Produit cartésien de deux ensembles


1. Ensemble produit cartésien

Définition 1.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles non vides.
Le produit cartésien des deux ensembles $E$ et $F$, noté $E\times F$ (lire « $E$ croix $F$») est l’ensemble de tous les couples $(x;y)$ avec $x\in E$ et $y\in F$.
$$(x;y)\in E\times F\Leftrightarrow [x\in E\text{ et }y\in F]$$

Cas particulier très important

Si $E=F$, le produit cartésien $E\times E$ se note $E^2$ et se lit « $E$ au carré », ou encore « $E$ puissance $2$ ». On dit également « $E$ deux » par abus de langage.

Remarques.
1°) L’ordre dans un couple est très important. Ainsi, pour tous couples $(x;y)$ et $(x’;y’)$, on a :
$$(x;y)=(x’;y’)\Leftrightarrow [\;x=x’\text{ et }y=y’\;]$$
Pensez aux coordonnées d’un point dans le plan. Si $x\not=y$, les points $M(x;y)$ et $M'(y;x)$ sont distincts et symétriques par rapport à la première bissectrice.
$$\text{Si }x\not=y\;\text{ Alors }\; (x;y)\not=(y;x)$$
2°) Pour les ensembles écrits en extension, l’ordre des éléments n’a aucune importance. $\{x;y\} = \{y;x\}$. L’ensemble des élèves du groupe TS2 est le même, quel que soit l’ordre de la liste des élèves.

Exemples

Soient $E$ et $F$ les deux ensembles : $E=\{a;b\}$ et $F=\{1;2;3\}$.

On obtient $E\times F$ de différentes manières :

  • par un tableau :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
    \times & 1 & 2 &3 \\ \hline
    a & (a;1) & (a;2) &(a:3)\\ \hline
    b & (b;1) & (b;2) & (b;3)\\ \hline
    \end{array}$$
    Par conséquent :
    $$\color{brown}{E\times F = \{(a;1); (a;2); (a;3);(b;1);(b;2);(b;3)\}}$$
  • Par un arbre de dénombrement

On obtient le même résultat :
$$\color{brown}{E\times F = \{(a;1); (a;2); (a;3);(b;1);(b;2);(b;3)\}}$$

  • Par un diagramme (de Venn)
Diagramme de Venn pour le produit cartésien

On obtient le même résultat :
$$\color{brown}{E\times F = \{(a;1); (a;2); (a;3)};\color{blue}{(b;1);(b;2);(b;3)\}}$$

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Soient $E$ et $F$ les deux ensembles : $E=\{a;b\}$ et $F=\{1;2;3\}$.
Déterminer le produit cartésien $E^2$ puis de $F^2$, par la méthode de votre choix.

1°) $E=\{a;b\}$. On obtient $E^2=E\times E$ en utilisant un tableau :
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
\times & a & b \\ \hline
a & (a;a) & (a;b) \\ \hline
b & (b;a) & (b;b)\\ \hline
\end{array}$$
Par conséquent :
$$\color{brown}{E^2=E\times E = \{(a;a); (a;b); (b;a);(b;b)\}}$$

2°) $F=\{1;2;3\}$. On obtient $F^2=F\times F$ en utilisant un tableau :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\times & 1 & 2&3 \\ \hline
1 & (1;1) & (1;2) & (1;3) \\ \hline
2 & (2;1) & (2;2) & (2;3) \\ \hline
3 & (3;1) & (3;2) & (3;3) \\ \hline
\end{array}$$
Par conséquent :
$$\color{brown}{
\begin{array}{l}
F^2= \{(1;1);(1;2);(1;3);(2;1);(2;2);\\
\phantom{F^2=}\quad(2;3);(3;1);(3;2);(3;3) \}\\
\end{array}}$$