Limite d’une suite numérique


1. Limite finie ou infinie d’une suite

1.1. Limite finie d’une suite

Définitions.
Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels.
On dit que « $n$ tend vers plus l’infini » et on note « $n\to+\infty$ » lorsque $n$ prend des valeurs aussi grandes que l’on veut.

L’objectif de ce chapitre est d’étudier « le comportement à l’infini » de la suite $(u_n)$ lorsque $n$ tend vers plus $+\infty$.

On distingue trois situations pour les limites de suites :
Une suite numérique peut avoir une limite finie (un nombre réel), une limite infinie ($\pm\infty$) ou ne pas avoir de limite du tout, comme le montrent les illustrations dans les trois paragraphes suivants.

1.1. Limite finie d’une suite

Définition 1.
Soit $\ell$ un nombre réel donné.
On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$ lorsque : « tout intervalle ouvert $]a;b[$ contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d’un certain rang ». On écrit alors $\color{brown}{\dlim_{n \to+\infty}u_n =\ell}$.
On dit que la suite $(u_n)$ est convergente vers $\ell$ ou qu’elle converge vers $\ell$.

Autrement dit :

Définition 1bis. 
Soit $\ell$ un nombre réel donné.
On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $\ell$ quand $n$ tend vers $+\infty$ , lorsque : « pour tout nombre réel strictement positif $\varepsilon$ (aussi petit soi-il) [lire epsilon], il existe un rang $n_0$, à partir duquel ($n>n_0$), toutes les valeurs de $u_n$ sont proches de $\ell$ à $\varepsilon$-près ».

Exemple 1.
Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_n=2-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$, alors $\color{brown}{\dlim_ {n\to+\infty} u_n = 2}$

Fig.1. Cette suite semble tendre vers une limite finie égale à $\ell=2$, lorsque $n$ tend vers l’infini. Les termes de la suite deviennent aussi proches que l’on veut de $2$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

Cette définition peut aussi s’écrire :
Pour tout nombre réel $\varepsilon>0$ (aussi petit soi-il), il existe un rang $n_0$ tel que pour tout entier $n\in\N$ :
[Si $n > n_0$, Alors $\ell – \varepsilon < u_n < \ell + \varepsilon$].
ou encore : [Si $n > n_0$, Alors $\abs{u_n-\ell}<\varepsilon$].

Propriété 1.
Si une suite $(u_n)$ admet une limite, alors cette limite est unique.

Limites de référence (à connaître et savoir utiliser).
(1) $\color{brown}{\dlim_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}= 0}$ ;
(2) $\color{brown}{\dlim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n^k}= 0}$ ; pour tout $k > 0$ ;
et (3) $\color{brown}{\dlim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0}$.

1.2. Limite infinie d’une suite

Définition 2.
On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$, lorsque : « tout intervalle ouvert de la forme $]A ;+\infty[$, contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d’un certain rang ». On écrit alors $\color{brown}{\dlim_{n \to+\infty} u_n = +\infty}$.
On dit que la suite $(u_n)$ est divergente ou qu’elle diverge.

Autrement dit :

Définition 2bis.
On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$, lorsque : « pour tout nombre réel strictement positif $A$ (aussi grand soit-il) il existe un rang $n_0$, à partir duquel toutes les valeurs de $u_n$ sont supérieures à $A$ ».

Cette définition peut aussi s’écrire :

Pour tout nombre réel $A>0$ (aussi grand soit-il), il existe un rang $n_0$ tel que :
[Si $n>n_0$, alors $u_n>A$].

Exemple 2.
Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_n= \sqrt{n}+2$, alors $\color{brown}{\dlim_{n \to+\infty} u_n = +\infty}$.

Fig. 2. Cette suite semble tendre vers $+\infty$, lorsque $n$ tend vers l’infini. Pour tout nombre réel $A$ choisi au départ, il existe un rang $n_0$, à partir duquel tous les termes $u_n$ sont supérieurs à $A$.

Limites de référence (à connaître et savoir utiliser).
(1) $\color{brown}{\dlim_{n \to+\infty} n = +\infty}$ ;
(2) $\color{brown}{\dlim_{n \to+\infty} n^k = +\infty}$, $k > 0$ ;
et (3) $\color{brown}{\dlim_{n \to+\infty} \sqrt{n} = +\infty}$.

D’une manière analogue, nous pouvons écrire une définition de la limite d’une suite qui tend vers $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

Définition 3.
On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$, lorsque : « tout intervalle ouvert de la forme $]-\infty;A]$, contient toutes les valeurs $u_n$ à partir d’un certain rang ». On écrit alors $\color{brown}{\dlim _{n \to+\infty} u_n = -\infty}$.
On dit que la suite $(u_n)$ est divergente ou qu’elle diverge.

Autrement dit :

Définition 3bis. 
On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$, lorsque : « pour tout nombre réel strictement négatif $A$, il existe un rang $n_0$, à partir duquel, toutes les valeurs de $u_n$ sont inférieures à $A$ ».

Cette définition peut aussi s’écrire :

Pour tout nombre réel $A<0$, il existe un entier $n_0$ tel que :
[Si $n > n_0$, Alors $u_n < A$].

Exemple 3.
Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_n=-2n^2 +3$, alors $\color{brown}{\dlim_{n\rightarrow +\infty} u_n = -\infty}$.

1.3. Suite qui n’admet pas de limite

Définition 3.
On dit que la suite $(u_n)$ n’admet pas de limite quand $n$ tend vers $+\infty$, lorsqu’elle n’admet aucune limite finie ou infinie.
On dit également que la suite $(u_n)$ est divergente ou qu’elle diverge.

Fig. 3. Cette suite n’admet pas de limite lorsque $n$ tend vers l’infini. Elle prend uniquement et alternativement et indéfiniment deux valeurs $3$ et $1$, distantes de 2 unités.

Exemples 3.
1°) Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_n=2+(-1)^$.
$-$ D’une part, cette suite prend uniquement et alternativement et indéfiniment, deux valeurs $3$ et $1$ qui sont distantes de deux unités. Donc, les termes de cette suite ne peuvent pas êtres aussi proches d’aucune autre valeur réelle $\ell$. elle n’a pas de limite finie.
$-$ D’autre part, cette suite est bornée, donc elle ne peut pas tendre vers $\pm\infty$.
Conclusion. $\color{brown}{\dlim_{n\rightarrow +\infty} u_n$ n’existe pas.


1.4. Limites des suites arithmétiques et géométriques

Propriété 2
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$. Donc, pour tout $n\in\N$ : $\color{brown}{u_n = r n + u_0}$ (fonction affine de coefficient directeur $r$ et de terme constant $u_0$). Alors :
$\bullet$ Si $r>0$, alors $\dlim_{n \to+\infty} u_n =+\infty$.
$\bullet$ Si $r<0$, alors $\dlim_{n \to+\infty} u_n =-\infty$.
$\bullet$ Si $r>0$, alors $\dlim_{n \to+\infty} u_n =u_0$ (suite constante).

Propriété 3
Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q$.
Donc, pour tout $n\in\N$ : $v_n = v_0q^n$. Alors :
$\bullet$ Si $q>1$, alors $\dlim_{n \to+\infty} v_n =+\infty$.
$\bullet$ Si $q=1$, alors $\dlim_{n \to+\infty} v_n =v_0$ (suite constante).
$\bullet$ Si $-1<q<1$, alors $\dlim_{n \to+\infty} v_n =0$.
$\bullet$ Si $q\leqslant -1$, alors $\dlim_{n \to+\infty} v_n$ n’existe pas.

Dans le dernier cas, il s’agit d’une suite alternée dont les termes augmentent indéfiniment en valeur absolue.

Exemples.
1°) $\dlim_{n \to+\infty} \left(\dfrac{-2}{3}\right)^n =0$, car $-1<\dfrac{-2}{3}<1$
et 2°) $\dlim_{n \to+\infty} \left(\dfrac{5}{3}\right)^n =+\infty$, car $\dfrac{5}{3}>1$.


2. Exercices résolus

Exercice résolu 1.

Corrigé.