Ensemble des parties d’un ensemble $E$


1. Parties d’un ensemble

Pour simplifier les écritures symboliques, on peut utiliser les quantificateurs :
« $\forall$ » = « Quel que soit » = « Pour tout »
« $\exists$ » = « Il existe au moins un »
« $\exists!$ » = « Il existe exactement un »
Le slash « / » = « tel que »

Définition 1.
Soient $E$ deux ensembles. On dit que $A$ est une partie ou un sous-ensemble de $E$ ou encore que $A$ est inclus ou contenu dans $E$ et on note $A\subset E$, si et seulement si, tout élément de $A$ est un élément de $E$.
On dit aussi que $E$ contient $A$ et on note : $E\supset A$.

2. Ensemble des parties d’un ensemble $E$

Définition 2.
Soit $E$ un ensemble. On appelle ensemble des parties de $E$ et on note ${\cal P}(E)$, l’ensemble de tous les sous-ensembles de $E$. On a alors :
$$\begin{array}{c}
A\in{\cal P}(E) \Leftrightarrow A\subset E\\
{\cal P}(E)=\{A \; / \; A\subset E \}\\ \end{array}$$

Propriété 1.
Soit $E$ un ensemble non vide. Alors ${\cal P}(E)$ contient au moins deux éléments : $\emptyset$ et $E$ lui-même : $$\emptyset\in{\cal P}(E)\quad\text{et}\quad E$$


Méthode d’écriture de ${\cal P}(E)$ en extension

Soit $E$ un ensemble fini ayant $n$ éléments.
On commence par écrire $\emptyset$, puis toutes les parties à un élément (les singletons), puis toutes les parties à deux éléments (les paires), puis à trois éléments, et ainsi de suite jusqu’à $E$ qui est la seule partie de $E$ ayant $n$ éléments.

Exemples

Soit $E$ un ensemble. Alors
$$\begin{array}{ll}
E=\emptyset & {\cal P}(E)=\{\emptyset \} \\
E=\{a\} & {\cal P}(E)=\{\emptyset; E \} \\
E=\{a;b\} & {\cal P}(E)=\{\emptyset;\{a\};\{b\}; E \} \\
E=\{a;b;c\} & {\cal P}(E)=\{\emptyset;\{a\};\{b\};\{a;b\};\{a;c\};\{b;c\};E \} \\
\end{array}$$

Exercice résolu n°1.