Produit cartésien de deux ensembles
1. Ensemble produit cartésien
Définition 1.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles non vides.
Le produit cartésien des deux ensembles $E$ et $F$, noté $E\times F$ (lire « $E$ croix $F$») est l’ensemble de tous les couples $(x;y)$ avec $x\in E$ et $y\in F$.
$$(x;y)\in E\times F\Leftrightarrow [x\in E\text{ et }y\in F]$$
Cas particulier très important
Si $E=F$, le produit cartésien $E\times E$ se note $E^2$ et se lit « $E$ au carré », ou encore « $E$ puissance $2$ ». On dit également « $E$ deux » par abus de langage.
Remarques.
1°) L’ordre dans un couple est très important. Ainsi, pour tous couples $(x;y)$ et $(x’;y’)$, on a :
$$(x;y)=(x’;y’)\Leftrightarrow [\;x=x’\text{ et }y=y’\;]$$
Pensez aux coordonnées d’un point dans le plan. Si $x\not=y$, les points $M(x;y)$ et $M'(y;x)$ sont distincts et symétriques par rapport à la première bissectrice.
$$\text{Si }x\not=y\;\text{ Alors }\; (x;y)\not=(y;x)$$
2°) Pour les ensembles écrits en extension, l’ordre des éléments n’a aucune importance. $\{x;y\} = \{y;x\}$. L’ensemble des élèves du groupe TS2 est le même, quel que soit l’ordre de la liste des élèves.
Exemples
Soient $E$ et $F$ les deux ensembles : $E=\{a;b\}$ et $F=\{1;2;3\}$.
On obtient $E\times F$ de différentes manières :
- par un tableau :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\times & 1 & 2 &3 \\ \hline
a & (a;1) & (a;2) &(a:3)\\ \hline
b & (b;1) & (b;2) & (b;3)\\ \hline
\end{array}$$
Par conséquent :
$$\color{brown}{E\times F = \{(a;1); (a;2); (a;3);(b;1);(b;2);(b;3)\}}$$ - Par un arbre de dénombrement

On obtient le même résultat :
$$\color{brown}{E\times F = \{(a;1); (a;2); (a;3);(b;1);(b;2);(b;3)\}}$$
- Par un diagramme (de Venn)

On obtient le même résultat :
$$\color{brown}{E\times F = \{(a;1); (a;2); (a;3)};\color{blue}{(b;1);(b;2);(b;3)\}}$$
3. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Soient $E$ et $F$ les deux ensembles : $E=\{a;b\}$ et $F=\{1;2;3\}$.
Déterminer le produit cartésien $E^2$ puis de $F^2$, par la méthode de votre choix.
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