Langage et notations des ensembles

  1. Langage et notations des ensembles
  2. Sous-ensemble. Inclusion. Complémentaire d’un sous-ensemble.
  3. Égalité de deux ensembles
  4. Intersection et réunion de deux ensembles. Partition d’un ensemble.
  5. Ensemble des parties d’un ensemble $E$
  6. Cardinal d’un ensemble. Ensembles finis
  7. Produit cartésien de deux ensembles.
  1. Principe additif: nombre d’éléments d’une réunion d’ensembles deux à deux disjoints.
  2. Principe multiplicatif : nombre d’éléments d’un produit cartésien.
  3. Ensemble des parties d’un ensemble $E$.
  4. Nombre des parties d’un ensemble à $n$ éléments. Démonstrations de : $\dsum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}=2^n$.
  5. Nombre des $k$-uplets ou $k$-listes d’éléments d’un ensemble à $n$ éléments
  6. Factorielle d’un entier naturel $n$.
  7. Nombre des $k$-listes ou $k$-uplets d’éléments distincts d’un ensemble à $n$ éléments.
  8. Nombre de permutations d’un ensemble fini à $n$ éléments.
  9. Nombre de combinaisons de $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments.
    Nombre de parties à $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments.
    Formules $\dbinom{n}{k} =\dfrac{n(n-1)…(n-k+1)}{k!} =\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.
  10. Propriétés des coefficients binomiaux $k$-parmi-$n$. Relations de Pascal. Méthodes algébriques.
  11. Propriétés des coefficients binomiaux $k$-parmi-$n$. Relations de Pascal. Méthodes combinatoires
  12. Triangle de Pascal et formule du binôme de Newton. Méthode algébrique.

Approfondissement possible

  1. Combinaisons avec répétitions.

1. Notions d’ensemble et d’éléments

Dans les ouvrages de la théorie des ensembles, les notions d’« ensemble », d’ « élément » et d’ « appartenance » sont dites des « notions premières », c’est-à-dire qui ne peuvent pas être définies par d’autres notions.

En mathématiques, intuitivement, « un ensemble désigne une collection d’objets, appelés les éléments de cet ensemble. Ces « éléments » « appartiennent » à cet « ensemble ». Ce qui définit une relation entre ces trois notions.

La formulation en reviendrait au mathématicien allemand Georg Cantor qui énonçait en 1895 : « Par ensemble, nous entendons toute collection M d’objets m de notre intuition ou de notre pensée, définis et distincts, ces objets étant appelés les éléments de M »…
Ce qui est en jeu au premier chef dans la notion d’ensemble, c’est la relation d’« appartenance » : un élément appartient à un ensemble.
Ce sont les propriétés de cette relation d’appartenance que le mathématicien allemand Ernst Zermelo, puis d’autres, ont axiomatisées en théorie des ensembles.

Wikipedia.org

La définition suivante est extraite du livre de Michel Qeysanne, ALGÈBRE, Collection U, Éd. Armand Collin, Paris 1964. p.14-15.

Définition 1.
Un ensemble $E$ est bien défini lorsqu’on possède un critère permettant d’affirmer, pour tout objet $a$, s’il appartient à l’ensemble $E$ ou s’il n’appartient pas à l’ensemble $E$. On écrit et on lit :
$$\begin{array}{c|c}
a\in E\quad(1) & a\not\in E\quad(2) \\
a\text{ appartient à } E & a\text{ n’appartient pas à } E\\
a\text{ est élément de } E & a\text{ n’est pas élément de } E\\
E\text{ contient } a & E\text{ ne contient pas } a\\
\end{array}$$
La formule (1) traduit la proposition appelée appartenance d’un élément à un ensemble. La formule (2) sa négation.
Michel Queysanne, ALGÈBRE.

Remarque.
Il est important que le critère de définition d’un ensemble soit précis. Dans un lycée, on ne peut pas parler de l’ensemble $B$ des élèves qui sont blonds. Cette notion n’est pas très précise et ne permet pas de décider si un élève est dans $B$ ou non.

Exemples.
On peut ainsi parler de l’ensemble des huit premières lettres de l’alphabet, l’ensemble des élèves d’un lycée, l’ensemble des éléphants du Kenya, l’ensemble des nombres entiers, ou encore l’ensemble des points du disque unité dans le plan.

Définition 2.
Un ensemble peut être défini de deux manières :
1°) En extension, en citant TOUS les éléments de $E$, entre deux accolades et séparés par des points-virgules. L’ordre des éléments n’a aucune importance.
$$E=\{a;b;c;d;e;f;g;h\}$$
2°) En compréhension, en donnant la propriété caractéristique $P$ des éléments de $E$, entre accolades. Le « / » se lit « tels que ».
$$ F=\{ x\in E / P(x)\text{ est vraie }\}$$
Lire « $F$ est l’ensemble de tous les $x$, éléments de $E$ tels que $P(x)$ est vraie ».

Dans une définition en compréhension, on doit préciser dans quel ensemble (parent) les $x$ sont choisis pour éliminer toute ambiguïté.

Les deux ensembles : $E_1=\{ x\in\Z / 1\leqslant x \leqslant 8 \}$ et $E_2=\{ x\in\R / 1\leqslant x \leqslant 8 \}$ sont différents. En effet :

  • $E_1=\{ x\in\Z / 1\leqslant x \leqslant 8 \}$, défini en compréhension, contient 8 éléments. C’est un ensemble fini. $E$ peut aussi être défini en extension : $$E_1=\{ 1;2;3;4;5;6;7;8\}$$
  • et $E_2=\{ x\in\R / 1\leqslant x \leqslant 8 \}$ est un intervalle, donc c’est un ensemble infini. $E_2$ ne peut pas être défini en extension : $$E_2=[1;8]$$

2. Notations

1°) Majuscule, minuscule ?
Les ensembles sont en général notés par une majuscule ; les éléments par une minuscule.
On écrit : $x\in E$. Cependant un plan $\mathcal P$ est un ensemble de points $A$, $B$, $M$, etc. Ici, les éléments sont notés par une majuscule.

2°) Pour désigner un ensemble dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles ou écrits en majuscule, on utilise des lettres calligraphiques ou « à l’anglaise ».
Par exemple. Le plan $\mathcal P$ peut contenir un point $P$. On écrit $P\in\mathcal P$.
L’ensemble des parties d’un ensemble $E$ se note en général : ${\mathcal P}(E)$.

Exercice résolu n°1. [Cardinal de $E$ = nombre d’éléments de $E$.]
Écrire en extension les ensembles suivants et déterminer leurs cardinaux.
1°) L’ensemble $V$ des voyelles de l’alphabet français ;
2°) L’ensemble des nombres premiers inférieurs à $50$ ;
3°) L’ensemble des nombres entiers naturels ;
4°) L’ensemble $S$ des couples de nombres entiers naturels dont la somme est égale à $5$.

Écriture en extension les ensembles suivants.
1°) L’ensemble $V$ des voyelles de l’alphabet français :
$$V = \{a, e, i, o, u, y\}$$
$V$ contient 6 éléments. Donc $\text{Card}(V)=6$

2°) L’ensemble $P$ des nombres premiers inférieurs à $50$ :
$$P=\{2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47\}$$
$P$ contient 15 éléments. Donc $\text{Card}(P)=15$

3°) L’ensemble des nombres entiers naturels :
$$\N = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …\}$$
Ici, $\N$ est un ensemble infini. On ne peut pas l’écrire en extension. Néanmoins, nous utiliser les trois points de suspension pour dire « et ainsi de suite ».
$\N$ contient une infinité d’éléments. Donc $\text{Card}(V)=+\infty$.

4°) L’ensemble $S$ des couples d’entiers naturels dont la somme est égale à $5$.
Soit $(x;y)$ un couple d’entiers naturels.
$(x;y)\in S$ (ssi) $x+y=5$. On obtient donc :
$$S=\{(0;5);(1;4);(2;3);(3;2);(4;1);(5;0)\}$$
$S$ contient 6 éléments. Donc $\text{Card}(S)=6$

Exercice résolu n°2.
Écrire en compréhension les ensembles suivants, puis en extension lorsque c’est possible.
1°) L’ensemble $P$ des nombres entiers pairs.
2°) L’ensemble $I$ des nombres entiers pairs.
3°) L’ensemble $E$ des nombres entiers relatifs multiples de $6$ et dont le carré est inférieur à $100$.


1°) Écriture en compréhension de l’ensemble $P$ des nombres entiers pairs.
On sait que :
Un entier naturel $n$ est pair si et seulement si, il existe un entier $k\in\N$ tel que : $n=2k$. C’est une propriété caractéristique des nombres pairs. Donc, en compréhension : $$\color{brown}{\boxed{\;P=\{ n\in\N\;/ \; \exists k\in\N : n=2k\;\}\;}}$$
$P$ est un ensemble infini, on ne peut pas l’écrire en extension. Néanmoins, on peut écrire :
$$\color{brown}{\boxed{\;P =\{0; 2; 4; 6; 8;\ldots\}\;}}$$

2°) L’ensemble $I$ des nombres entiers impairs.
D’une manière analogue, on obtient :
$$\color{brown}{\boxed{\;I=\{ n\in\N\;/ \; \exists k\in\N : n=2k+1\;\}\;}}$$
$$\color{brown}{\boxed{\;I =\{1; 3; 5; 7; \ldots\}\;}}$$

3°) L’ensemble des nombres entiers relatifs multiples de 6 et dont le carré est inférieur à $100$.
Un entiers relatif $n$ est un multiple de $6$ si et seulement si, il existe un entier $k\in\N$ tel que : $n=6k$. On peut donc écrire $E$ en compréhension :
$$\color{brown}{\boxed{\;E=\{\; n\in\Z\;/\; \exists k\in\Z\text{ tel que }n=6k \text{ et }n^2<100\;\}\;}}$$

On pourrait écrire : $\Z_6=\{\ldots;-18;-12;-6;0;6;12;18;\ldots\}$. Il nous faut une deuxième condition : $n^2<100$. Les seuls nombres dont le carré est inférieur à $100$ sont : $-6$ ; $0$ et $6$. Donc en extension, on a :
$$\color{brown}{\boxed{\; E=\{-6;0;6\,\}\;}}$$

  1. Langage et notations des ensembles
  2. Sous-ensemble. Inclusion. Complémentaire d’un sous-ensemble.
  3. Égalité de deux ensembles
  4. Intersection et réunion de deux ensembles. Partition d’un ensemble.
  5. Ensemble des parties d’un ensemble $E$
  6. Cardinal d’un ensemble. Ensembles finis
  7. Produit cartésien de deux ensembles.
  1. Principe additif: nombre d’éléments d’une réunion d’ensembles deux à deux disjoints.
  2. Principe multiplicatif : nombre d’éléments d’un produit cartésien.
  3. Ensemble des parties d’un ensemble $E$.
  4. Nombre des parties d’un ensemble à $n$ éléments. Démonstrations de : $\dsum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}=2^n$.
  5. Nombre des $k$-uplets ou $k$-listes d’éléments d’un ensemble à $n$ éléments
  6. Factorielle d’un entier naturel $n$.
  7. Nombre des $k$-listes ou $k$-uplets d’éléments distincts d’un ensemble à $n$ éléments.
  8. Nombre de permutations d’un ensemble fini à $n$ éléments.
  9. Nombre de combinaisons de $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments.
    Nombre de parties à $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments.
    Formules $\dbinom{n}{k} =\dfrac{n(n-1)…(n-k+1)}{k!} =\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.
  10. Propriétés des coefficients binomiaux $k$-parmi-$n$. Relations de Pascal. Méthodes algébriques.
  11. Propriétés des coefficients binomiaux $k$-parmi-$n$. Relations de Pascal. Méthodes combinatoires
  12. Triangle de Pascal et formule du binôme de Newton. Méthode algébrique.

Approfondissement possible

  1. Combinaisons avec répétitions.

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