La fonction exponentielle


1. La fonction exponentielle : $x\mapsto \exp(x) =\e^x$

Théorème1 et définition.
Il existe une unique fonction $f$ définie et dérivable suret telle que $f’$ = $f$ et $f(0) = 1$.
Cette fonction s’appelle « LA » fonction exponentielle et se note $\exp$.

L’existence de la fonction exponentielle est admise.
Montrons que cette fonction exponentielle est unique.

Supposons donc qu’il existe deux fonctions $f$ et $g$ satisfaisant les conditions du théorème. C’est-à-dire $f$ et g sont définies et dérivables sur $\R$ et telles que $f’ = f$ ; $f(0) =1$ et $g’ = g$ ; $g(0) = 1$.
Montrons que $f= g$.

Nous allons faire cette démonstration en deux étapes.
1ère étape. Montrons d’abord que : pour tout $x\in\R$: $g(x)\not=0$.
On utilise une fonction auxiliaire.
Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par : $h(x)=g(x)\times g(-x)$ pour tout $x\in\R$.
Les fonctions $g$ et $u: x\mapsto u(x) = –x$ étant dérivables, la fonction $h$ est dérivable comme composée de fonctions définies et dérivables sur $\R$ et pour tout $x\in\R$ on a : $$h’(x)=g(x)’\times g(-x)+g(x)\times(-1) g’(-x)$$
Or, par hypothèse $g’=g$, donc : $h’(x)=g(x)\times g(-x)-g(x)\times g(-x)$, donc $h’(x)=0$ pour tout $x\in\R$. Ce qui montre que la fonction $h$ est constante.
Par conséquent, pour tout $x\in\R$: $h(x)=h(0)=g(0)\times g(-0)=1$.
Ce qui prouve que : pour tout $x\in\R$: $g(x) g(– x) = 1~$(*).
Ceci suffit à démontrer que pour tout $x\in\R$: $g(x)\not=0$ ; car s’il existe un un réel $x_0$ tel que $g(x_0) = 0$, alors le produit $g(x_0) g(– x_0) = 0$. Ce qui est absurde, puisque cela contredit le résultat (*).
Conclusion 1. pour tout $x\in\R$ : $g(x)\not=0$.
Cette démonstration prouve également que pour tout $x\in\R$ : $f(x)\not=0$.

2ème étape. Montrons que la fonction $\dfrac{f}{g}$ est constante.
On utilise encore une fonction auxiliaire. La fonction $k : x\mapsto\dfrac{f(x)}{g(x)}$ est composée de fonctions définies et dérivables sur $\R$et pour tout $x\in\R$, $g(x)\not=0$ (le dénominateur ne s’annule pas). Donc, la fonction quotient $k$ est définie et dérivable sur $\R$ et pour tout $x\in\R$ on a : $$k’(x) =\dfrac{f’(x)g(x)-f(x)g’(x)}{\left(g(x)\right)^2}$$
Or, par hypothèse, on sait que : $f’ = f$ et $g’ = g$. Par suite, pour tout $x\in\R$ on a : $$k’(x) =\dfrac{f(x)g(x)-f(x)g(x)}{\left(g(x)\right)^2}$$
Ce qui prouve la fonction $k$ est constante sur $\R$. Donc il existe un réel $C$ tel que, pour tout $x\in\R$ : $k(x)=C$.
Mais on sait aussi, par hypothèse, que $f(0)=1$ et $g(0)=1$. Donc, pour tout $x\in\R$ on a : $k(0)=\dfrac{f(0)}{g(0)}=1$. Donc la constante $C = 1$.

Conclusion 2. Pour tout $x\in\R$ : $f(x)=g(x=$. Donc : $f= g$.

Conclusion. La fonction exponentielle est unique. $\blacktriangle$


2. Propriétés de la fonction exponentielle

Théorème : Relation fonctionnelle.
1°) La fonction $\exp$ est strictement positive. Pour tout $x\in\R$ : $\exp(x)>0$.
2°) La fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\R$.
3°) La fonction $\exp$ satisfait la relation fonctionnelle, « elle transforme une somme en un produit » ; c’est-à-dire que, pour tous nombres réels $x$ et $y$, on a : $$\boxed{\;\;\exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)\quad(*) \;\;}$$

Définition 1.
La relation (*) s’appelle la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle.
Cette propriété permet de démontrer toutes les autres propriétés de la fonction $\exp$.

1°) Montrons que la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$
La fonction exponentielle étant définie et continue sur $\R$ et pour tout $x\in\R$ : $\exp(x)\not=0$, elle garde un signe constant sur $\R$. Donc, elle est positive sur $\R$, puisque $\exp(0) =1>0$.

On fait un raisonnement par l’absurde.
En effet, supposons qu’il existe un $x_0\in\R$ tel que $\exp(x_0)<0$. Mais alors, en appliquant le théorème des valeurs intermédiaires sur $[x_0;0]$ (ou sur $[0;x_0]$), on démontre qu’il existe un réel $c$ dans $]x_0;0[$ (ou dans $]0;x_0[$), tel que $\exp(c) = 0$.
Ce qui est absurde. D’où le résultat.

2°) Montrons que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$
On sait que la fonction exponentielle est dérivable sur $\R$et pour tout $x\in\R$ : $\exp’(x)=\exp(x)>0$. La dérivée est strictement positive sur $\R$ donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$. D’où le résultat.

3°) Montrons que La fonction $\exp$ satisfait la relation fonctionnelle.
On utilise encore une fois une fonction auxiliaire. Pour tout nombre réel fixé $y$, on définit une fonction $g$ sur $\R$ par : $x\mapsto g(x)=\exp(x+y)\times\exp(-x)$.
La fonction $g$ est composée de fonctions définies et dérivables sur $\R$, donc $g$ est dérivable sur $\R$ et pour tout $x\in\R$ : $$g’(x)=\exp’(x+y)\times\exp(-x)+\exp(x+y)\times(-1)\exp(-x)$$
Par définition de la fonction exponentielle, on sait que $\exp’ = \exp$. Donc, après simplification, on a : $$g’(x)=\exp(x+y)\exp(-x)-\exp(x+y)\exp(-x)$$
Ainsi, $g’(x)=0$ pour tout $x\in\R$.
Par conséquent, la fonction $g$ est constante sur $\R$et pour tout $x\in\R$, $g(x)=g(0)$. Ce qui donne : $g(x)=g(0)=\exp(y)\times\exp(0)=\exp(y)$.
Par suite, on a pour tout $x\in\R$ : $g(x)=\exp(y)$.

Ce qui donne pour tout $x\in\R$ : $$\exp(x+y)\times\exp(-x)=g(x)=\exp(y)\quad(1)$$
En particulier pour $y=0$, on obtient :
Et puisque $\exp(x)\not=0$, on obtient pour tout $x\in\R$ :
$$\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}\quad(2)$$
En réinjectant l’égalité (2) dans (1), on obtient :
$$\begin{array}{lc}
\exp(x+y)\times\dfrac{1}{\exp(x)}=\exp(y)\\
\text{ou encore}&\exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)\\
\end{array}$$
Conclusion. Pour tous $x,y\in\R$ : $\boxed{\;\; \exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)\;\;}$. \blacktriangle$


3. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Propriétés calculatoires.
pour tous $x,y\in\R$ et tout entier $n\in\N$ :
$(P_0) : \quad \exp(x)>0$ ;
$(P_1) : \quad \exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)$ ; 
$(P_2) : \quad \exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}$ ;
$(P_3) : \quad \exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$ ;
$(P_4) : \quad \left(\exp(x)\right)^n=\exp(nx)$ ;
$(P_5) : \quad \left(\exp(x)\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\exp(x)}=\exp\left(\dfrac{x}{2}\right)$.

Les démonstrations sont assez faciles en utilisant la relation fonctionnelle et les propriétés déjà démontrées. Voir cahier d’exercices.


4. La notation $\e^x$

La fonction exponentielle possède exactement les mêmes propriétés algébriques que les fonctions puissances (vues en 4ème). De plus, l’image de $1$ par la fonction exponentielle se note $e = exp(1)\simeq 2,71828\ldots$. Désormais, la fonction exponentielle sera notée :
$$\boxed{\;\;\exp(x) = \e^x~\text{pour tout}~x\in\R\;\;}$$

Le nombre $\e$ (comme le nombre $\pi$) est un nombre réel irrationnel qui admet une écriture illimitée et désordonnée$\ldots$


5. Prpriétés algébriques avec la notation $\e^x$

Propriétés calculatoires.
pour tous $x,y\in\R$ et tout $n\in\N$
$(P_0) : \quad \e^x>0$ ;
$(P_1) : \quad \e^{x+y}=\e^x\times\e^y$ ; 
$(P_2) : \quad \e^{-x}=\dfrac{1}{\e^x}$ ;
$(P_3) : \quad \e^{x-y}=\dfrac{\e^x}{\e^y}$ ;
$(P_4) : \quad \left(\e^x\right)^n=\e^{nx}$ ;
$(P_5) : \quad \left(\e^x\right)^\frac{1}{2}=\sqrt{\e^x}=\e^{\frac{x}{2}}$ ;

Un cas particulier de la propriété ($P_5$) peut s’écrire encore (pour $x=1$) : $$\boxed{\;\;\sqrt{\e}=\e^{\frac{1}{2}}\;\;}$$

6. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
A la calculatrice,
1°) Calculer $\e^{2,3}$ ; $\e^{-1,3}$ et $\e$.
2°) Donner une valeur approchée de $A=\dfrac{\e+1}{\sqrt{\e}}$.

Corrigé.
A la calculatrice, on utilise la touche [ $\e^x$ ], ou la combinaison de touches
[2nde] [ln] sur Numworks, T.I. et Casio, on obtient :
$\e^{2,3}= 9,97418\ldots$ ;
$\e^{-1,3}= 0,27253\ldots$ ;
et $\e = \e^1= 2,718281828459\ldots$.

On obtient le nombre $\e$, en utilisant la touche [$\e^x$] avec $x=1$ ou, pour certaines calculatrices, $\e$ s’obtient directement par une combinaison de touches [2nde] [ $\div$ ].
Calcul une valeur approchée de $A=\dfrac{\e+1}{\sqrt{\e}}$.
$A=$ ([2nde][$\div$]+1)[$\div$]([2nde][$X^2$][2nde][$\div$]).
On obtient $A\simeq 2,25525193\ldots$


Exercice résolu n°2.