Le raisonnement par l’absurde

1. Raisonnement par l’absurde

« Le raisonnement par l’absurde (du latin reductio ad absurdum) ou apagogie (du grec ancien apagôgê) est une forme de raisonnement logique, philosophique, scientifique consistant soit à démontrer la vérité d’une proposition en prouvant l’absurdité de la proposition complémentaire (ou « contraire »), soit à montrer la fausseté d’une proposition en déduisant logiquement d’elle des conséquences absurdes. »
Source Wikipedia.org

Définition 1.
Le raisonnement par l’absurde est un raisonnement qui permet de démontrer qu’une affirmation est vraie en montrant que sa négation est fausse (ou son contraire est faux).

Point méthode 1.
Pour démontrer qu’une proposition logique $Q$ est vraie, on suppose que sa négation $non~Q$ est vraie et on aboutit à un résultat faux ; on dit « absurde », qu’on appelle une contradiction du type « $R$ et $non~R$ » une proposition et son contraire.
Ce qui prouve que $non~Q$ est fausse, donc que $Q$ est vraie.

Symboliquement.
$$\color{brown}{\boxed{\;\; \left( non~Q\Rightarrow\text{Faux}\right) \Rightarrow Q\text{ est vraie}\;\;}}$$

Point méthode 2.
Pour démontrer qu’une implication logique $P\Longrightarrow Q$ est vraie,
$\bullet$ On suppose que $P$ est vraie.
$\bullet$ Et, pour démontrer que $Q$ est vraie, on suppose que sa négation $non~Q$ est vraie et on aboutit à une « absurdité » ou une contradiction.
$\bullet$ Ce qui prouve que $non~Q$ est fausse, donc que $Q$ est vraie.

Pour les puristes :

Propriété 1.
Soient $P$, $Q$ et $R$ trois propositions logiques. Le raisonnement par l’absurde s’appuie sur l’équivalence logique :
$$\boxed{\;\; \left[P\Rightarrow Q\right] \Longleftrightarrow\left[(P~\text{et}~non~Q)\Rightarrow(R~\text{et}~non~R)\right) \;\;}$$
Pour démontrer que $(P\Rightarrow Q)$ est vraie, on suppose que P est vraie, puis, pour démontrer que $Q$ est vraie, on suppose que $Q$ est fausse et on aboutit à une contradiction $(R~\text{et}~non~R)$.

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Démontrer que $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal.

Rappelons qu’un nombre $x$ est dit décimal s’il admet une écriture décimale avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Autrement dit : $x$ est un nombre décimal si, et seulement si, il existe un entier relatif $a$ et un entier naturel $n$ tels que : $\color{brown}{\boxed{\;\; x=\dfrac{a}{10^n}\;\;}}$

1ère méthode
On effectue le division de $1$ par $3$ et on constate que le quotient $\dfrac{1}{3}=0,333\ldots$ admet une écriture décimale illimitée.
Conclusion 1. $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal. $\blacktriangle$

2ème méthode
On fait un raisonnement par l’absurde.
Supposons le contraire, donc que $\dfrac{1}{3}$ est un nombre décimal.
Donc, par définition, il existe un entier relatif $a$ et un entier naturel $n$ tels que : $$\dfrac{1}{3}=\dfrac{a}{10^n}$$
Mais alors, en écrivant l’égalité des produits en crois, on obtient : $$1\times 10^n=3\times a\quad(1)$$
Le membre de droite $3a$ est le produit d’un entier relatif par $3$. Donc, c’est un multiple de $3$. Et d’après l’égalité $(1)$, on en déduit que $10^n$ est aussi un multiple de $3$. Donc, la somme de ses chiffres serait égale à un multiple de $3$.
Or $10^n=1\underbrace{00\ldots0}_{n\text{ zéros}}$. Donc la somme de ses chiffres est égal à $1$ ; et $1$ n’est pas multiple de $3$.
Ce qui est absurde car la somme des chiffres d’un multiple de $3$ est encore un multiple de $3$.
Conclusion 2. $\dfrac{1}{3}$ n’est pas un nombre décimal. $\blacktriangle$

Exercice résolu n°2.
Démontrer que $\dfrac{2\pi+3}{\pi+1}$ n’est pas un nombre rationnel.

Rappelons qu’un nombre $x$ est dit rationnel si, et seulement si, $x$ peut s’écrire sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers.
$$\begin{array}{c}
\color{brown}{\left[x~\text{est rationnel}\right]~\Leftrightarrow \left[x\in\Q\right]}\\
\color{brown}{\left[x~\text{est irrationnel}\right]~\Leftrightarrow \left[x\in\R~\text{et}~x\not\in\Q\right]}\end{array}$$

A terminer

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