Étude des fonctions exponentielles $\e^{-kx}$ et $\e^{-kx^2}$


Dans plusieurs applications, nous rencontrons des fonctions composées de la forme $\color{brown}{\e^{-kx}}$ ou $\color{brown}{\e^{-kx^2}}$, $k > 0$, notamment en probabilités et statistiques. D’où une étude particulière de ces types de fonctions.

1. Étude de la fonction : $f:x\mapsto\e^{-kx}$, $k>0$

Définition et calcul de la dérivée

La fonction définie par $u(x)=–kx$, $k>0$, est définie et dérivable sur $\R$ et $u’ (x)=-k$.
Donc, la fonction composée $f: x\mapsto \e^{-kx}$ est définie et dérivable sur $D_f=\R$ et a pour dérivée : $$\color{brown}{f'(x) = \left(\e^{-kx}\right)’= -k\e^{-kx}}~~\text{pour tout}~x\in\R$$

Sens de variation

$k>0$, donc $-k<0$. Et comme pour tout $x\in\R$, $\e^{-kx}>0$, cette dérivée est négative pour tout $x\in\R$. Ce qui montre que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$. De plus $f(0) = 1$.

Tableau de variations

D’après ce qui précède, on obtient le tableau de variations : $$\begin{array}{|r|lcl|}\hline
x & -\infty & & +\infty\\ \hline
f'(x) & & – & \\ \hline
& +\infty & & \\
f(x) & &{\LARGE \searrow} & \\
& & &0 \\ \hline
\end{array}$$

Étude des limites vers $-\infty$ et $+\infty$

On sait que $\dlim_{X\to-\infty}\e^X=0$ et $\dlim_{X\to+\infty}\e^X=+\infty$. Donc :
a) Lorsque $x$ tend vers $-\infty$, en posant $X=-kx$, $X$ tend vers $+\infty$. Donc par composition des limites : $$\boxed{~~\dlim_{x\to-\infty}\e^{-kx}=+\infty~~}$$
b) De même, lorsque $x$ tend vers $+\infty$, en posant $X=-kx$, $X$ tend vers $-\infty$. Donc par composition des limites : $$\boxed{~~\dlim_{x\to-\infty}\e^{-kx}=0~~}$$

Courbe représentative $C_f$

Courbes de la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=\e^{-2x}$

Courbes des fonctions définies sur $\R$ par : $f(x)=\e^{-2x}$ et $g(x)=\e^{-x^2}$

2. Étude de la fonction : $g:x\mapsto\e^{-kx^2}$, $k>0$

Définition et calcul de la dérivée

La fonction définie par $u(x)=–kx^2$, $k>0$, est définie et dérivable sur $\R$ et $u’ (x)=-2kx$.
Donc, la fonction composée $g: x\mapsto \e^{-kx^2}$ est définie et dérivable sur $D_f=\R$ et a pour dérivée : $$\color{brown}{g'(x) = \left(\e^{-kx^2}\right)’= -2kx\e^{-kx^2}}~~\text{pour tout}~x\in\R$$

Sens de variation

$k>0$, donc $-k<0$. Et comme pour tout $x\in\R$, $\e^{-kx^2}>0$, cette dérivée est du signe contraire de $x$ pour tout $x\in\R$. Donc : $$\left\{\begin{array}{ll} g'(x)=0 &\text{(ssi)}~~x=0\\
g'(x)>0 &\text{(ssi)}~~x<0\\
g'(x)<0 &\text{(ssi)}~~x>0\\ \end{array}\right.$$
Ce qui montre que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]-\infty;0]$ et strictement décroissante sur $[0;+\infty[$. De plus $g(0) = 1$.

Tableau de variations

D’après ce qui précède, on obtient le tableau de variations : $$\begin{array}{|r|rcccl|}\hline
x &-\infty& & 0 & &+\infty\\ \hline
g'(x) & & + & 0 & – & \\ \hline
& & & 1 & & \\
g(x) & &{\LARGE \nearrow}& &{\LARGE \searrow}& \\
& 0 & & & &0 \\ \hline
\end{array}$$

Étude des limites vers $-\infty$ et $+\infty$

On sait que $\dlim_{X\to-\infty}\e^X=0$ et $\dlim_{X\to+\infty}\e^X=+\infty$. Donc :
a) Lorsque $x$ tend vers $-\infty$, en posant $X=-kx^2$, $X$ tend vers $-\infty$. Donc par composition des limites : $$\boxed{~~\dlim_{x\to-\infty}\e^{-kx^2}=0~~}$$
b) De même, lorsque $x$ tend vers $+\infty$, en posant $X=-kx^2$, $X$ tend vers $+\infty$. Donc par composition des limites : $$\boxed{~~\dlim_{x\to+\infty}\e^{-kx^2}=0~~}$$

Courbe représentative $C_g$

Courbes de la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=\e^{-x^2}$

Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Étudier le sens de variation des deux fonctions suivantes et tracer leur courbes représentatives dans un repère orthonormé.
1°) $f(x)=\e^{-\frac{3x}{2}}$
2°) $f(x)=\e^{-\frac{x^2}{2}}$