1. Ce que dit le programme

Deux points fondamentaux du programme de première sont ici étudiés : le concept de dérivée, avec ses applications à l’étude des fonctions et la fonction exponentielle.

Lors de l’étude de la fonction exponentielle, on réactive le travail sur les suites géométriques en mettant en parallèle évolution géométrique à temps discret et évolution exponentielle à temps continu. Étude d’évolutions successives à taux constant. Lien avec la fonction exponentielle.

La notation exponentielle et les fonctions exponentielles apparaissent vers la fin du XVII${}e$ siècle, procédant d’une volonté de traiter des phénomènes de croissance comparables à ceux des intérêts composés. La modélisation de ces situations fait naturellement apparaître la caractérisation de la fonction exponentielle comme seule fonction vérifiant l’équation différentielle $y’=y$ et la condition initiale $y(0)=1$.

Définition de la fonction exponentielle, comme unique fonction dérivable sur $\R$ vérifiant $f’=f$ et $f(0)=1$. L’existence et l’unicité sont admises. Notation $\exp(x)$.
— Pour tous réels $x$ et $y$, $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ et $\exp(x) \exp(-x) = 1$. Nombre $\e$. Notation $\e^x$.
— Pour tout réel a, la suite (ena) est une suite géométrique.
— Signe, sens de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle.
— Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
— Pour une valeur numérique strictement positive de k, représenter graphiquement les fonctions $t\mapsto\e^{-kt}$ et $t\mapsto\e^{kt}$.
— Modéliser une situation par une croissance, une décroissance exponentielle (par
exemple évolution d’un capital à taux fixe, décroissance radioactive).
Exemple d’algorithme
— Construction de l’exponentielle par la méthode d’Euler. Détermination d’une valeur approchée de e à l’aide de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\N$ $u_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$.
Approfondissements possibles
— Unicité d’une fonction $f$ dérivable sur $\R$ telle que $f’=f$ et $f(0)=1$.
— Pour tous réels $x$ et $y$, $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$.
— La fonction exponentielle est strictement positive et croissante.

2. La fonction exponentielle

  1. Cours et exercices en pdf.
  2. Des suites géométriques aux fonctions exponentielles
  3. Définition de la fonction exponentielle, comme unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant $ƒ’=ƒ$ et $ƒ(0)=1$. L’existence et l’unicité sont admises. Notation $exp(x)$.
  4. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle. Pour tous réels $x$ et $y$, $exp(x+y)=exp(x)exp(y)$. Nombre $e$. Notation $e^x$.
  5. Étude de la fonction exponentielle. Signe, sens de variation et courbe représentative.
  6. Pour tout réel $a$, la suite $(e^{na})$ est une suite géométrique.
  7. Étude de cas particuliers de fonctions exponentielles : $\e^{-kx}$ et $\e^{-kx^2}$
  8. Calcul des limites de la fonction exponentielle. Limites de croissance comparée. Taux daccroissement. Terminale.
  9. Fiche BAC TES01.