Des suites géométriques aux fonctions exponentielles


1. Activité préparatoire

On considère la suite géométrique définie pour tout entier $n$ par $v_n= 1,5^n$.
A l’aide d’un tableur, nous pouvons représenter le nuage de points de cette suite.

En utilisant les propriétés de la classe de 4ème, nous pouvons aussi calculer les valeurs de « $1,5^n$ » pour des valeurs négatives de $n$, en utilisant la propriété : $q^{-n}=\dfrac{1}{q^n}$.
Donc, on peut étendre ces valeurs pour des exposants négatifs.

Si on relie tous ces points par des segments, on obtient une ligne brisée, donc une courbe d’une fonction continue mais non dérivable.

Par contre, si on relie tous ces points par une ligne continue et parfaitement lisse et arrondie, on obtient la courbe d’une fonction définie, continue et dérivable sur $\R$.

Ceci permet de définir une nouvelle fonction $f: x\mapsto f(x)= q^x$. Dans cette fonction, définie sur tout $\R$, la variable est située dans l’exposant. On aurait pu l’appeler « fonction exposantielle », mais comme en anglais un exposant se dit « exponent », les fonctions du type $f:x\mapsto f(x)= q^x$, $q>0$ et $q\not=1$, s’appellent des « fonctions exponentielles ». Nous distinguerons deux cas, comme pour les suites géométriques :

  • Si $q>1$, la fonction $f:x\mapsto f(x)= q^x$ sera strictement croissante sur (tout) $\R$.
  • Si $0<q<1$, la fonction $f:x\mapsto f(x)=q^x$ sera strictement décroissante sur (tout) $\R$.

Ces fonctions conservent les mêmes propriétés calculatoires que les « puissances » vues en classe de 4ème. Entre autres : $q^{x+y}=q^x\times q^x$. Ce qui nous facilite la tâche.


2. Fonctions exponentielles : $x\mapsto q^x$

Propriété et Définition.
Soit $q$ un nombre réel strictement positif, $q\not=0$. Il existe une unique fonction $f$ définie sur (tout) $\R$ et qui vérifie les trois conditions suivantes :
$\bullet$ La courbe représentative de $f$ prolonge de façon continue (d’un seul trait) le nuage de points de la suite géométrique $(q^n)$ ;
$\bullet$ La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ (sa courbe est parfaitement lisse et bien arrondie) ;
$\bullet$ La fonction $f$ satisfait la relation fonctionnelle, c’est-à-dire « $f$ transforme une somme en un produit » ; c’est-à-dire que, pour tous nombres réels $x$ et $y$, on a : $$\boxed{\;\;f(x+y)=f(x)\times f(y)\;\;}$$
La fonction $f$ s’appelle « la fonction exponentielle de base $q = f(1)$ ».


3. Prpriétés calculatoires

Propriétés (recopiées sur les puissances)
Soit $q$ un nombre réel strictement positif. Alors, pour tous $x\in\R$ et tout $n\in\N$ :
$(P_0) :\quad q^x>0$
$(P_1) :\quad q^{x+y}=q^x\times q^x$
$(P_2) :\quad q^{-x}=\dfrac{1}{q^x}$
$(P_3) :\quad q^{x-y}=\dfrac{q^x}{q^y}$
$(P_4) :\quad \left(q^x\right)^n=q^{nx}$
$(P_5) :\quad \left(q^x\right)^\frac{1}{2}=\sqrt{q^x}=q^{\frac{x}{2}}$
Un cas particulier de la propriété $(P_5)$ peut s’écrire encore (pour $x=1$) : $(P_{5bis}) :\quad\text{pour tout }q>0 :~ q^{\frac{1}{2}}=\sqrt{q}$


3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Calculer à la calculatrice les nombres suivants.
$1,7^{2,3}$ ; $1,7^{-2,3}$ et $2^{\pi}$.

1°) Pour calculer à la calculatrice, on utilise la touche [ ^ ] :
$1,7^{2,3}$ = 1,7 [ ^ ] 2,3 [EXE] $= 3,3887\ldots$ ;
$1,7^{-2,3}$ = 1,7 [ ^ ] -2,3 [EXE] $= 0,295099\ldots$ ;
$2^{\pi}$ = 2 [ ^ ] $\pi$ [EXE] $=8,82498\ldots$

Exercice résolu n°2.
Écrire avec sous la forme $q^x$ les nombres suivants :
$a=\dfrac{2^{3,5}\times2^{-4}}{4^{-2,5}}$ et $b=\sqrt{3}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2,7}\times 3^{1,3}$.

Écrire sous la forme $q^x$ :
$\begin{array}{rl}
a&=\dfrac{2^{3,5}\times2^{-4}}{4^{-2,5}}\\
&=\dfrac{2^{3,5-4}}{(2^2)^{-2,5}} \\
&=\dfrac{2^{-0,5}}{2^{-5}}=2^{-0,5+5}\\
\end{array}$.
Conclusion. $\boxed{\;\;a=2^{4,5}\;\;}$

Écrire sous la forme $q^x$ :
$b=3^{0,5}\times3^{-2,7}\times3^{1,3}=3^{0,5-2,7+1,3}$.
D’où : $b=3^{-0,9}$.
Conclusion. $\boxed{\;\;b=3^{-0,9}\;\;}$


4. Sens de variation

Propriétés.
Soit $q$ un nombre réel strictement positif. Alors, la fonction $f: x \mapsto q^x$, admet le même sens de variation que la suite géométrique $(q^n)$ :
1°) Si $q>1$, alors $f$ est strictement croissante sur $\R$ ;
2°) Si 0 < q < 1, alors $f$ est strictement décroissante sur $\R$ ;
3°) Si $q =1$, alors $f$ est constante et égale à $1$ sur $\R$.

On obtient les courbes suivantes :

Par lecture graphique, nous pouvons déduire les propriétés suivantes :

Conséquences.
1°) Soit q un nombre réel strictement positif et différent de 1. Alors, pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a l’équivalence : $$(P_6)\quad\boxed{\;\ ;q^a= q^b~\text{si et seulement si,}~a=b\;\;}$$
2°) Si $q>1$, alors, la fonction $f: x\mapsto q^x$ est strictement croissante. Donc, pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a : $$(P_7)\quad\boxed{\;\ ;a<b~\text{si et seulement si,}~q^a< q^b\;\;}$$
3°) Si $0<q<1$, alors, la fonction $f: x\mapsto q^x$ est strictement décroissante. Donc, pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a : $$(P_{7bis})\quad\boxed{\;\ ;a<b~\text{si et seulement si,}~q^a> q^b\;\;}$$

Ces propriétés nous permettent de résoudre des équations et des inéquations.

Exemples

Exercice résolu n°3.
Résoudre l’équation ($E$) : $2^{3x+2}-1=0$.

Résolution de l’équation ($E$)
Cette équation peut s’écrire : $2^{3x+2}=1$ ou encore : $2^{3x+2}=2^0$.
Or, on sait que [$q^a=q^b$ si et seulement si $a=b$] d’après la propriété $P_6$. Donc $2^{3x+2}=2^0$ est équivalente à $3x+2=0$. Donc $x=-\dfrac{2}{3}$.
Conclusion. Cette équation admet une seule solution et on a : $$\boxed{\;\;S=\left\{ -\dfrac{2}{3}\right\}\;\;}$$


Exercice résolu n°4.
Résoudre l’inéquation ($E’$) : $2^{3x+2}-1\geqslant 0$.

Résolution de l’inéquation ($E’$)
Cette inéquation peut s’écrire : $2^{3x+2}\geqslant 1$ ou encore : $2^{3x+2}\geqslant 2^0$. Or, pour q = 2, la fonction $f : x\mapsto 2^x$ est strictement croissante.
Donc, d’après la propriété $P_7$, on sait que [$q^a\geqslant q^b$ si et seulement si $a\geqslant b$] . Donc $2^{3x+2}\geqslant 2^0$ est équivalente à $3x+2\geqslant 0$. Donc $x\geqslant -\dfrac{2}{3}$.
Conclusion. Cette inéquation admet pour ensemble solution : $$\boxed{\;\;S=\left[ -\dfrac{2}{3};+\infty\right[\;\;}$$


Remarque

Parmi toutes ces fonctions exponentielles, il en existe une seule dont la dérivée en $0$ est égale à $1$. On l’appelle LA fonction exponentielle. Sa base est e = $f(1)\simeq 2,71828\ldots$.

C’est ce qu’on va découvrir au paragraphe suivant.

5. Exercices résolus

Exercice résolu n°5.