1. Comparaison des fractions

1.1. Nombres en écriture fractionnaire.
Fractions.

Définition 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs, avec $b\neq 0$.
Le quotient exact de la division du nombre $a$ par le nombre non nul $b$ s’écrit sous forme fractionnaire : $\color{red}{\dfrac{a}{b}}$. Le nombre $a$ est le numérateur, le nombre $b$ est le dénominateur.

D’ailleurs, le symbole $\color{red}{\div}$ provient de cette notation de la division. Les deux points symbolisent le numérateur et le dénominateur.

Définition 2.
Si $a$ et $b$ sont des entiers relatifs ($b$ non nul), on dit que $\dfrac{a}{b}$ est une fraction.

Exemples : $\dfrac{8}{5}$ et $\dfrac{4}{7}$ sont des fractions, mais $\dfrac{2,3}{6}$ n’est pas une fraction, mais un nombre en écriture fractionnaire.


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1.2. Écriture décimale. Quotient approché

  1. Lorsque la division de $a$ par $b$ s’arrête, le quotient exact admet une écriture décimale limitée ; c’est $\color{red}{\textrm{un nombre décimal}}$. Par exemple, $\dfrac{8}{5}=1, 6$ est un nombre décimal.
  2. Lorsque la division de $a$ par $b$ ne s’arrête pas, le quotient exact admet une écriture décimale illimitée ; ce n’est pas un nombre décimal. Par exemple, $\dfrac{4}{7}=0,571428\,\color{red}{571428}\,571…$ Il y a une boucle qui se répète indéfiniment. Donc le quotient exact n’a pas d’écriture décimale limitée. On garde alors l’écriture fractionnaire pour représenter le quotient exact.
  3. Le quotient approché de 4 par 7 arrondi au centième près est $0,57$. On écrit : $$\dfrac{4}{7}\simeq 0,57\quad\textrm{à } 10^{-2} \textrm{ près}$$
  4. On obtient l’encadrement du quotient approché de 4 par 7 au centième près : $0, 57 \leq\dfrac{4}{7}<0, 58$. Ainsi, le nombre de gauche $0,57$ qu’on appelle aussi la troncature au centième, est le quotient approché de 4 par 7 au centième près par défaut et $0,58$ est le quotient approché de 4 par 7 au centième près par excès.
  5. Pour déterminer un quotient approché d’un nombre en écriture décimale au centième près (2 chiffres après la virgule), on commence par le tronquer (le couper) à deux chiffres après la virgule, puis on regarde le 3ème chiffre après la virgule. S’il est inférieur à 5, la troncature est égale à l’arrondi, sinon on augmente le 2ème chiffre de 1. Par exemple :
    • $x=3,85\color{red}{4}32\rightarrow$ je garde $3,85$ et $4<5\rightarrow x\simeq 3,85$ à $10^{-2}$ près.
    • $y=7,85\color{red}{7}51\rightarrow$ je garde $7,85$ et $7\geq 5\rightarrow x\simeq 3,8\color{red}{6}$ à $10^{-2}$ près.

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1.3. Égalité des fractions

Propriété 1.
Deux fractions sont égales lorsqu’il y a égalité des produits en croix. Autrement dit : $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \;\textrm{si, et seulement si,}\; a\times d = b\times c$$

Exemple résolu 1.
Dans chacun des cas suivants, comparer les deux fractions $A$ et $B$.
1°) $A=\dfrac{7}{10}$ et $B=\dfrac{5}{7}$.
2°) $A=\dfrac{3}{8}$ et $B=\dfrac{0,9}{2,4}$.

Corrigé.
1°) On calcul les deux produits en croix :
$7\times 7 =49$ et $10\times 5 = 50$. Les deux produits en croix sont différents, donc les deux fractions sont différentes.

2°) On calcul les deux produits en croix :
$3\times 2,4 =7,2$ et $8\times 0,9 = 7,2$. Les deux produits en croix sont égaux, donc les deux fractions sont égales.

Propriété 2.
On ne change pas un nombre relatif en écriture fractionnaire en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Autrement dit : pour tout nombre relatif $a$ et tous nombres relatifs non nuls $b$ et $k$, on a : $$\dfrac{a\times k}{b\times k}=\dfrac{a}{b} \quad\textrm{et}\quad \dfrac{a\div k}{b\div k}=\dfrac{a}{b}$$

Ceci nous permet d’obtenir différentes écritures fractionnaires d’un même nombre. On cherche alors la fraction la plus simple.

Exemple résolu 2.
Déterminer la fraction la plus simple équivalente à chacune des fractions données : $A=\dfrac{4}{3,5}$ et $B=\dfrac{4,2}{0,015}$.

Corrigé.
1°) Pour $A=\dfrac{4}{3,5}$, on doit se débarrasser de la virgule. Il y a un seul chiffre après la virgule. On multiplie alors par 10 le numérateur et le dénominateur.
$ A=\dfrac{4}{3,5}=\dfrac{4\times 10}{3,5\times 10} =\dfrac{40}{35}$.
Maintenant, $5$ est un diviseur commun au numérateur et dénominateur. On peut donc diviser par $5$. On obtient :
$A=\dfrac{40}{35} = \dfrac{40\div 5}{35\div 5}= \color{red}{\dfrac{8}{7}}$.
$\dfrac{8}{7}$ est une $\color{red}{\textrm{fraction simple}}$ ou $\color{red}{\textrm{fraction irréductible}}$ égale à $A$.

2°) Pour $B= \dfrac{4,2}{0,015} $, on doit se doit se débarrasser des deux virgules. Il y a un seul chiffre après la virgule au numérateur et trois chiffres après la virgule au dénominateur. On multiplie alors par 1000 le numérateur et le dénominateur.
$ B=\dfrac{4,2}{0,015}=\dfrac{4,2\times 1000}{0,015\times 1000} =\dfrac{4200}{15}$.
Maintenant, $15$ est un diviseur commun au numérateur et dénominateur. On peut donc diviser par $15$. On obtient :
$B=\dfrac{4200}{15} = \dfrac{4200\div 15}{15\div 15}= \color{red}{\dfrac{280}{1}=280}$.
$\dfrac{280}{1}=280$ est un nombre entier. C’est l’écriture la plus simple de $B$.

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1.4. Règle des signes

Propriété 3.
Le signe du quotient $\dfrac{a}{b}$ de deux nombres relatifs est le même que le signe du produit $ab$.
On obtient la règle des signes :
i) Le quotient de deux nombres de même signe est positif.
ii) Le quotient de deux nombres de signes contraires est négatif.
iii) On ne garde jamais une écriture fractionnaire avec un signe « $-$ » au dénominateur.
$$\color{red}{\boxed{\;\dfrac{-a}{-b} = \dfrac{a}{b}\;}\;\textrm{et}\; \boxed{\;\dfrac{a}{-b} = \dfrac{-a}{b} = -\dfrac{a}{b}}\;}$$

Exemple résolu 3.
Écrire le plus simplement possible les fractions suivantes : $A=-\dfrac{-4}{-5}$ et $B=\dfrac{2}{-5}$.

Corrigé.
1°) $A=-\dfrac{-4}{-5}=\color{red}{-\dfrac{4}{5}}$.
2°) $A=\dfrac{2}{-5}= \dfrac{-2}{5} =\color{red}{-\dfrac{2}{5}}$.

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1.5. Comparaison des fractions

Une première méthode pour comparer deux nombres en écriture fractionnaires, en utilisant la calculatrice, est de déterminer l’écriture décimale (limitée ou non) de chacun des deux nombres, puis de comparer leurs parties entières et leurs parties décimales chiffres après chiffre en utilisant l’ordre lexicographique (du dictionnaire).

Propriété 4.
1°) Si deux fractions ont le même dénominateur positif, alors on les range dans le même ordre que leurs numérateurs.
Autrement dit, pour tous nombres relatifs $a$ et $c$ et tout nombre $B$ > 0, on a :
$$ \boxed{\;\color{red}{\dfrac{a}{B} < \dfrac{c}{B}}\;\textrm{si, et seulement si,}\; \color{red}{a<c\;}\;}$$
2°) Si deux fractions n’ont pas le même dénominateur positif, on cherche d’abord un dénominateur commun positif, puis on applique le 1°).

Exemple résolu 4.
Dans chacun des cas suivants, comparer les fractions suivantes :
1°) $-\dfrac{4}{5}$ et $\dfrac{2}{-5}$.
2°) $\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{7}{12}$.
3°) $-\dfrac{12}{7}$ et $\dfrac{5}{7}$.

Corrigé.
1°) $-\dfrac{4}{5}= \dfrac{-4}{5}$ est une fraction négative avec un dénominateur positif. J’utilise la règle des signe pour écrire la deuxième fraction avec un dénominateur positif. $\dfrac{2}{-5}= \dfrac{-2}{5}$. Maintenant : $-4<-2$ donc $ \dfrac{-4}{5} < \dfrac{-2}{5}$.
2°) $A=\dfrac{2}{-5}= \dfrac{-2}{5} =\color{red}{-\dfrac{2}{5}}$.
$\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{7}{12}$.
3°) $-\dfrac{12}{7}$ et $\dfrac{}{-5}$.

2°) $\dfrac{5}{8}$ et $\dfrac{7}{12}$.
Ces deux fractions n’ont pas le même dénominateur. On doit chercher un dénominateur commun positif.
$\dfrac{5}{8}=\dfrac{5\times 3}{8\times 3}=\dfrac{15}{24}$
et $\dfrac{7}{12}=\dfrac{7\times 2}{12\times 2}=\dfrac{14}{24}$
Maintenant, comme $14<15$, on a $\dfrac{14}{24} < \dfrac{15}{24}$. Donc $\dfrac{7}{12} < \dfrac{5}{8}$.

3°) $-\dfrac{12}{7}$ et $\dfrac{5}{7}$.
Tout d’abord : $-\dfrac{12}{7}<0$ et $0<\dfrac{5}{7}$.
Donc : $-\dfrac{12}{7}<0<\dfrac{5}{7}$. Et par suite :
$-\dfrac{12}{7}<\dfrac{5}{7}$.

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