Égalité de deux ensembles


2. Égalité de deux ensembles

Pour simplifier les écritures symboliques, on peut utiliser les quantificateurs :
« $\forall$ » = « Quel que soit » = « Pour tout »
« $\exists$ » = « Il existe au moins un »
« $\exists!$ » = « Il existe exactement un »
Le slash « / » = « tel que »

Définition 1.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On dit que les ensembles $E$ et $F$ sont égaux et on note $E=F$, si et seulement si, tout élément de $E$ est un élément de $F$ et réciproquement.

Proposition 1.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Alors $E=F$ si et seulement si :
$$[E=F]\Leftrightarrow[\,E\subset F\;\text{ et }\;F\subset E\,]$$

Proposition 2. (Négation)
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Alors $E\not=F$ si et seulement si, il existe un $x\in E$ tel que $x\not\in F$, ou bien il existe un $x\in F$ tel que $x\not\in E$. Autrement dit :
$$[E\not=F]\Leftrightarrow[\,E\not\subset F\;\text{ ou }\;F\not\subset E\,]$$

Exercice résolu n°1.