Factorielle d’un nombre entier naturel $n$


1. Factorielle $n$

Définition 1.
Soit $n$ un entier naturel non nul. $n\geqslant 1$.
On appelle « factorielle $n$ » ou « $n$ factorielle » et on note « $n!$ » le produit de tous les entiers de $1$ à $n$, qu’on peut écrire :
$$\color{brown}{\boxed{\; n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\ldots\times 3\times 2\times 1\;}}$$
Pour $n=0$, on pose par convention : $\color{brown}{\boxed{\;0!=1\;}}$.

Exemples

Exercice résolu n°1.
1°) Calculer $1!$ ; $2!$ ; $3!$ ; $4!$ et $5!$.
2°) Calculer : $\dfrac{6!}{3!}$ ; $\dfrac{24!}{20!}$.
3°) Calculer : $\dfrac{10!}{7!3!}$.

1°) Calcul des factorielles
$1! = 1$ ;
$2! =2\times1=2$ ;
$3! =3\times2\times1=6$ ;
$4! =4\times3\times2\times1=24$
et $5! =5\times4\times3\times2\times1=120$.

2°a) Simplification des fractions
$\begin{array}{rcl}
\dfrac{6!}{3!}&=&\dfrac{6\times5\times4\times3\times2\times1}{3\times2\times1}\\
&=&\dfrac{6\times5\times4\times\not3\times\not2\times\not1}{\not3\times\not2\times\not1}\\
&=&6\times5\times4\\
&=&120\\
\end{array}$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;\dfrac{6!}{3!}=120\;}}$

2°b) Simplification de $\dfrac{24!}{20!}$.
$\begin{array}{rcl}
\dfrac{24!}{20!}&=&\dfrac{24\times23\times22\times21\times\color{brown}{20\times\ldots\times3\times2\times1}}{\color{brown}{20\times\ldots\times3\times2\times1}}\\
&=&\dfrac{24\times23\times22\times21\times\color{brown}{\not20!}}{\color{brown}{\not20!}}\\
&=&24\times23\times22\times21\\
&=&255024\\
\end{array}$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;\dfrac{24!}{20!}=255024\;}}$

3°) Calculer : $\dfrac{10!}{7!3!}$.
$\begin{array}{rcl}
\dfrac{10!}{7!3!}&=&\dfrac{10\times9\times8\times\not7!}{\not7!\times3!}\\
&=&\dfrac{10\times9\times8\times}{\times3\times2\times1}\\
&=&\dfrac{10\times(3\times\not3)\times(4\times\not2)}{\not3\times\not2\times1}\\
&=&\dfrac{10\times3\times4}{1}\\
&=&120\\
\end{array}$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;\dfrac{10!}{7!3!}=120\;}}$

Exercice résolu n°2.
Écrire avec des factoriels les nombres suivants :
1°) $A=8\times7\times6\times5\times4$
2°) $B = n\times (n-1) \times (n-2)\times (n-3)$, pour $n\geqslant 4$.

1°) Écriture $A=8\times7\times6\times5\times4$
$\begin{array}{rcl}
\dfrac{24!}{20!}
A=8\times7\times6\times5\times4&=&\dfrac{8\times7\times6\times5\times4\times\color{brown}{\times3\times2\times1}}{\color{brown}{3\times2\times1}}\\
&=& \dfrac{8!}{3!}\\
\end{array}$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;\dfrac{8!}{3!}\;}}$

2°) $B = n\times (n-1) \times (n-2)\times (n-3)$, pour $n\geqslant 4$.
$\begin{array}{rcl}
B&=&B = n\times (n-1) \times (n-2)\times (n-3)\\
&=&\dfrac{n\times (n-1) \times (n-2)\times (n-3)\color{brown}{(n-4)!}}{\color{brown}{(n-4)!}}\\
&=&\dfrac{n!}{(n-4)!}\\
\end{array}$
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;B=\dfrac{n!}{(n-4)!}\;}}$


2. Propriétés

Propriétés 1.
1°) Pour tout entier naturel $n$ : $\boxed{\;(n+1)!=(n+1)\times n!\;}$.
2°) Pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k \leqslant n$, on a :
$$\boxed{\;\underbrace{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}_{k\text{ facteurs}}=\dfrac{n!}{(n-k)!}\;}$$

Démonstration.
1°) Soit $n$ un entier naturel.
$\begin{array}{rcl}
(n+1)!&=&(n+1)\times n\times(n-1)\times(n-2)\times\ldots\times 3\times 2\times 1\\
&= &(n+1)\times \color{brown}{\left[ n\times(n-1)\times(n-2)\times\ldots\times 3\times 2\times 1\right]}\\
(n+1)!&=&(n+1)\times n!\\
\end{array}$
Conclusion. Pour tout $n\in\N$ : $\color{brown}{\boxed{\;(n+1)!=(n+1)\times n!\;}}$

2°) Soit $k$ un entier tel que $0\leqslant k \leqslant n$. On a :
$\begin{array}{l}
\underbrace{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}_{k\text{ facteurs}}\\
=\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-(k-1))\color{brown}{\times (n-k)!}}{\color{brown}{(n-k)!}}\\
=\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-(k-1))(n-k)(n-k-1)\ldots\times2\times1}{(n-k)!}\\
=\dfrac{n!}{(n-k)!}\\
\end{array}$
Conclusion. Pour tout $n\in\N$ et tout $k$ tel que $0\leqslant k \leqslant n$ : $$\color{brown}{\boxed{\;\underbrace{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}_{k\text{ facteurs}}=\dfrac{n!}{(n-k)!}\;}}$$


2. Exercices résolus

Exercice résolu n°5.