Théorèmes de comparaison et limites des suites numériques
1. Limites et comparaison
1.1. Théorèmes de comparaison
Théorème 1.
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels convergentes et ayant pour limites $\ell$ et $\ell’$ respectivement. S’il existe un rang $n_0$, tel que : pour tout entier : [$n\geqslant n_0\Rightarrow u_n\leqslant v_n$], alors $\ell\leqslant\ell’$.
Définition.
Un corollaire est une conséquence immédiate du théorème précédent.
Corollaire.
Soit $(u_n)$ une suite convergente vers une limite $\ell$ et majorée par un nombre $M$. Alors $\ell\leqslant M$.
Il suffit d’appliquer le théorème 1 avec $(v_n)$ la suite constante définie par : $v_n= M$.
Théorème 2.
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels vérifiant les deux conditions :
$\bullet$ Il existe un rang $n_0$, tel que : pour tout entier $n\geqslant n_0$, on a : $$u_n\leqslant v_n$$
$\bullet$ et $\dlim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ ;
Alors, la suite $(v_n)$ tend vers $+\infty$.
Théorème 2bis.
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels vérifiant les deux conditions :
$\bullet$ Il existe un rang $n_0$, tel que : pour tout entier $n\geqslant n_0$, on a : $$u_n\leqslant v_n$$
$\bullet$ et $\dlim_{n\to+\infty}v_n=-\infty$ ;
Alors, la suite $(u_n)$ tend vers $-\infty$.
Nous avons un troisième théorème de comparaison très important, appelé très souvent « le théorème des gendarmes » qui ne s’applique que pour les limites finies !
Théorème 3. [Théorème des gendarmes, uniquement pour les limites fines]
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites de nombres réels vérifiant les conditions suivantes :
$\bullet$ Il existe un rang $n_0$, tel que : pour tout entier $n\geqslant n_0$,
$$u_n\leqslant v_n \leqslant w_n$$
$\bullet$ et les deux suites $(u_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes et tendent vers la même limite $\ell$.
ALORS, la suite $(v_n)$ est aussi convergente et tend vers la même limite $\ell$.
Exercice résolu n°1.
Déterminer la limite de la suite définie par : $v_n =\dfrac{2 n \sin(5 n^2)}{n^2+1}$
2. Théorèmes de la convergence monotone
Théorème 4.
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. Alors :
$\bullet$ Si $(u_n)$ est (strictement) croissante et majorée, alors $(u_n)$ est convergente.
$\bullet$ Si $(u_n)$ est (strictement) décroissante et minorée, alors $(u_n)$ est convergente.
Théorème 4bis.
Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels. Alors :
$\bullet$ Si $(u_n)$ est (strictement) croissante et non majorée, alors $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
$\bullet$ Si $(u_n)$ est (strictement) décroissante et non minorée, alors $(u_n)$ tend vers $-\infty$.
3. Exercices résolus
Exercice résolu n°2.
On considère la suite définie par : $u_0=0$ et pour tout entier $n$ : $u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}$.
1°) A l’aide de votre calculatrice, calculer les quatre premiers termes de cette suite.
2°) Démontrer par récurrence, que pour tout entier $n$, $0\leqslant u_n\leqslant 4$.
3°) Démontrer par récurrence, que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
4°) Démontrer que la suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $\ell$.
5°) Déterminer la valeur exacte de la limite $\ell$.
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