2. Opérations sur les fractions

2.1. Addition et soustraction des fractions.

Propriété 1.
1°) Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, il faut additionner (ou soustraire) les numérateurs et conserver le dénominateur commun.
Autrement dit : pour tous nombres relatifs $a$, $B$ et $c$, avec $B\neq 0$, on a :
$$\color{red}{\boxed{\;
\dfrac{a}{B}+\dfrac{c}{B}= \dfrac{a+c}{B}\;}}$$
$$\color{red}{\boxed{\; \dfrac{a}{B} -\dfrac{c}{B}= \dfrac{a-c}{B} \;}}$$
2°) Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de dénominateurs différents, il faut chercher d’abord un dénominateur commun, puis appliquer la règle n°1.

Exercice résolu 1.
Dans chacun des cas suivants, effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous la forme irréductible.
1°) $A=\dfrac{-7}{10}+\dfrac{4}{10}$.
2°) $B=\dfrac{-7}{10}-\dfrac{4}{5}$.
3°) $C=-\dfrac{-3}{8}-\dfrac{7}{12}$.

Corrigé.
1°) $A=\dfrac{-7}{10}+\dfrac{4}{10}= \dfrac{-7+4}{10}$
Donc $\color{red}{A=\dfrac{-3}{10}}$, qui est une fraction irréductible.

2°) $B=\dfrac{-7}{10}-\dfrac{4}{5}= \dfrac{-7}{10}-\dfrac{4\times 2}{5\times 2}$
$B=\dfrac{-7}{10}-\dfrac{8}{10}=\dfrac{-7-8}{10}=\dfrac{-15}{10}$.
On simplifie par $5$ et on obtient : $\color{red}{B=\dfrac{-3}{2}}$, qui est une fraction irréductible.

3°) $C=-\dfrac{-3}{8}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{3}{8} -\dfrac{7}{12}$.
On réduit les deux fractions au même dénominateur.
$C=\dfrac{3\times 3}{8\times 3} -\dfrac{7\times 2}{12\times 2} = \dfrac{9}{24}-\dfrac{14}{24}=\dfrac{-5}{24}$.
Par conséquent :
$\color{red}{C=\dfrac{-5}{24}}$, qui est une fraction irréductible.

2.2. Multiplication des fractions

Propriété 2.
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, en respectant la règle des signes.
Autrement dit : pour tous nombres relatifs $a$, $b$, $c$ et $d$, avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$, on a :
$$ \color{red}{\boxed{\;
\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} =\dfrac{a \times c}{b \times d}\;}}$$

Remarque importante.
Attention ! Il est vivement conseillé de décomposer le numérateur et le dénominateur pour simplifier avant d’effectuer les calculs.

Exemple résolu 2.
Calculer et donner le résultat sous la forme d’une fraction simple : $A =\dfrac{-9}{35}\times\dfrac{-14}{-27}$.

Corrigé.
D’abord, il y a trois signes « moins », donc $A$ est négatif. Puis, on a :
$A =\dfrac{ \color{red}{-} 9}{35}\times \dfrac{ \color{red}{-} 14}{ \color{red}{-} 27}=\color{red}{-} \dfrac{9\times 14}{35\times 27}$
$A=- \dfrac{9\times 7\times 2}{5\times 7\times 9\times3}$.
Ce qui donne, après simplification par $9$ et $7$ :
$\color{red}{\boxed{\; A=-\dfrac{2}{15}\;}}$

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2.3. Inverse d’un nombre relatif

Définition.
Deux nombres relatifs sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à 1.
Si $x$ et $x’$ sont des nombres relatifs non nuls, alors $x’$ est l’inverse de $x$ si et seulement si $ \color{red}{ x \times x’ =1}$.
L’inverse d’un nombre relatif $x$ non nul se note $ \color{red}{\dfrac{1}{x}}$ ou encore $\color{red}{x^{-1}}$.

Propriété 3.
1°) $0$ n’a pas d’inverse. (aucun nombre, multiplié par $0$ ne donne $1$).
2°) Un nombre relatif $x$ et son inverse sont obligatoirement de même signe et :
$$ \color{red}{\boxed{\; x\times\dfrac{1}{x}=1\;}\;\textrm{et}\; \boxed{\; \dfrac{1}{x} \times x=1\;}}$$
3°) Si $x$ est un nombre relatif non nul, alors l’inverse de son inverse est égal à lui-même.
$$ \color{red}{\boxed{\;
\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{x}\right)} =x \; }}$$
4°) Si $a$ et $b$ sont deux nombres relatifs non nuls, alors l’inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$ :
$$\color{red}{\boxed{\;
\dfrac{1}{\left(\dfrac{a}{b}\right)} = \dfrac{b}{a} \; }}$$

Exemple résolu 3.
Déterminer les inverses des nombres suivants :
1°) $x=-\dfrac{4}{5}$
2°) $y=\dfrac{-2}{5}$.

Corrigé.
1°) $x\neq 0$, donc $x$ est inversible et $\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{-\dfrac{4}{5}}= -\dfrac{5}{4}$.
D’où : $\color{red}{\dfrac{1}{x}= -\dfrac{5}{4}}$.
2°) $y\neq 0$, donc $y$ est inversible et $\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{\dfrac{-2}{5}}= \dfrac{5}{-2}= -\dfrac{5}{2}$.
D’où : $\color{red}{\dfrac{1}{y}= -\dfrac{5}{2}}$.

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2.4. Division des fractions

Propriété 4.
Pour diviser par un nombre relatif (non nul), on multiplie par son inverse.
Autrement dit, pour tous nombres relatifs $a$ et $b\neq 0$, on a : $$ \color{red}{\boxed{\;a\div b = \dfrac{a}{b} =a\times \dfrac{1}{b}\;}}$$

Exemple résolu 4.
Dans chacun des cas suivants, calculer et écrire le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :
1°) $A=-\dfrac{4}{5}\div\dfrac{2}{-5}$.
2°) $B=\dfrac{3}{\dfrac{5}{8}}$.
3°) $C=\dfrac{\dfrac{-12}{7}}{\dfrac{20}{7}}$.

Corrigé.
1°) $A=-\dfrac{4}{5}\div\dfrac{6}{-5}= -\dfrac{4}{5}\times\dfrac{-5}{6}$
$A=-\dfrac{4\times (-5)}{5\times 6}= \dfrac{4}{6} =\dfrac{2}{3}$.
Ce qui donne : $\color{red}{A=\dfrac{2}{3}}$.

2°) $B=\dfrac{3}{\dfrac{6}{5}}= 3\div \dfrac{6}{5}= 3\times \dfrac{5}{6} = \dfrac{3\times 5}{6}$. Or $6 = 3\times 2$, donc : $\color{red}{B=\dfrac{5}{2}}$.

3°) $C=\dfrac{\dfrac{-12}{7}}{\dfrac{20}{7}} =
\dfrac{-12}{7}\div \dfrac{20}{7} = \dfrac{-12}{7}\times \dfrac{7}{20} $
$C= \dfrac{-12\times 7}{7\times 20} = \dfrac{-4\times 3\times 7}{7\times 4\times 5}$.
Ce qui donne, après simplification par $7$ et $4$ :
$\color{red}{C=-\dfrac{4}{5}}$.

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