Calculer un taux d’évolution et l’exprimer en pourcentage

Les notions de taux d’évolution et de coefficient multiplicateur sont fondamentales aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle.
Il est absolument nécessaire d’abord de maîtriser ces concepts, puis d’apprendre à effectuer les calculs appropriés. Notamment pour calculer un taux d’évolution, l’exprimer en pourcentage ; passer d’une formule additive («augmenter de 5%» ou «diminuer de 5%») à une formule multiplicative («multiplier par 1,05» ou «multiplier par 0,95») ; appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou initiale ; interpréter un indice de base 100 ; calculer un indice ; calculer le taux d’évolution entre deux valeurs ; calculer le taux d’évolution équivalent à plusieurs évolutions successives ; calculer un taux d’évolution réciproque.

1. Variation absolue d’une grandeur

Définition 1.
On considère deux nombres réels strictement positifs $y_1$ et $y_2$.
$y_1=\color{brown}{V_I = \textrm{valeur initiale}}$ et $y_2=\color{brown}{V_F = \textrm{valeur finale}}$.
On appelle variation absolue de $y_1$ à $y_2$, la différence entre ces deux nombres dans cet ordre.
$$\color{brown}{\boxed{\; V_{\textrm{abs}}=V_F-V_I=y_2-y_1\; }}$$
Si $y_1$ et $y_2$ sont exprimés dans une unité (par exemple en euros), la variation absolue est exprimée dans la même unité.

Propriété 1.
On considère deux nombres réels strictement positifs $y_1$ et $y_2$.
1°) Une variation absolue entre $y_1$ et $y_2$ strictement positive correspond à une augmentation ou une hausse.
2°) Une variation absolue entre $y_1$ et $y_2$ strictement négative correspond à une diminution ou une baisse.

2. Calculer le taux d’évolution d’une grandeur

Définition 2.
On considère deux nombres réels strictement positifs $y_1$ et $y_2$.
$y_1=\color{brown}{V_I = \textrm{valeur initiale}}$ et $y_2=\color{brown}{V_F = \textrm{valeur finale}}$.
On appelle variation relative ou taux d’évolution de $y_1$ à $y_2$, le quotient de la variation absolue par la valeur initiale.
$$ \color{brown}{\boxed{\; t = \dfrac{\textrm{Valeur finale}-\textrm{Valeur initiale} }{\textrm{Valeur initiale}} \; }}$$
ou encore : $$\color{brown}{\boxed{\; t = \dfrac{V_F -V_I}{V_I} = \dfrac{y_2-y_1}{y_1}\; }}$$
Le taux d’évolution est un nombre réel sans unité.
Lorsque $t$ s’exprime en pourcentage, on écrit :
$$ \color{brown}{ \boxed{\; t=p\%=\dfrac{p}{100}}}\quad\text{où}\quad\color{brown}{ \boxed{\;p = t\times100\;}}$$
On dit que $\color{brown}{p\%}$ est le $\color{brown}{\textrm{pourcentage d’évolution}}$ entre $y_1$ et $y_2$.

3. Calculer une valeur finale ou une valeur initiale avec un taux d’évolution

Propriété 2.
On considère deux nombres réels strictement positifs $y_1$ et $y_2$ et $t$ le taux d’évolution de $y_1$ à $y_2$, exprimé sous la forme d’un nombre réel. Alors :
1°) Pour calculer la valeur finale, on a : $\color{brown}{\boxed{\; y_2=(1+t)y_1\; }}$.
2°) Pour calculer la valeur initiale, on a : $\color{brown}{\boxed{\; y_1=\dfrac{y_2}{1+t}\; }}$.

4. Exprimer un taux d’évolution en pourcentages

Un taux d’évolution s’écrit comme un quotient de deux nombres, qu’on peut écrire sous la forme d’un nombre décimal, en donnant la valeur exacte ou une valeur approchée arrondie.
Un taux d’évolution s’écrit aussi sous la forme d’un pourcentage.
- $\boxed{\; t=0,725\; }$. On écrit : $t= \dfrac{72,5}{100}=72,5\%$.
  Ce qui correspond à une augmentation de $\color{brown}{\boxed{\; 72,5\%\; }}$.
- $\boxed{\; t=-0,25\; }$. On écrit : $t= -\dfrac{0,25}{100}=-0,25\%$.
  Ce qui correspond à une diminution de $\color{brown}{\boxed{\; 25\%\; }}$.
- $\boxed{\; t=1\; }$. On écrit : $t= \dfrac{100}{100}=100\%$. Ce qui correspond à une augmentation de $\color{brown}{\boxed{\; 100\%\; }}$. Le prix aura doublé !
- $\boxed{\; t=2\; }$. On écrit : $t = \dfrac{200}{100}=200\%$ correspond à une augmentation de $\color{brown}{\boxed{\; 200\%\; }}$. Le prix aura triplé !
Écrire taux d’évolution sous la forme d’un nombre décimal. Il suffit de diviser par 100.
- $\boxed{\; t=45\%\; }$. On écrit : $t = \dfrac{45}{100}=0,45$.
  Ce qui donne : $\color{brown}{\boxed{\; t_1 = 0,45\; }}$.
- $\boxed{\; t=300\%\; }$. On écrit : $t= \dfrac{300}{100}= 3$.
  Ce qui donne : $\color{brown}{\boxed{\; t=3\; }}$.
Attention ! Un taux d’évolution n’est pas une proportion ! Une proportion est toujours comprise entre 0 et 1 (ou entre 0% et 100%). Un taux d’évolution exprime une augmentation ou une diminution. Une augmentation peut dépasser les 100%.

5. Exercices résolus

Exercice résolu 1.
En 2017, Vincent avait acheté une calculatrice scientifique pour le prix de $P_1=59,90$ euros et un classeur-trieur à $P_1=3,90$ euros. En 2018, la même calculatrice coûtait $P_2=65,90$ euros et classeur-trieur à $P’_2=5,90$ euros.
1°) Calculer les variations absolues des deux grandeurs. Quelle est le prix qui a le plus augmenté ? Expliquez.
2°) En déduire les taux d’évolution $t$ et $t’$ qui permettent de passer de $P_1$ à $P_2$ et de $P’_1$ à $P’_2$.
On exprimera de différentes manières les taux d’évolution des deux prix.

Corrigé

1°) Calcul des « variations absolues » des deux prix.
i) Le prix de la calculatrice est passé de 59,90 € à 65,90 €.
Donc, si on note $V_{1,abs}$ la variation absolue du prix de la calculatrice, on a :
$$V_{abs} = P_2-P_1 = 65,90-59,90 = 6.$$
Par suite, le prix de la calculatrice a subi une variation absolue de $+6$ €. Il s’agit d’une augmentation absolue de 6 euros.

ii) D’une manière analogue, le prix du classeur-trieur est passé de 3,90 € à 5,90 €.
Donc, si on note $V’_{abs}$ la variation absolue du prix du classeur-trieur, on a :
$$V’_{abs} = P’_2-P’_1 = 5,90-3,90 = 2.$$
Par suite, le prix du classeur-trieur a subi une variation absolue de $+2$ €. Il s’agit d’une augmentation absolue de 2 euros.

iii) Il est clair, a priori, que c’est la calculatrice qui a le plus augmenté en variation absolue.

2°) Calcul des « taux d’évolution » des deux prix.
i) Taux d’évolution du prix de la calculatrice :
$t=\dfrac{V_F-V_I}{V_I} = \dfrac{65,90-59,90}{59,90} = \dfrac{6}{59,90} =0,1001669…$.
Donc $\color{brown}{\boxed{\; t\simeq 0,1002\; }}$.
On peut exprimer le taux d’évolution en pourcentages : $t=\dfrac{10,02}{100}=10,02%$.
Donc : $\color{brown}{\boxed{\; t\simeq 10,02\%\; }}$

ii) Taux d’évolution du prix du classeur-trieur :
D’une manière analogue, on obtient :
$t’=\dfrac{V’_F-V’_I}{V’_I} = \dfrac{5,90-3,90}{3,90} = \dfrac{2}{3,90} =0,51282…$.
Donc $ \color{brown}{\boxed{\; t’\simeq 0,5128\; }}$.
En pourcentages, on obtient : $t’=\dfrac{51,28}{100}=51,28%$.
Donc : $\color{brown}{\boxed{\; t\simeq 51,28\%\; }}$

Conclusion. Le prix de la calculatrice a augmenté de 10%, alors que le prix du classeur-trieur a augmenté de 51,28%. Donc, en pourcentages, c’est le prix du classeur-trieur qui a subi la plus forte augmentation.
CQFD.$\blacktriangle$

Exercice résolu 2.
Casablanca est une ville de $3\, 535\, 000$ habitants (officiellement en 2019). Sa population augmente de $1,82\%$ tous les ans. On suppose que la « tendance continue » les années suivantes.
1°) Calculer le nombre d’habitants prévus en 2020, puis en 2024.
2°) Calculer le taux d’évolution de la population en cinq ans.

Corrigé

Corrigé. On pose $y_0=3\, 535\, 000$ et $t= 1,82\%$.
1°) $y_1$ désigne le nombre d’habitants en 2020. On écrit d’abord le taux d’évolution sous la forme d’un nombre décimal. $t=1,82\%=\dfrac{1,82}{100}=0,0182$. Donc :
$y_1=(1+t)y_0=1,0182 \times 3\, 535\, 000 =3\,599\,337$.
Conclusion 1. Le nombre d’habitants de Casablanca prévus en 2020 est d’environ $ 3\,599\,337$.

D’une manière analogue, connaissant le nombre d’habitants en 2020, on fait la même opération pour 2021. On obtient : $y_2=1,0182\times y_1 \simeq 3\,664\,845$.
On recommence l’opération trois autres fois pour obtenir : $y_5=1,0182\times y_4 \simeq 3\,868\,609$.
Conclusion 2. Le nombre d’habitants de Casablanca prévus en 2024 est d’environ $ 3\,868\,609$.

2°) Calcul du taux d’évolution entre 2019 et 2024 :
$T=\dfrac{y_5-y_0}{y_0}=\dfrac{ 3\,868\,609 }{ 3\, 535\, 000 }=0,09437…$. Donc : $T\simeq 0,0944 = \dfrac{9,44}{100}=9,44\%$.
Conclusion. Le taux d’évolution de la population de Casablanca en 5 ans est de $9,44\%$.
CQFD.$\blacktriangle$

Remarque

Pour calculer le taux d’évolution sur cinq ans, on aurait pu utiliser également la formule calcul du taux d’évolution pour $n$ évolutions successives :
$$T=(1+t_1)(1+t_2)\cdots (1+t_n)-1$$
Dans notre cas, il s’agit de $n=5$ évolutions avec le même taux $t=0,0182$, on obtient : $$T=(1+t)^n-1$$
$T = (1+0,0182)^5-1= 0,09437…$
$T\simeq 0,0944 = \dfrac{9,44}{100}=9,44\%$.
Par conséquent : Le taux d’évolution de la population de Casablanca en 5 ans est de $9,44\%$.