1. Limites graphiques
Ce sont les limites de la fonction aux bords de son domaine de définition et qu’on peut « lire directement » sur le graphique.
Théorème 1.
$$\begin{array}{rl}
(L_1) : & \boxed{\;\dlim_{x\to+\infty}\e^x= +\infty\;}\\
(L_2) : & \boxed{\;\dlim_{x\to-\infty}\e^x=0\;}\\
\end{array}$$
ROC = « Restitution organisée des connaissances ».
1°) $(L_1)$ Limite en $+\infty$.
Nous allons utiliser le théorème de comparaison et procédons encore en deux étapes :
$i)$ Montrer que : pour tout $x\in\R$ : $\e^x>x$ ; autrement dit, $\e^x-x>0$.
$ii)$ En déduire la limite cherchée, par le théorème de comparaison.
Pour cela, nous allons utiliser une fonction auxiliaire. [Méthode très classique].
$i)$ 1ère étape. Montrons que : pour tout $x\in\R$ : $\e^x>x$.
Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=\e^x-x$ pour tout $x\in\R$.
La fonction $g$ est définie et dérivable sur $\R$ et pour tout $x\in\R$ : $g’(x)=\e^x-1$. De plus :
$g’(x)=0\Leftrightarrow \e^x-1=0\Leftrightarrow \e^x=1 \Leftrightarrow x=0$,
car la fonction $\exp$ est continue et strictement croissante sur $\R$, donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, $1$ ne peut avoir qu’un seul antécédent $0$.
D’autre part, la fonction $\exp$ étant strictement croissante, on a :
$g’(x)\geqslant 0\Leftrightarrow \e^x-1\geqslant 0\Leftrightarrow \e^x\geqslant 1 \Leftrightarrow x\geqslant 0$.
Par suite $g’(x)<0\Leftrightarrow x<0$. La fonction $g$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0 ;+\infty[$. On obtient alors le tableau de variations suivant :
D’après ce tableau de variations, $g$ admet un minimum égal à $1$. Donc, pour tout $x\in\R$ : $g(x)\geqslant 1$.
On peut donc affirmer que : pour tout $x\in\R$ : $g(x)>0$. Ce qui donne : $\e^x-x>0$.
Conclusion 1. Pour tout $x\in\R$ : $\e^x>x$.
$ii)$ 2ème étape. On sait que $\dlim_{x\to+\infty}x= +\infty$ et pour tout $x\in\R$ : $\e^x>x$, d’après l’inégalité ci-dessus. Donc, en appliquant le théorème de comparaison, on obtient : $(L_1)$ : $\dlim_{x\to+\infty}\e^x= +\infty$. CQFD. $\blacktriangle$
2°) $(L_2)$ Limite en $-\infty$
Il suffit de remarquer que pour tout $x\in\R$ : $\e^x=\dfrac{1}{\e^{-x}}$ et utiliser le résultat précédent.
Nous allons effectuer un changement de variable. On pose : $X=-x$, donc $x=-X$.
On a, d’une part : $x\to-\infty\Rightarrow X\to+\infty$. Et d’autre part, $\e^x=\dfrac{1}{\e^{-x}}=\dfrac{1}{\e^{X}}$.
On a alors : $\dlim_{x\to-\infty}X= +\infty$ et $\dlim_{X\to+\infty}\e^X= +\infty$, donc par composition des limites, on a : $$\dlim_{x\to-\infty}\e^x=0$$ CQFD. $\blacktriangle$
2. Limites de croissance comparée
Ce sont les limites qui permettent de « comparer » la fonction exponentielle aux fonctions puissances, en particulier, à la fonction $x\mapsto y=x$ ; et lever certaines indéterminations [ce qui est toujours le cas dans les exercices].
Théorème 2.
La fonction exponentielle croît plus vite que toutes les fonctions puissances aussi bien en $-\infty$ qu’en $+\infty$. La fonction exponentielle est une « fonction à croissance rapide ».
$$\begin{array}{rl}
(L_{3a}) : & \boxed{\;\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x}= +\infty\;}\\
(L_{3b}) : & \boxed{\;\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x^n}= +\infty~\text{pour tout}~n\geqslant1\;}\\
(L_{4a}) : & \boxed{\;\dlim_{x\to-\infty}x\e^x=0\;}\\
(L_{4b}) : & \boxed{\;\dlim_{x\to-\infty}x^n\e^x=0~\text{pour tout}~n\geqslant1\;}\\
\end{array}$$
Traçons les deux courbes de $y=\e^x$ et $y= x$, dans un repère « assez grand ». $I=[0;100]$.
La fonction $\exp$ croît très vite, et plus rapidement vers $+\infty$ que la fonction $y=x$.
1°) $(L_3)$ Limite en $+\infty$.
Là encore, nous allons utiliser le théorème de comparaison et procédons encore en deux étapes :
$i)$ Montrer que : pour tout $x>0$, $\dfrac{\e^x}{x}>\dfrac{x}{2}$ ; autrement dit :$\e^x>\dfrac{x^2}{2}$, ou encore $\e^x-\dfrac{x^2}{2}>0$.
$ii)$ En déduire la limite cherchée, par le théorème de comparaison.
Pour cela, nous allons utiliser une fonction auxiliaire.
$i)$ 1ère étape : Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=\e^x-\dfrac{x^2}{2}$ pour tout $x\in\R$.
La fonction $g$ est définie et dérivable sur $\R$ et pour tout $x\in\R$ : $g’(x)=\e^x-x$.
Pour connaître le signe de $g’$, on refait le même procédé. On calcule sa dérivée $(g’)’= g »$. $${g’}’(x)=\e^x-1$. De plus :
$g’’(x)>0\Leftrightarrow \e^x-1>0\Leftrightarrow \e^x>1 \Leftrightarrow x>0$.
Comme la fonction $g »$ est positive sur $]0;+\infty[$, on peut en déduire que la fonction $g’$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$. De plus $g'(0)=1$. On obtient alors le tableau de variations suivant de $g’$ :
D’après ce tableau de variations, $g’$ a un minimum égal à $1$, et pour tout $x>0$ : $g’(x)\geqslant1$.
Ce qui nous permet d’affirmer que : pour tout $x>0$ : $g’(x)>0$. On peut donc en déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$. De plus $g(0) = 1$. On obtient alors le tableau de variations suivant de la fonction $g$ :
D’après ce tableau de variations, la fonction $g$ admet un minimum égal à $1$, et pour tout$x>0$ : $g(x)\geqslant 1$. Ce qui nous permet d’affirmer que pour tout $x>0$ : $g(x)>0$.
Conclusion 1. Pour tout $x>0$ : $\e^x-\dfrac{x^2}{2}>0$ ou encore : $\e^x>\dfrac{x^2}{2}$.
2ème étape : On sait que : $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{2}= +\infty$ et pour tout $x>0$ : $\e^x>\dfrac{x^2}{2}$ d’après l’inégalité ci-dessus. Donc, en appliquant le théorème de comparaison, on obtient : $$\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x}= +\infty$$
CQFD. $\blacktriangle$
$(L_4)$ Limite en $-\infty$
Il suffit de remarquer que pour tout $x\in\R$ : $\e^x=\dfrac{1}{\e^{-x}}$ et utiliser le résultat précédent.
On effectue un changement de variable. On pose $X=-x$, donc $x=-X$. On a, d’une part : $x\to-\infty\Leftrightarrow X\to+\infty$. Et d’autre part : $$x\e^x=-(-x)\times\dfrac{1}{\e^{-x}}=-\dfrac{X}{\e^{X}} = \dfrac{-1}{\left(\dfrac{\e^X}{X}\right)}$$
On a alors : $\dlim_{x\to-\infty}X= +\infty$ et $\dlim_{X\to+\infty}\dfrac{\e^X}{X}= +\infty$, donc par composition des limites, on obtient : $$\dlim_{x\to-\infty}x\e^x= 0$$
CQFD. $\blacktriangle$
3. Lien entre limites et nombre dérivé. Taux d’accroissement
Nous avons vu en classe de 1ère, deux manières qui utilisent la limite du taux d’accroissement d’une fonction $f$ pour calculer son nombre dérivé en un point d’abscisse $a$.
Propriété. (Rappel) Taux d’accroissement et nombre dérivé.
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $a\in I$.
$f$ est dérivable en $a$ si, et seulement si, les limites suivantes existent et sont finies et égales à un nombre réel noté $f'(a)$ : $$\begin{array}{rc}
&\boxed{\;\;\dlim_{x \to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\;\;}\\
\text{et} &\boxed{\;\;\dlim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)\;\;}\\
\end{array}$$
Dans le cas présent, le calcul de la limite suivante « ressemble » revient à calculer la limite du taux d’accroissement de la fonction exponentielle en $0$. Ce qui reviendrait à calculer la valeur de la fonction dérivée en $0$. On trouve d’autres exemples avec : $\dlim_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\cos x -1}{x}$, $\dlim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}$,$\ldots$
La méthode est exactement la même.
Théorème 3. $$(L_5) : \boxed{\;\dlim_{x\to0}\dfrac{\e^x-1}{x}= 1\;}$$
4. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Calculer $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x+1}$.
Exercice résolu n°2.
1°) Démontrer que $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x^2}=+\infty$.
2°) En déduire une méthode pour démontrer que : $\dlim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x^n}=+\infty$
pour tout entier $n\geqslant0$.