Nombre de permutations d’un ensemble fini à $n$ éléments. Factorielle $n$
1. Permutation d’un ensemble fini à $n$ éléments
Définition 1.
Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments.
On appelle « permutation de $E$ » toute liste ordonnée de tous (les $n$) éléments distincts deux à deux de $E$. Autrement dit, une permutation de $E$ est une « $n$-liste » des éléments distincts deux à deux de $E$.
Définir une nouvelle permutation, c’est dresser la liste de tous (les $n$) éléments de $E$ écrits dans un nouvel ordre.
Exemples
Exercice résolu n°1.
1°) Soit $n$ un entier naturel compris entre $1$ et $5$. Soit $E_n$ un ensemble fini à $n$ éléments. Donner les ensembles ${\mathcal P}_n$, en extension, de toutes les permutations de $E_n$.
2°) Faire une conjecture pour déterminer la progression du nombre $p_n$ de permutations en fonction de $n$.
Méthode
Faire un arbre de dénombrement ou des cases. Les $n$ éléments doivent être deux à deux différents.
2. Nombre de permutations d’un ensemble fini à $n$ éléments.
Propriétés 2.
Soit $n$ un entier naturel non nul, $n\geqslant 1$.
Le nombre $p_n$ de permutations d’un ensemble fini $E$ à $n$ éléments est égal à $n!$ (factorielle $n$).
$$\boxed{\;n! = n(n-1)(n-2)\times\cdots\times2\times1\;}$$
Pour en savoir plus sur ce nombre et les démonstrations de ses propriétés, cliquez sur le lien « Factorielle $n$ ».
Méthode
- On prend la totalité des éléments de $E$
- L’ordre des éléments est très important.
Il s’agit du nombre de permutations d’un ensemble fini à $n$ éléments. - Le nombre de tous les ordres possibles, est égal à $n!$.
3. Exercices résolus
Exercice résolu n°2.
De combien de manières peut on placer 8 personnes, sur un côté, le long d’une table rectangulaire ? Expliquez.
Exercice résolu n°3.
De combien de manières peut on placer 8 personnes, sur un côté, le long d’une table circulaire à 8 places avec au moins un voisin différent ? Expliquez.
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