Sous-ensemble. Inclusion. Complémentaire d’un sous-ensemble


1. Inclusion. Sous-ensemble

Pour simplifier les écritures symboliques, on peut utiliser les quantificateurs :
« $\forall$ » = « Quel que soit » = « Pour tout »
« $\exists$ » = « Il existe au moins un »
« $\exists!$ » = « Il existe exactement un »
Le slash « / » = « tel que »

Définition 1.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On dit que $E$ est une partie ou un sous-ensemble de $F$ ou encore que $E$ est inclus ou contenu dans $F$ et on note $E\subset F$, si et seulement si, tout élément de $E$ est un élément de $F$.
On dit aussi que $F$ contient $E$ et on note : $F\supset E$.

Proposition 1.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Alors $E\subset F$ si et seulement si, pour tout $x$ :
$$[E\subset F]\;\text{ (ssi) }(\forall x) [\, x\in E\Rightarrow x\in F\,]$$

Exemples.
On connaît la suite des inclusions entre les ensembles des nombres vues en Seconde.
$$\N\subset\Z$$

En effet, si $x\in\N$, alors $x$ est un entier naturel. Donc, $x$ est un entier relatif positif ou nul. Par conséquent $x\in\Z$.
Conclusion. $\N\subset\Z$.

Proposition 2. (Négation)
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Alors $E$ n’est pas inclus dans $F$ et on note $E\not\subset F$ si et seulement si, il existe au moins un $x$ tel que : $x\in E$ et $x\not\in F$.
Avec les symboles :
$$[E\not\subset F]\;\text{ (ssi) }(\exists x)\text{ tel que } [\, x\in E\text{ et }x\not\in F\,]$$

Exemple.

2. Complémentaire d’un sous-ensemble

Définition 2.
Soient $E$ un ensemble et $A$ une partie de $E$. On appelle complémentaire de $A$ dans $E$, le sous ensemble constitué de tous les éléments de $E$ qui n’appartiennent pas à $A$. Le complémentaire de $A$ dans $E$ se note $\overline{A}$. On trouve également les notations : $E\backslash A$, $\text{C}_EA$ ou encore ${}^c\!A$. On a alors :
$$\color{brown}{\boxed{\;\overline{A}=\{x\in E\;/\; x\not\in A\}\;}}$$

Nous avons déjà utilisé en classe de Seconde, la notation $\overline{A}$ pour désigner « l’événement contraire » de l’événement $A$.

Propriétés 3. (Lois de Morgan)
Soient $E$ un ensemble et $A$ et $B$ deux parties quelconques de $E$. Alors :
1°) $\overline{\overline{A}}=A$.
2°) $\overline{(A\cup B)}=\overline{A}\cap\overline{B}$.
3°) $\overline{(A\cap B)}=\overline{A}\cup\overline{B}$.

Exemples

Exemple 1.
Soient $E$ l’ensemble des chiffres arabes et $A$ l’ensemble des entiers naturels multiples de 3 et inférieurs $10$. Déterminer $\overline{A}$.

$E=\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$ et $A=\{0;3;6;9\}$.
Par conséquent : $\overline{A}=\{1;2;4;5;7;8\}$.


Exercice résolu n°1.