Théorèmes de comparaison et limites des suites numériques

  1. Limites des suites numériques
  2. Opérations sur les limites des suites numériques
  3. Théorèmes de comparaison et limites des suites numériques
  4. Fiche Bac n°2.

1. Limites et comparaison

1.1. Théorèmes de comparaison

Théorème 1.
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels convergentes et ayant pour limites $\ell$ et $\ell’$ respectivement. S’il existe un rang $n_0$, tel que : pour tout entier  : [$n\geqslant n_0\Rightarrow u_n\leqslant v_n$], alors $\ell\leqslant\ell’$.

Définition.
Un corollaire est une conséquence immédiate du théorème précédent.

Corollaire.
Soit $(u_n)$ une suite convergente vers une limite $\ell$ et majorée par un nombre $M$. Alors $\ell\leqslant M$.

Il suffit d’appliquer le théorème 1 avec $(v_n)$ la suite constante définie par : $v_n= M$.

Théorème 2. 
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels vérifiant les deux conditions :
$\bullet$ Il existe un rang $n_0$, tel que : pour tout entier $n\geqslant n_0$, on a : $$u_n\leqslant v_n$$
$\bullet$ et $\dlim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ ;
Alors, la suite $(v_n)$ tend vers $+\infty$.

Théorème 2bis.
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels vérifiant les deux conditions :
$\bullet$ Il existe un rang $n_0$, tel que : pour tout entier $n\geqslant n_0$, on a : $$u_n\leqslant v_n$$
$\bullet$ et $\dlim_{n\to+\infty}v_n=-\infty$ ;
Alors, la suite $(u_n)$ tend vers $-\infty$.

Nous avons un troisième théorème de comparaison très important, appelé très souvent « le théorème des gendarmes » qui ne s’applique que pour les limites finies !

Théorème 3. [Théorème des gendarmes, uniquement pour les limites fines]
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites de nombres réels vérifiant les conditions suivantes :
$\bullet$ Il existe un rang $n_0$, tel que : pour tout entier $n\geqslant n_0$,
$$u_n\leqslant v_n \leqslant w_n$$
$\bullet$ et les deux suites $(u_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes et tendent vers la même limite $\ell$.
ALORS, la suite $(v_n)$ est aussi convergente et tend vers la même limite $\ell$.

Exercice résolu n°1.
Déterminer la limite de la suite définie par : $v_n =\dfrac{2 n \sin(5 n^2)}{n^2+1}$

Corrigé.
On sait que pour tout nombre réel $x$ : $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$.
Donc, pour tout entier $n$ : $-1 \leqslant \sin (5 n^2) \leqslant 1$.
D’autre part, pour tout entier $n$ : $\dfrac{2n}{n^2+1}>0$.
En multipliant les trois membres de l’inégalité précédente par ce nombre strictement positif, on obtient :
$$\dfrac{-2n}{n^2+1}\leqslant\dfrac{2n\sin(5n^2)}{n^2+1}\leqslant\dfrac{2 n}{n^2+1}$$
Or les deux suites extrêmes $(u_n)$ et $(w_n)$ définies par : $u_n =\dfrac{-2n}{n^2+1}$ et $w_n =\dfrac{2n}{n^2+1}$ sont convergentes et tendent toutes les deux vers la même limite finie $\ell=0$.
Donc, d’après le théorème de comparaison (dit théorème des gendarmes), la suite $(v_n)$ [au centre] est convergente et tend vers la même limite $\ell=0$.
Conclusion. $\color{brown}{\dlim_{n\to+\infty}v_n=0}$.

2. Théorèmes de la convergence monotone

Théorème 4.
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. Alors :
$\bullet$ Si $(u_n)$ est (strictement) croissante et majorée, alors $(u_n)$ est convergente.
$\bullet$ Si $(u_n)$ est (strictement) décroissante et minorée, alors $(u_n)$ est convergente.

Théorème 4bis.
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. Alors :
$\bullet$ Si $(u_n)$ est (strictement) croissante et non majorée, alors $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
$\bullet$ Si $(u_n)$ est (strictement) décroissante et non minorée, alors $(u_n)$ tend vers $-\infty$.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°2.
On considère la suite définie par : $u_0=0$ et pour tout entier $n$ : $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$.
1°) A l’aide de votre calculatrice, calculer les quatre premiers termes de cette suite.
2°) Démontrer par récurrence, que pour tout entier $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 4$.
3°) Démontrer par récurrence, que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
4°) Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $\ell$.
5°) Déterminer la valeur exacte de la limite $\ell$.

Corrigé.
1°) Calcul des premiers termes.
A la calculatrice $u_0=0$ ; $u_1=2$ ; $u_2\simeq 2,4494$ et $u_3\simeq 3,3687$, $\ldots$

2°) Démontrer par récurrence, que pour tout entier $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 4$.
Pour chaque entier $n$, on appelle $P_n$la proposition logique: [$0\leqslant u_n\leqslant 4$].
Montrons par récurrence que : Pour tout entier $n$ : [$P_n$ est vraie].
Initialisation.
Pour $n=0$ : $u_0=0$, donc : $0\leqslant u_0\leqslant 4$.
Donc $P_0$ est vraie.
Hérédité.
Soit $n\in\N$ un entier fixé.
Supposons que $P_n$ est vraie. Donc :
$$[0\leqslant u_n\leqslant 4]\quad\text{(H.R.)}$$
(H.R.)= (Hypothèse de récurrence).
Montrons que $P_{n+1}$ est vraie.
D’après l’hypothèse de récurrence (H.R.), on sait que : $0\leqslant u_n\leqslant 4$.
En multipliant par 3 les trois membres, on obtient :
$$0\times\leqslant 3\times u_n\leqslant 3\times 4$$
Donc $0\leqslant 3u_n\leqslant 12$. Puis en ajoutant 4 aux trois membres, on obtient : $$0+4\times\leqslant 3u_n+4\leqslant 12+4$$
Ce qui donne : $4\leqslant 3u_n+4\leqslant 16$.
Or, on sait que la fonction « racine carrée » est strictement croissante sur $[0 ;+\infty[$, donc : $$\sqrt{4}\leqslant \sqrt{3u_n+4}\leqslant \sqrt{16}$$
Ce qui donne : $2\leqslant \sqrt{3u_n+4}\leqslant 4$.
Et comme $0\leqslant2$ et $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$, on a bien : $$0\leqslant u_n\leqslant 4$$
Ce qui montre que $P_{n+1}$ est vraie. Donc la propriété est héréditaire.
Conclusion. Nous avons démontré que $P_0$ est vraie et que pour tout entier $n$ : $P_n\Rightarrow P_{n+1}$, donc par récurrence on a :
Pour tout entier $n\in\N$ : $0\leqslant u_n\leqslant 4$ est vraie.

3°) Démontrer par récurrence, que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
C’est-à-dire : Pour tout entier $n$, $u_{n}<u_{n+1}$.
Pour chaque entier $n$, on appelle $P_{n}$ la proposition logique : [$u_{n}<u_{n+1}$].
Montrons par récurrence que : Pour tout entier $n$ : [$P_{n}$ est vraie].
Initialisation.
Pour $n = 0$ : $u_0=0$ et $u_1=2$, donc $u_0<u_1$.
Donc $P_{0}$ est vraie.
Hérédité.
Soit $n\in\N$ un entier fixé.
Supposons que $P_{n}$ est vraie. Donc :
$$[u_{n}<u_{n+1}]\quad\text{(H.R.)}$$
Montrons que $P_{n+1}$ est vraie.
D’après l’hypothèse de récurrence (H.R.), on sait que :
$$u_{n}<u_{n+1}$$
En multipliant par 3 les deux membres, on obtient :
$$3u_{n}<3u_{n+1}$$
Puis en ajoutant 4 aux trois membres, on obtient :
$$3u_{n}+4<3u_{n+1}+4$$
Or, la fonction « racine carrée » est strictement croissante sur $[0 ;+\infty[$, donc :
$$\sqrt{3u_n +4}<\sqrt{3u_{n+1}+4}$$
Par conséquent :
$$u_{n+1}<u_{n+2}$$
Ce qui montre que $P_{n+1}$ est vraie. Donc la propriété est héréditaire.
Conclusion. Par récurrence, nous avons démontré que pour tout entier $n$ : $u_{n}<u_{n+1}$.
Par conséquent, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

4°) Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
D’après ce qui précède, la suite $(u_n)$ est strictement croissante et majorée par 4.
Donc, d’après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $\ell$ et $0\leqslant\ell\leqslant 4$.

5°) Déterminer la valeur exacte de la limite $\ell$.
On considère la fonction $f$, définie sur $[0;4]$, associée à la suite $(u_n)$ et telle que pour tout $n\in\N$ : $u_{n+1}=f(u_n)$. Alors pour tout $x$ $f(x)=\sqrt{3x+4}$.
Alors si la suite $(u_n)$ est convergente et a pour limite $\ell$, alors $\ell\in[0;4]$ et $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.

On a alors, pour tout $x\in[0;4]$ :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)=x\qtext{et}x\in[0;4] & \sqrt{3x+4}=x\qtext{x\in[0;4]}\\
& 3x+4=x^2 et \qtext{et}x\in[0;4]\\
& x^2-3x-4=0 \qtext{et}x\in[0;4]\\
\end{array}$$
L’équation $x^2-3x-4=0$ admet deux solutions : $x=-1$ et $x=4$.
La seule solution de cette équation comprise entre $0$ et $4$ est $x=4$.
Par conséquent : $\ell=4$.
Conclusion. $\color{brown}{\dlim_{n\to+\infty}u_n=4}$.

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