Somme de deux vecteurs. Enchaînement de translations. Relation de Chasles. Règle du parallélogramme. Différence de deux vecteurs


1. Enchaînement de deux translations

Soit $t_1$ la translation de vecteur $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $t_2$ la translation de vecteur $\vec{v}=\overrightarrow{BC}$.

Fig. 1. Enchaînement de translations : $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$
Relation de Chasles

Se déplacer de $A$ en $B$, puis de $B$ en $C$, revient à se déplacer de $A$ en $C$. Donc, appliquer la translation $t_1$ puis la translation $t_2$ revient à se déplacer de $A$ en $C$. On obtient une nouvelle translation. Le vecteur associé à cette nouvelle translation est $\vec{w}=\overrightarrow{AC}$.

Définition 7.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs quelconques. Le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s’appelle le vecteur somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. On écrit : $$\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$$


2. Addition de vecteurs

Il existe deux méthodes pour construire le vecteur somme $\vec{w}$, résultant de l’enchaînement des deux translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

a) Relation de Chasles

Comme conséquence de cette définition, on a la propriété très importante suivante :

Relation de Chasles. (Enchaînement de vecteurs – mis bout à bout. Fig. 1.)
Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$ du plan, on a : $$\boxed{\;\;\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\;\;}$$

b) Règle du parallélogramme

En utilisant la propriété n°1, nous pouvons écrire autrement cette propriété pour trouver le quatrième sommet d’un parallélogramme.

Règle du parallélogramme. (2 vecteurs de même origineFig. 2.).
Construction du 4ème sommet du parallélogramme :
Quels que soient les points $A$, $B$ et $C$ du plan. Il existe un point $D$ tel que : $$\boxed{\;\; ABDC~\text{est un parallélogramme} \Longleftrightarrow \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\;\;}$$

Fig. 2. Règle du parallélogramme

La règle du parallélogramme découle directement de la relation de Chasles. Il suffit de compléter le parallélogramme à la règle et au compas (ou en comptant les carreaux), pour obtenir le 4ème sommet. En effet :
Si $ABDC$ est un parallélogramme, Alors : $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.

Donc : $\vec{u}+\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$.

Remarque

D’après la règle du parallélogramme, dans une addition, on peut changer l’ordre des vecteurs, la somme ne change pas.

Théorème 3.
On peut changer l’ordre des vecteurs, la somme ne change pas.
Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan : $$\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$$ On dit que l’addition des vecteurs est commutative.

En effet, d’après la figure 2, on a :
$\begin{array}{rl}
\vec{u}+\vec{v} &=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\\
&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}
&=\overrightarrow{AD}\\
&=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}\\
\text{Donc : }~\vec{u}+\vec{v} &=\vec{v}+\vec{u}\\
\end{array}$

D’une manière analogue on démontre le résultat suivant :

Théorème 4.
Dans une addition de plusieurs vecteurs, on peut faire des groupements ou associations de vecteurs, la somme ne change pas.
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ du plan : $$\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}= (\vec{v}+\vec{u})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$$ On dit que l’addition des vecteurs est associative.


3. Soustraction de vecteurs

Définition 8.
Pour soustraire un vecteur on ajoute son opposé. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs quelconques, alors : $$\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$$ Le vecteur $\vec{w}=\vec{u}-\vec{v}$ s’appelle la différence des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

4. Exercice résolu n°1

Exercice résolu n°1.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. Calculer $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$

$\begin{array}{rlll}
\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}
&=\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AC}) &\rightarrow &\text{par définition de la soustraction ;}\\
&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}&\rightarrow &\text{par définition d’un vecteur opposé ;}\\
&=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}&\rightarrow &\text{on peut changer l’ordre des vecteurs ;}\\
&=\overrightarrow{CB}&\rightarrow &\text{d’après la relation de Chasles.}\\
\end{array}$