Cardinal d’un ensemble. Ensembles finis


1. Cardinal d’un ensemble

Définition 1.
Soit $E$ un ensemble et $n$ un entier naturel.
Si $E$ contient exactement $n$ éléments, on dit que $E$ est un ensemble fini et le cardinal de $E$ est égal à $n$ et on note : $$\text{Card}(E)=n$$
Un ensemble $E$ qui n’est pas fini est dit un ensemble infini. On pourrait écrire : $\text{Card}(E)=+\infty$.

Exemples

  • $\text{Card}(\emptyset) =0$. L’ensemble vide est un ensemble fini ayant $0$ élément.
  • L’ensemble $F$ des lettres de l’alphabet qui forment le mot « MATHEMATIQUES » est un ensemble fini ayant $9$ éléments. $F=\{ M; A;T;H;E;I;Q;U;S \}$. Donc : $\text{Card}(F)=9$.
  • L’ensemble $M_6$ des multiples de 6 compris entre $0$ et $60$ est un ensemble fini ayant $11$ éléments. $M_6=\{ 0;6;12;18;24;30;36;42;48;54;60\}$. Donc : $\text{Card}(M_6)=11$.
  • L’ensemble $\N$ des nombres entiers naturels est un ensemble infini. Donc :
    $$\text{Card}(\N)=+\infty$$
  • L’ensemble $\R$ des nombres réels, ainsi que n’importe quel intervalle $[a;b]$ ($a<b$) de $\R$, sont des ensembles infinis. $$\text{Card}(\R)=+\infty\quad \text{Card}([a;b])=+\infty$$

Remarque
Dans ce chapitre, nous travaillons essentiellement sur des ensembles infini.

2. Principe additif : nombre d’éléments d’une réunion d’ensembles deux à deux disjoints

Propriété 1.
Soient $E$ un ensemble fini et $A$ et $B$ deux parties quelconques de $E$. Alors :
$$\boxed{\; \text{Card}(A\cup B)= \text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A\cap B)\;}\quad(1)$$
Si $A$ et $B$ sont deux parties disjointes de $E$, alors : $A\cap B=\emptyset$ et :
$$\boxed{\; \text{Card}(A\cup B)= \text{Card}(A)+\text{Card}(B)\;}\quad(2)$$

1°) Nous avons déjà rencontré cette propriété en classe de Seconde, au chapitre des probabilités.
Pour calculer le nombre d’éléments de $A\cup B$, on additionne le nombre d’éléments de $A$ et celui de $B$. Les éléments de $A\cap B$ seront comptés deux fois. Il faut soustraire 1 fois le cardinal de $A\cap B$. D’où le résultat.

2°) Si $A$ et $B$ sont deux parties disjointes de $E$, alors : $\text{Card}(A\cap B)=\text{Card}(\emptyset)=0$. D’où le résultat.


Définition 2.
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
Soient $E$ un ensemble et $A_1$, $A_2$,$\ldots$, $A_n$, $n$ parties non vides de $E$.
On dit que les $n$ parties $A_1$, $A_2$,$\ldots$, $A_n$, sont deux à deux disjointes si et seulement si, pour tout $i$ et tout $j$ compris entre $1$ et $n$ :
$$i\not= j\Rightarrow A_i\cap A_j=\emptyset$$

Principe additif : nombre d’éléments d’une réunion d’ensembles deux à deux disjoints

Propriété 2.
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
Soient $E$ un ensemble fini et $A_1$, $A_2$,$\ldots$, $A_n$, $n$ parties deux à deux disjointes de $E$. Alors :
$$\begin{array}{l}
\text{Card}(A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n)\\
\;=\text{Card}(A_1)+\text{Card}(A_2)+\cdots+\text{Card}(A_n)\\ \end{array}$$
qu’on peut aussi écrire :
$$\text{Card}\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\text{Card}(A_i)$$


Partition d’un ensemble

Définition 3.
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
Soient $E$ un ensemble fini et $A_1$, $A_2$,$\ldots$, $A_n$, $n$ parties non vides de $E$.
On dit que la famille $A_1$, $A_2$,$\ldots$, $A_n$, forme une partition de $E$ si et seulement si :
$i$) Les $n$ parties $A_1$, $A_2$,$\ldots$, $A_n$ sont deux à deux disjointes, c’est-à-dire, pour tous $i$ et $j$ :
$$i\not= j\Rightarrow A_i\cap A_j=\emptyset$$
$ii$) La réunion de toutes les parties $A_1$, $A_2$,$\ldots$, $A_n$ est égale à $E$. On écrit : $$A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n=E$$

Propriété 3.
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
Soient $E$ un ensemble fini et $A_1$, $A_2$,$\ldots$, $A_n$, une partition de $E$. Alors :
$$\text{Card}(A_1)+\text{Card}(A_2)+\cdots+\text{Card}(A_n)=\text{Card}(E)$$
qu’on peut aussi écrire :
$$\sum_{i=1}^{n}\text{Card}(A_i)=\text{Card}(E)$$

Nombre d’éléments du complémentaire d’une partie dans un ensemble

Corollaire.
Soient $E$ un ensemble fini et $A$ une partie non vide de $E$ et distincte de $E$. Alors :
1°) $A$ et son complémentaire $\overline{A}$ dans $E$, forment une partition de $E$.
2°) $\text{Card}(\overline{A})=\text{Card}(E)-\text{Card}(A)$.


3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.