Intersection et réunion de deux ensembles


1. Intersection et réunion de deux ensembles

Définition 1.
L’intersection de deux ensembles $A$ et $B$, se note $A\cap B$ et désigne l’ensemble des éléments qui appartiennent (à la fois) à $A$ et à $B$. C’est l’ensemble des éléments communs à $A$ et à $B$. On lit « $A$ inter $B$ » et pour tout $x$, on écrit :
$$x\in A\cap B\quad\text{ssi}\quad x\in A\;\text{et}\; x\in B$$
Si $A\cap B=\emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont disjoints ou incompatibles quand il s’agit d’événements en probabilités.

Définition 2.
La réunion de deux ensembles $A$ et $B$, se note $A\cup B$ et désigne l’ensemble des éléments qui appartiennent (à la fois) à $A$ et à $B$. C’est l’ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$ ou les deux. On lit « $A$ union $B$ » et pour tout $x$, on écrit :
$$x\in A\cup B\quad\text{ssi}\quad x\in A\;\text{ou}\; x\in B$$

Exemples. 1°) Comme $\N$ est inclus dans $\Z$ déterminer $\N\cap\Z$ et $\N\cup\Z$.
2°) On considère les deux intervalles $A = [–2 ;3]$ et $B = ]0 ; 5]$. Déterminer $A\cap B$ et $A\cup B$.

On fait d’abord un schéma représentatif :

Intersection et réunion de deux intervalles

Il est clair que $A\cap B=]0;3]$ et $A\cup B=[-2;5]$.

Remarque

Dans le langage courant, le « ou » signifie un choix obligatoire ; comme dans « fromage ou dessert ». On dit que le « ou » est exclusif.

En mathématiques, dans la définition de la réunion de deux ensembles, le « ou » n’est pas exclusif. Dire que $x\in A\cup B$ signifie que $x$ appartient à « au moins un des deux ensembles »

Donc « $x$ appartient à $A$ » ou « $x$ appartient à $B$ » ou « $x$ appartient aux deux ensembles ».

On dit que le « ou » est inclusif.

2. Partition d’un ensemble

Définition 3.
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
Soient $E$ un ensemble et $B_1$, $B_2$,$\ldots$, $B_n$, $n$ sous-ensembles non vides de $E$.
On dit que la famille $B_1$, $B_2$,$\ldots$, $B_n$, forme une partition de $E$ si, et seulement si, les conditions suivantes sont satisfaites :
$i$) Tous les $B_i$ sont non vides, c’est-à-dire : $B_i\not=\emptyset$ pour tout $i$ compris entre $1$ et $n$. (Cette condition n’est pas toujours vérifiée dans certaines démonstrations) ;
$ii$) Les $n$ sous-ensembles $B_1$, $B_2$,$\ldots$, $B_n$ sont deux à deux disjoints, c’est-à-dire, pour tous $i$ et $j$ compris entre $1$ et $n$ :
$$i\not= j\Rightarrow B_i\cap B_j=\emptyset$$
$iii$) La réunion de tous les sous-ensembles $B_1$, $B_2$,$\ldots$, $B_n$ est égale à $E$. On écrit :
$$B_1\cup B_2\cup\ldots\cup B_n=E$$
ou encore : $$\bigcup_{i=1}^{n}B_i=E$$

Exemples

Soit $E$ = l’ensemble des élèves du lycée. On choisit un élève au hasard et on lui demande sa classe. On pose $B_1$ = « l’élève est en seconde », $B_2$ = « l’élève est en première », $B_3$ = « l’élève est en Terminale » et $B_4$ = « l’élève est en BTS », alors $B_1$, $B_2$, $B_2$ et $B_4$ forment une partition de $E$.

Les quatre symboles Carreau, Coeur, Pique et Trefle forment une partition de l’ensemble d’un jeu de cartes, qu’on appelle « Les couleurs ».


Un cas particulier. Une partition à deux éléments

Définition 4.
Soit $B$ un sous-ensemble non vide de $E$ et différent de $E$. Alors $B$ et son complémentaire $\overline{B}\,$ dans $E$, forment une partition de l’ensemble $E$.
$$A\cap B=\emptyset\quad\text{et}\quad A\cup B=E$$

Ce sont les plus petites partitions qu’on peut former dans un ensemble non vide $E$ (avec au moins deux éléments).

Exemple 

Au lycée, si on pose $B$ = « l’élève fait de l’allemand ». Alors $B$ et $\overline{B}$ forment une partition de l’ensemble $E$ des élèves du lycée.

3. Exercices résolus


Exercice résolu.

Corrigé.