1. Fonction croissante sur un intervalle $I$.
Soit $f$ une fonction définie sur $D$, un intervalle ou une réunion d’intervalles de $\R$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O\, ;I ;J)$. Soit $I$ un intervalle contenu dans $D$.
Définition 1.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.
Dire que $f$ est strictement croissante sur $I$, signifie que l’application de $f$ conserve le sens des inégalités, c’est-à-dire :
Pour tous nombres $a$ et $b\in I$ :
$$[\text{Si }a < b, \text{ alors }f(a) < f(b)]\quad\text{(inégalités strictes)}$$
2. Exercices résolus
Dans les trois exercices ci-dessous, on considère la fonction définie sur l’intervalle $D=[-2;4]$ par sa courbe représentative $C_f$ (Figure 1).
Exercices résolu n°1.
Résoudre graphiquement l’inéquation suivante ($E_1$) : $f(x) \geqslant 1$.
Corrigé.
1°) Résolution de l’inéquation ($E_1$) $f(x) \geqslant 1$.
On trace la droite $\Delta_1$ d’équation $y = 1$ et on cherche les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus ou sur la droite $\Delta_1$.
Les abscisses des points de la courbe $C_f$, situés au-dessus de la droite $\Delta_1$ d’équation $y=1$, sont tous les nombres réels $x$ compris entre $-1$ et $3$. Ce qui donne :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)\geqslant 1 &\Longleftrightarrow & -1\geqslant x\geqslant3\\
& \Longleftrightarrow & x\in\left[-1;3\right] \\
\end{array}$$
Conclusion. L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\geqslant 1$ est :
$$\color{brown}{\boxed{\quad{\cal S}_1=\left[-1;3\right]\quad}}$$
