triangle des coefficients du binôme ».
2. Formule du binôme de Newton
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels donnés non nuls.
Nous allons calculer les puissance successives de $(a+b)$ et observer le compotement de leurs coefficients.
$$\begin{array}{rl}
(a+b)^0&={\color{blue}{1}}\\
&={\color{brown}{\dbinom{0}{0}}}\\
(a+b)^1&={\color{blue}{1}}a^1b^0+{\color{blue}{1}}a^0b^1 \\
&= {\color{brown}{\dbinom{1}{0}}}a^1b^0+{\color{brown}{\dbinom{1}{1}}}a^0b^1\\
(a+b)^2&={\color{blue}{1}}a^2b^0+{\color{blue}{2}}a^1b^1+{\color{blue}{1}}a^0b^2 \\
&={\color{brown}{\dbinom{2}{0}}}a^2b^0+{\color{brown}{\dbinom{2}{1}}}a^1b^1+{\color{brown}{\dbinom{2}{2}}}a^0b^2\\
(a+b)^3&={\color{blue}{1}}a^3b^0+{\color{blue}{3}}a^2b^1+{\color{blue}{3}}a^1b^2+{\color{blue}{1}}a^0b^3 \\
&={\color{brown}{\dbinom{3}{0}}}a^3b^0+{\color{brown}{\dbinom{3}{1}}}a^2b^1+{\color{brown}{\dbinom{3}{2}}}a^1b^2+{\color{brown}{\dbinom{3}{3}}}a^0b^3\\
\end{array}$$
On constate que les coefficients du développement de $(a+b)^n$ suivant les puissances décroissantes de $a$ (ou croissantes de $b$) ne sont autres que les coefficients $k$-parmi-$n$ : $\dbinom{n}{k}$ ; $0\leqslant k\leqslant n$.
On peut donc généraliser ce résultat et énoncer le résultat suivant :
$$\begin{array}{rl}
(a+b)^n&={\color{brown}{\dbinom{n}{0}}}a^{n-0}b^0+{\color{brown}{\dbinom{n}{1}}}a^{n-1}b^1+{\color{brown}{\dbinom{n}{2}}}a^{n-2}b^2+\cdots \\
&~+{\color{brown}{\dbinom{n}{n-2}}}a^{2}b^{n-2}+{\color{brown}{\dbinom{n}{n-1}}}a^1b^{n-1}+{\color{brown}{\dbinom{n}{n}}}a^0b^n\\
\end{array}$$
Théorème 1.
Pour tous nombres réels $a$ et $b$ donnés, non tous deux nuls, on a :
$$(a+b)^n=\dsum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k \quad(3)$$
Définition.
Cette égalité s’appelle « la formule du binôme de Newton ».
Remarque.
Dans la formule du binôme, si on remplace $b$ par $-b$, alors $(-b)^k=(-1)^kb^k$. Ce qui donne une deuxième formule :
Corollaire 1. (Conséquence)
Pour tous nombres réels $a$ et $b$ donnés, non nuls, on a :
$$(a-b)^n=\dsum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^ka^{n-k}b^k \quad(4)$$
Démonstrations de la formule (3). Raisonnement par récurrence.
3. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Démontrer que pour tout entier $n$ : $\dsum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n$.
Exercice résolu n°2.
Démontrer que pour tout entier naturel $n$ : $5^n$ est la somme de $1$ et d’un multiple de $4$.
Exercice résolu n°3.
Donner les formes développées réduites des expressions suivantes.
1°) $A(x)=(1+x)^3$.
2°) En déduire la forme développée réduite de $B(x)=(1-x)^3$.
Exercice résolu n°4.
Donner les formes développées réduites des expressions suivantes.
$C(x)=(3x-2)^4$.
Exercice résolu n° 5.
Soit $n$ un entier naturel non nul.
1°) Donner l’expression développée réduite de la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=(1+x)^n$.
2°) Même question pour la fonction $g$ définie par : $g(x)=(1-x)^n$.