Étude de la fonction exponentielle


1. Dérivée et sens de variations

Théorème. 
$\bullet$ La fonction exponentielle est définie et dérivable sur $\R$ et est égale à sa fonction dérivée. Ce qui donne : $$(P_6)\quad\text{ Pour tout }x\in\R :~(\e^x)’=\e^x$$
$\bullet$ La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.

Comme pour tout $x\in\R$, $\e^x>0$ donc, pour tout $x\in\R$ : $(\e^x)’>0$.
La fonction dérivée est strictement positive sur $\R$ donc, la fonction exponentielle est strictement croissante sur tout $\R$. D’où le tableau de variations de la fonction exponentielle :

Première approche pour le calcul des limites

Pour le calcul des limites aux bornes du domaine de définition, on peut déjà faire une comparaison intuitive avec les suites géométriques.
$\bullet~\e\simeq 2,71828\ldots >1$. Donc la suite géométrique $(\e^n)$ tend vers $+\infty$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Donc, par comparaison : $\dlim_{n\to+\infty}\e^n=+\infty$ donc : $$\boxed{\;\;\dlim_{x\to+\infty}\e^x=+\infty\;\;}$$

$\bullet~0<\dfrac{1}{\e}\simeq 0,3678794\ldots <1$, donc $\e^{-n}=\dfrac{1}{\e^n}=\left(\dfrac{1}{\e}\right)^n$. Donc la suite géométrique $\left(\dfrac{1}{\e^n}\right)$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Par comparaison : $\dlim_{n\to+\infty}\e^{-n}=0$ donc : $$\boxed{\;\;\dlim_{x\to-\infty}\e^x=0\;\;}$$

Nous verrons ci-dessous les démonstrations plus rigoureuses de ces limites.

Équation de la droite tangente à la courbe en $0$

Pour déterminer l’équation de la droite tangente à la courbe en $0$, on calcule :
$$\exp(0) =\e^0=1~\text{ et }~\exp'(0)=\e^0=1$$
Alors, par définition, l’équation de la droite tangente $T_0$ est : $y=f’(0)(x-0)+f(0)$. Ce qui donne : $y=1(x–0)+1$. Donc $y=x+1$.
Par conséquent, l’équation de la droite $T_0$, tangente à la courbe en $0$, est :
$$T_0~:~~y=x+1$$

Illustration graphique

Fig. 1. $T_0$ tangente à la courbe $C_{\exp}$ en $0$.

2. Dérivée d’une fonction composée $x\mapsto\e^{u(x)}$

Théorème.
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Alors, la fonction $x\mapsto \e^{u(x)}$ est définie et dérivable sur $\R$et on a : $$(P_7)\quad\text{Pour tout}~x\in\R :~\left(\e^{u(x)}\right)’=u’(x)\times\e^{u(x)}$$


3. Conséquences : Résolution d’équations et d’inéquations

Propriétés.
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\R$, donc pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a l’équivalence : $$(P_8)\quad \e^a=\e^b~\text{si, et seulement si,}~a=b$$
2°) La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$, donc pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a l’équivalence : $$(P_9)\quad a<b~\text{si, et seulement si,}~\e^a<\e^b$$
3°) En regroupant les deux propriétés précédentes, on obtient : $$(P_{9bis})\quad a\leqslant b~\text{si, et seulement si,}~\e^a\leqslant \e^b$$

1°) ($\Rightarrow$) La fonction exp étant continue et strictement croissante sur $\R$ et prend ses valeurs dans $]0;+\infty[$, donc tout nombre réel strictement positif admet exactement un seul antécédent dans $\R$.
Par conséquent, si $X=\e^a$ et $X=\e^b$, alors $X$ admet deux antécédents. Donc ces deux antécédents sont égaux, donc $a= b$.

($\Leftarrow$) Si $a=b$, alors $\e^a=\e^b$ car $\exp$ est une fonction de $\R$ dans $]0;+\infty[$, donc tout nombre réel admet une seule image.

2°) Propriété immédiate, car la fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\R$. CQFD.


Remarque.
Ces propriétés servent à résoudre des équations et des inéquations.

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Résoudre l’équation ($E_1$) : $\e^{2x+1}=1$.

1er réflexe. Pour la résolution d’une équation, commencer par chercher le domaine de définition de l’équation.
Ici, il n’ y a pas de valeurs interdites pour l’équation ($E_1$). Donc le domaine de définition de l’équation (1) est $$D_{E_1}=\R$$
Pour tout $\in\R$, On a alors :
$\e^{2x+1}=1$ équivaut à $\e^{2x+1}=\e^0$ équivaut à $2x+1=0$ équivaut à $x=-\dfrac{1}{2}$.
Conclusion. Cette équation admet une seule solution. Donc : $$S=\left\{-\dfrac{1}{2} \right\}$$


Exercice résolu n°2.
Résoudre l’inéquation ($E_2$) : $\e^{x^2+2x}\leqslant\e^3$.

1er réflexe. Pour la résolution d’une inéquation : chercher le domaine de définition de l’équation.
Ici, il n’ y a pas de valeurs interdites pour l’équation ($E_2$). Donc le domaine de définition de l’inéquation ($E_2$) est $$D_{E_2}=\R$$
Pour tout $\in\R$, On a alors :
$\e^{x^2+2x}\leqslant\e^3$ équivaut à $x^2+2x\leqslant3$ équivaut à $x^2+2x-3\leqslant0$.
Or un trinôme du second degré est du signe de « $a$ » à l’extérieur des racines. Donc
$x^2+2x-3\leqslant0$ équivaut à $-3\leqslant x\leqslant 1$.

Conclusion. L’ensemble des solutions de cette inéquation est : $$S=\left[-3;1\right]$$