La fonction exponentielle
1. La fonction exponentielle : $x\mapsto \exp(x) =\e^x$
Théorème1 et définition.
Il existe une unique fonction $f$ définie et dérivable suret telle que $f’$ = $f$ et $f(0) = 1$.
Cette fonction s’appelle « LA » fonction exponentielle et se note $\exp$.
2. Propriétés de la fonction exponentielle
Théorème : Relation fonctionnelle.
1°) La fonction $\exp$ est strictement positive. Pour tout $x\in\R$ : $\exp(x)>0$.
2°) La fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\R$.
3°) La fonction $\exp$ satisfait la relation fonctionnelle, « elle transforme une somme en un produit » ; c’est-à-dire que, pour tous nombres réels $x$ et $y$, on a : $$\boxed{\;\;\exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)\quad(*) \;\;}$$
Définition 1.
La relation (*) s’appelle la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle.
Cette propriété permet de démontrer toutes les autres propriétés de la fonction $\exp$.
3. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Propriétés calculatoires.
pour tous $x,y\in\R$ et tout entier $n\in\N$ :
$(P_0) : \quad \exp(x)>0$ ;
$(P_1) : \quad \exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)$ ;
$(P_2) : \quad \exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}$ ;
$(P_3) : \quad \exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$ ;
$(P_4) : \quad \left(\exp(x)\right)^n=\exp(nx)$ ;
$(P_5) : \quad \left(\exp(x)\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\exp(x)}=\exp\left(\dfrac{x}{2}\right)$.
Les démonstrations sont assez faciles en utilisant la relation fonctionnelle et les propriétés déjà démontrées. Voir cahier d’exercices.
4. La notation $\e^x$
La fonction exponentielle possède exactement les mêmes propriétés algébriques que les fonctions puissances (vues en 4ème). De plus, l’image de $1$ par la fonction exponentielle se note $e = exp(1)\simeq 2,71828\ldots$. Désormais, la fonction exponentielle sera notée :
$$\boxed{\;\;\exp(x) = \e^x~\text{pour tout}~x\in\R\;\;}$$
Le nombre $\e$ (comme le nombre $\pi$) est un nombre réel irrationnel qui admet une écriture illimitée et désordonnée$\ldots$
5. Prpriétés algébriques avec la notation $\e^x$
Propriétés calculatoires.
pour tous $x,y\in\R$ et tout $n\in\N$
$(P_0) : \quad \e^x>0$ ;
$(P_1) : \quad \e^{x+y}=\e^x\times\e^y$ ;
$(P_2) : \quad \e^{-x}=\dfrac{1}{\e^x}$ ;
$(P_3) : \quad \e^{x-y}=\dfrac{\e^x}{\e^y}$ ;
$(P_4) : \quad \left(\e^x\right)^n=\e^{nx}$ ;
$(P_5) : \quad \left(\e^x\right)^\frac{1}{2}=\sqrt{\e^x}=\e^{\frac{x}{2}}$ ;
Un cas particulier de la propriété ($P_5$) peut s’écrire encore (pour $x=1$) : $$\boxed{\;\;\sqrt{\e}=\e^{\frac{1}{2}}\;\;}$$
6. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
A la calculatrice,
1°) Calculer $\e^{2,3}$ ; $\e^{-1,3}$ et $\e$.
2°) Donner une valeur approchée de $A=\dfrac{\e+1}{\sqrt{\e}}$.
Exercice résolu n°2.
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