Théorèmes de comparaison et limites des suites numériques


1. Limites et comparaison

1.1. Théorèmes de comparaison

Théorème 1.
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels convergentes et ayant pour limites $\ell$ et $\ell’$ respectivement. S’il existe un rang $n_0$, tel que : pour tout entier  : [$n\geqslant n_0\Rightarrow u_n\leqslant v_n$], alors $\ell\leqslant\ell’$.

Définition.
Un corollaire est une conséquence immédiate du théorème précédent.

Corollaire.
Soit $(u_n)$ une suite convergente vers une limite $\ell$ et majorée par un nombre $M$. Alors $\ell\leqslant M$.

Il suffit d’appliquer le théorème 1 avec $(v_n)$ la suite constante définie par : $v_n= M$.

Théorème 2. 
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels vérifiant les deux conditions :
$\bullet$ Il existe un rang $n_0$, tel que : pour tout entier $n\geqslant n_0$, on a : $$u_n\leqslant v_n$$
$\bullet$ et $\dlim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ ;
Alors, la suite $(v_n)$ tend vers $+\infty$.

Théorème 2bis.
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels vérifiant les deux conditions :
$\bullet$ Il existe un rang $n_0$, tel que : pour tout entier $n\geqslant n_0$, on a : $$u_n\leqslant v_n$$
$\bullet$ et $\dlim_{n\to+\infty}v_n=-\infty$ ;
Alors, la suite $(u_n)$ tend vers $-\infty$.

Nous avons un troisième théorème de comparaison très important, appelé très souvent « le théorème des gendarmes » qui ne s’applique que pour les limites finies !

Théorème 3. [Théorème des gendarmes, uniquement pour les limites fines]
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites de nombres réels vérifiant les conditions suivantes :
$\bullet$ Il existe un rang $n_0$, tel que : pour tout entier $n\geqslant n_0$,
$$u_n\leqslant v_n \leqslant w_n$$
$\bullet$ et les deux suites $(u_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes et tendent vers la même limite $\ell$.
ALORS, la suite $(v_n)$ est aussi convergente et tend vers la même limite $\ell$.


Exercice résolu n°1.
Déterminer la limite de la suite définie par : $v_n =\dfrac{2 n \sin(5 n^2)}{n^2+1}$

Corrigé.
On sait que pour tout nombre réel $x$ : $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$.
Donc, pour tout entier $n$ : $-1 \leqslant \sin (5 n^2) \leqslant 1$.
D’autre part, pour tout entier $n$ : $\dfrac{2n}{n^2+1}>0$.
En multipliant les trois membres de l’inégalité précédente par ce nombre strictement positif, on obtient :
$$\dfrac{-2n}{n^2+1}\leqslant\dfrac{2n\sin(5n^2)}{n^2+1}\leqslant\dfrac{2 n}{n^2+1}$$
Or les deux suites extrêmes $(u_n)$ et $(w_n)$ définies par : $u_n =\dfrac{-2n}{n^2+1}$ et $w_n =\dfrac{2n}{n^2+1}$ sont convergentes et tendent toutes les deux vers la même limite finie $\ell=0$.
Donc, d’après le théorème de comparaison (dit théorème des gendarmes), la suite $(v_n)$ [au centre] est convergente et tend vers la même limite $\ell=0$.
Conclusion. $\color{brown}{\dlim_{n\to+\infty}v_n=0}$.


2. Théorèmes de la convergence monotone

Théorème 4.
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. Alors :
$\bullet$ Si $(u_n)$ est (strictement) croissante et majorée, alors $(u_n)$ est convergente.
$\bullet$ Si $(u_n)$ est (strictement) décroissante et minorée, alors $(u_n)$ est convergente.

Théorème 4bis.
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. Alors :
$\bullet$ Si $(u_n)$ est (strictement) croissante et non majorée, alors $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
$\bullet$ Si $(u_n)$ est (strictement) décroissante et non minorée, alors $(u_n)$ tend vers $-\infty$.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°2.
On considère la suite définie par : $u_0=0$ et pour tout entier $n$ : $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$.
1°) A l’aide de votre calculatrice, calculer les quatre premiers termes de cette suite.
2°) Démontrer par récurrence, que pour tout entier $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 4$.
3°) Démontrer par récurrence, que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
4°) Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $\ell$.
5°) Déterminer la valeur exacte de la limite $\ell$.

Corrigé.
1°) Calcul des premiers termes.
A la calculatrice $u_0=0$ ; $u_1=2$ ; $u_2\simeq 2,4494$ et $u_3\simeq 3,3687$, $\ldots$

2°) Démontrer par récurrence, que pour tout entier $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 4$.
Pour chaque entier $n$, on appelle $P_n$la proposition logique: [$0\leqslant u_n\leqslant 4$].
Montrons par récurrence que : Pour tout entier $n$ : [$P_n$ est vraie].
Initialisation.
Pour $n=0$ : $u_0=0$, donc : $0\leqslant u_0\leqslant 4$.
Donc $P_0$ est vraie.
Hérédité.
Soit $n\in\N$ un entier fixé.
Supposons que $P_n$ est vraie. Donc :
$$[0\leqslant u_n\leqslant 4]\quad\text{(H.R.)}$$
(H.R.)= (Hypothèse de récurrence).
Montrons que $P_{n+1}$ est vraie.
D’après l’hypothèse de récurrence (H.R.), on sait que : $0\leqslant u_n\leqslant 4$.
En multipliant par 3 les trois membres, on obtient :
$$0\times\leqslant 3\times u_n\leqslant 3\times 4$$
Donc $0\leqslant 3u_n\leqslant 12$. Puis en ajoutant 4 aux trois membres, on obtient : $$0+4\times\leqslant 3u_n+4\leqslant 12+4$$
Ce qui donne : $4\leqslant 3u_n+4\leqslant 16$.
Or, on sait que la fonction « racine carrée » est strictement croissante sur $[0 ;+\infty[$, donc : $$\sqrt{4}\leqslant \sqrt{3u_n+4}\leqslant \sqrt{16}$$
Ce qui donne : $2\leqslant \sqrt{3u_n+4}\leqslant 4$.
Et comme $0\leqslant2$ et $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$, on a bien : $$0\leqslant u_n\leqslant 4$$
Ce qui montre que $P_{n+1}$ est vraie. Donc la propriété est héréditaire.
Conclusion. Nous avons démontré que $P_0$ est vraie et que pour tout entier $n$ : $P_n\Rightarrow P_{n+1}$, donc par récurrence on a :
Pour tout entier $n\in\N$ : $0\leqslant u_n\leqslant 4$ est vraie.

3°) Démontrer par récurrence, que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
C’est-à-dire : Pour tout entier $n$, $u_{n}<u_{n+1}$.
Pour chaque entier $n$, on appelle $P_{n}$ la proposition logique : [$u_{n}<u_{n+1}$].
Montrons par récurrence que : Pour tout entier $n$ : [$P_{n}$ est vraie].
Initialisation.
Pour $n = 0$ : $u_0=0$ et $u_1=2$, donc $u_0<u_1$.
Donc $P_{0}$ est vraie.
Hérédité.
Soit $n\in\N$ un entier fixé.
Supposons que $P_{n}$ est vraie. Donc :
$$[u_{n}<u_{n+1}]\quad\text{(H.R.)}$$
Montrons que $P_{n+1}$ est vraie.
D’après l’hypothèse de récurrence (H.R.), on sait que :
$$u_{n}<u_{n+1}$$
En multipliant par 3 les deux membres, on obtient :
$$3u_{n}<3u_{n+1}$$
Puis en ajoutant 4 aux trois membres, on obtient :
$$3u_{n}+4<3u_{n+1}+4$$
Or, la fonction « racine carrée » est strictement croissante sur $[0 ;+\infty[$, donc :
$$\sqrt{3u_n +4}<\sqrt{3u_{n+1}+4}$$
Par conséquent :
$$u_{n+1}<u_{n+2}$$
Ce qui montre que $P_{n+1}$ est vraie. Donc la propriété est héréditaire.
Conclusion. Par récurrence, nous avons démontré que pour tout entier $n$ : $u_{n}<u_{n+1}$.
Par conséquent, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

4°) Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
D’après ce qui précède, la suite $(u_n)$ est strictement croissante et majorée par 4.
Donc, d’après le théorème de la convergence monotone, la suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $\ell$ et $0\leqslant\ell\leqslant 4$.

5°) Déterminer la valeur exacte de la limite $\ell$.
On considère la fonction $f$, définie sur $[0;4]$, associée à la suite $(u_n)$ et telle que pour tout $n\in\N$ : $u_{n+1}=f(u_n)$. Alors pour tout $x$ $f(x)=\sqrt{3x+4}$.
Alors si la suite $(u_n)$ est convergente et a pour limite $\ell$, alors $\ell\in[0;4]$ et $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.

On a alors, pour tout $x\in[0;4]$ :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)=x\qtext{et}x\in[0;4] & \sqrt{3x+4}=x\qtext{x\in[0;4]}\\
& 3x+4=x^2 et \qtext{et}x\in[0;4]\\
& x^2-3x-4=0 \qtext{et}x\in[0;4]\\
\end{array}$$
L’équation $x^2-3x-4=0$ admet deux solutions : $x=-1$ et $x=4$.
La seule solution de cette équation comprise entre $0$ et $4$ est $x=4$.
Par conséquent : $\ell=4$.
Conclusion. $\color{brown}{\dlim_{n\to+\infty}u_n=4}$.