Limites de la fonction exponentielle. Limites de croissance comparée. Taux d’accroissement


1. Limites graphiques

Ce sont les limites de la fonction aux bords de son domaine de définition et qu’on peut « lire directement » sur le graphique.

Théorème 1.
$$\begin{array}{rl}
(L_1) : & \boxed{\;\dlim_{x\to+\infty}\e^x= +\infty\;}\\
(L_2) : & \boxed{\;\dlim_{x\to-\infty}\e^x=0\;}\\
\end{array}$$

ROC = « Restitution organisée des connaissances ».

1°) $(L_1)$ Limite en $+\infty$.
Nous allons utiliser le théorème de comparaison et procédons encore en deux étapes :
$i)$ Montrer que : pour tout $x\in\R$ : $\e^x>x$ ; autrement dit, $\e^x-x>0$.
$ii)$ En déduire la limite cherchée, par le théorème de comparaison.
Pour cela, nous allons utiliser une fonction auxiliaire. [Méthode très classique].

$i)$ 1ère étape. Montrons que : pour tout $x\in\R$ : $\e^x>x$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=\e^x-x$ pour tout $x\in\R$.
La fonction $g$ est définie et dérivable sur $\R$ et pour tout $x\in\R$ : $g’(x)=\e^x-1$. De plus :
$g’(x)=0\Leftrightarrow \e^x-1=0\Leftrightarrow \e^x=1 \Leftrightarrow x=0$,
car la fonction $\exp$ est continue et strictement croissante sur $\R$, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, $1$ ne peut avoir qu’un seul antécédent $0$.
D’autre part, la fonction $\exp$ étant strictement croissante, on a :
$g’(x)\geqslant 0\Leftrightarrow \e^x-1\geqslant 0\Leftrightarrow \e^x\geqslant 1 \Leftrightarrow x\geqslant 0$.
Par suite $g’(x)<0\Leftrightarrow x<0$. La fonction $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0 ;+\infty[$. On obtient alors le tableau de variations suivant :

D’après ce tableau de variations, $g$ admet un minimum égal à $1$. Donc, pour tout $x\in\R$ : $g(x)\geqslant 1$.
On peut donc affirmer que : pour tout $x\in\R$ : $g(x)>0$. Ce qui donne : $\e^x-x>0$.
Conclusion 1. Pour tout $x\in\R$ : $\e^x>x$.

$ii)$ 2ème étape. On sait que $\dlim_{x\to+\infty}x= +\infty$ et pour tout $x\in\R$ : $\e^x>x$, d’après l’inégalité ci-dessus. Donc, en appliquant le théorème de comparaison, on obtient : $(L_1)$ : $\dlim_{x\to+\infty}\e^x= +\infty$. CQFD. $\blacktriangle$

2°) $(L_2)$ Limite en $-\infty$
Il suffit de remarquer que pour tout $x\in\R$ : $\e^x=\dfrac{1}{\e^{-x}}$ et utiliser le résultat précédent.
Nous allons effectuer un changement de variable. On pose : $X=-x$, donc $x=-X$.
On a, d’une part : $x\to-\infty\Rightarrow X\to+\infty$. Et d’autre part, $\e^x=\dfrac{1}{\e^{-x}}=\dfrac{1}{\e^{X}}$.
On a alors : $\dlim_{x\to-\infty}X= +\infty$ et $\dlim_{X\to+\infty}\e^X= +\infty$, donc par composition des limites, on a : $$\dlim_{x\to-\infty}\e^x=0$$ CQFD. $\blacktriangle$


2. Limites de croissance comparée

Ce sont les limites qui permettent de « comparer » la fonction exponentielle aux fonctions puissances, en particulier, à la fonction $x\mapsto y=x$ ; et lever certaines indéterminations [ce qui est toujours le cas dans les exercices].

Théorème 2.
La fonction exponentielle croît plus vite que toutes les fonctions puissances aussi bien en $-\infty$ qu’en $+\infty$. La fonction exponentielle est une « fonction à croissance rapide ».
$$\begin{array}{rl}
(L_{3a}) : & \boxed{\;\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x}= +\infty\;}\\
(L_{3b}) : & \boxed{\;\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x^n}= +\infty~\text{pour tout}~n\geqslant1\;}\\
(L_{4a}) : & \boxed{\;\dlim_{x\to-\infty}x\e^x=0\;}\\
(L_{4b}) : & \boxed{\;\dlim_{x\to-\infty}x^n\e^x=0~\text{pour tout}~n\geqslant1\;}\\
\end{array}$$

Traçons les deux courbes de $y=\e^x$ et $y= x$, dans un repère « assez grand ». $I=[0;100]$.
La fonction $\exp$ croît très vite, et plus rapidement vers $+\infty$ que la fonction $y=x$.

Fig. 1. Croissance comparée entre $y=\exp(x)$ et $y=x$.

1°) $(L_3)$ Limite en $+\infty$.
Là encore, nous allons utiliser le théorème de comparaison et procédons encore en deux étapes :
$i)$ Montrer que : pour tout $x>0$, $\dfrac{\e^x}{x}>\dfrac{x}{2}$ ; autrement dit :$\e^x>\dfrac{x^2}{2}$, ou encore $\e^x-\dfrac{x^2}{2}>0$.
$ii)$ En déduire la limite cherchée, par le théorème de comparaison.
Pour cela, nous allons utiliser une fonction auxiliaire.

$i)$ 1ère étape : Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=\e^x-\dfrac{x^2}{2}$ pour tout $x\in\R$.
La fonction $g$ est définie et dérivable sur $\R$ et pour tout $x\in\R$ : $g’(x)=\e^x-x$.
Pour connaître le signe de $g’$, on refait le même procédé. On calcule sa dérivée $(g’)’= g”$. $${g’}’(x)=\e^x-1$. De plus :
$g’’(x)>0\Leftrightarrow \e^x-1>0\Leftrightarrow \e^x>1 \Leftrightarrow x>0$.
Comme la fonction $g”$ est positive sur $]0;+\infty[$, on peut en déduire que la fonction $g’$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$. De plus $g'(0)=1$. On obtient alors le tableau de variations suivant de $g’$ :

D’après ce tableau de variations, $g’$ a un minimum égal à $1$, et pour tout $x>0$ : $g’(x)\geqslant1$.
Ce qui nous permet d’affirmer que : pour tout $x>0$ : $g’(x)>0$. On peut donc en déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$. De plus $g(0) = 1$. On obtient alors le tableau de variations suivant de la fonction $g$ :

D’après ce tableau de variations, la fonction $g$ admet un minimum égal à $1$, et pour tout$x>0$ : $g(x)\geqslant 1$. Ce qui nous permet d’affirmer que pour tout $x>0$ : $g(x)>0$.
Conclusion 1. Pour tout $x>0$ : $\e^x-\dfrac{x^2}{2}>0$ ou encore : $\e^x>\dfrac{x^2}{2}$.

2ème étape : On sait que : $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{2}= +\infty$ et pour tout $x>0$ : $\e^x>\dfrac{x^2}{2}$ d’après l’inégalité ci-dessus. Donc, en appliquant le théorème de comparaison, on obtient : $$\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x}= +\infty$$
CQFD. $\blacktriangle$

$(L_4)$ Limite en $-\infty$
Il suffit de remarquer que pour tout $x\in\R$ : $\e^x=\dfrac{1}{\e^{-x}}$ et utiliser le résultat précédent.
On effectue un changement de variable. On pose $X=-x$, donc $x=-X$. On a, d’une part : $x\to-\infty\Leftrightarrow X\to+\infty$. Et d’autre part : $$x\e^x=-(-x)\times\dfrac{1}{\e^{-x}}=-\dfrac{X}{\e^{X}} = \dfrac{-1}{\left(\dfrac{\e^X}{X}\right)}$$
On a alors : $\dlim_{x\to-\infty}X= +\infty$ et $\dlim_{X\to+\infty}\dfrac{\e^X}{X}= +\infty$, donc par composition des limites, on obtient : $$\dlim_{x\to-\infty}x\e^x= 0$$
CQFD. $\blacktriangle$


3. Lien entre limites et nombre dérivé. Taux d’accroissement

Nous avons vu en classe de 1ère, deux manières qui utilisent la limite du taux d’accroissement d’une fonction $f$ pour calculer son nombre dérivé en un point d’abscisse $a$.

Propriété. (Rappel) Taux d’accroissement et nombre dérivé.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $a\in I$.
$f$ est dérivable en $a$ si, et seulement si, les limites suivantes existent et sont finies et égales à un nombre réel noté $f'(a)$ : $$\begin{array}{rc}
&\boxed{\;\;\dlim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\;\;}\\
\text{et} &\boxed{\;\;\dlim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\;\;}\\
\end{array}$$

Dans le cas présent, le calcul de la limite suivante « ressemble » revient à calculer la limite du taux d’accroissement de la fonction exponentielle en $0$. Ce qui reviendrait à calculer la valeur de la fonction dérivée en $0$. On trouve d’autres exemples avec : $\dlim_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\cos x -1}{x}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}$,$\ldots$
La méthode est exactement la même.

Théorème 3. $$(L_5) : \boxed{\;\dlim_{x\to0}\dfrac{\e^x-1}{x}= 1\;}$$

$(L_5)$ Limite en $0$.
Pour cette limite, la fonction auxiliaire utilisée sera la fonction exponentielle elle même. Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par : $h(x)=\e^x$ pour tout $x\in\R$.
La fonction $h$ est définie et dérivable sur $\R$ et pour tout $x\in\R$ : $h’(x)=h(x)=\e^x$.
Le taux d’accroissement de $h$ en $0$ est donné par : $$\dfrac{h(x)-h(0)}{x-0}=\dfrac{\e^x-1}{x}$$
Or, la limite lorsque $x$ tend vers $0$, du taux d’accroissement de $h$ en $0$ est égale au nombre dérivé de $h$ en $0$. Donc :
$\dlim_{x\to0}\dfrac{h(x)-h(0)}{x-0}=h’(0)=\e^0=1$. Donc :
$$\dlim_{x\to0}\dfrac{\e^x-1}{x}=1$$ CQFD.


4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.

Calculer $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x+1}$.

Un calcul direct donne une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$. Il faut donc transformer l’expression pour lever l’indétermination. Pour tout $x>0$, on a :
$\dfrac{\e^x}{x+1}=\dfrac{\e^x\times1}{x\times\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}
=\dfrac{\e^x}{x}\times \dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}$.
Or d’après le cours sur les limtes de croissance comparée, on a : $\left\{\begin{array}{rl}
&\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x}=+\infty\\
\text{et}&\dlim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=1\\
\end{array}\right.$
Donc, par produit et quotient des limites, on a :
$$\dlim_{x\to+\infty} \dfrac{\e^x}{x} \times \dfrac{1}{\left(1+\dfrac{1}{x}\right)} =+\infty$$
Conclusion.
$\boxed{\;\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x+1}\;}$. CQFD. $\blacktriangle$


Exercice résolu n°2.
1°) Démontrer que $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x^2}=+\infty$.
2°) En déduire une méthode pour démontrer que : $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x^n}=+\infty$
pour tout entier $n\geqslant0$.