Pour tout réel $a$, la suite $(\e^{na})$ est une suite géométrique


1. Une suite géométrique particulière

Théorème 1.
Soit $a$ un nombre réel. On définit la suite $(v_n)$ par : $$\boxed{~~v_{n}=e^{na}~~}$$ Alors la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=1$ et de raison $q=\e^a$.

Soit $a$ un nombre réel. On pose $q=e^{a}\in\R^{*+}$.
L’exponentielle est une fonction strictement positive, donc pour tout $x\in\R$ : $\e^x>0$. Donc pour tout $n\in\N$ : $\e^{na}>0$. Donc, pour tout $n\in\N$ : $v_n>0$ et par suite : $v_n\not=0$. On a alors :
$$\begin{array}{rcl} v_{n+1}&=&\e^{(n+1)a}\\
&=&\e^{na+a}\\
&=&\e^{na}\times\e^a\\
v_{n+1}&=&qv_{n}\\ \end{array}$$
Cas particulier : Si $a=0$, pour tout $n\in\N$ : $v_n=\e^0=1$. La suite est constante. C’est une suite géométrique de premier terme $v_0=1$ et de raison $q=1$.

2. Sens de variation et limites quand $n$ tend vers $+\infty$

Théorème 2.
Soient $a$ un nombre réel et $(v_n)$ la suite par : $v_{n}=e^{na}$, pour tout $n\in\N$.
1°) Si $a<0$, la suite $(v_n)$ est strictement décroissante et converge vers $0$. $$\boxed{~~\dlim_{n\to+\infty}v_n=0~~}$$
2°) Si $a>0$, la suite $(v_n)$ est strictement croissante. Elle est divergente et tend vers $+\infty$ $$\boxed{~~\dlim_{n\to+\infty}v_n=+\infty~~}$$
3°) Si $a=0$, la suite $(v_n)$ est constante et pour tout $n\in\N$ : $ v_n=1$. $$\boxed{~~\dlim_{n\to+\infty}v_n=1~~}$$

Pour tout $n\in\N$, on a : $v_{n+1}-v_n=\e^a\times\e^{na}-\e^{na}=\e^{na}(\e^{a}-1)$.
Comme $pour tout $n\in\N$ : $\e^{na}>0$, le signe de $v_{n+1}-v_n$ est le même que celui de $(\e^{a}-1)$. Par conséquent :
1er cas : Si $a<0$, $\e^{a}<1$, donc $(\e^{a}-1)<0$. La suite $(v_n)$ est strictement décroissante.
2ème cas : Si $a>0$, $\e^{a}>1$, donc $(\e^{a}-1)>0$. La suite $(v_n)$ est strictement croissante. CQFD.$\blacktriangle$


3. Limites de $e^x$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$

Théorème 3. admis.
Par comparaison avec les limites des suites $(v_n)$ pour $a=-1$ et $a=1$. On obtient :
$$\begin{array}{c}
\boxed{~~\dlim_{x\to-\infty}\e^x=0~~}\\
\boxed{~~\dlim_{x\to+\infty}\e^x=+\infty~~}\\ \end{array}$$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.